大學(xué)數(shù)學(xué)教程

復(fù)變函數(shù)與積分變換主講丁然

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1.2復(fù)平面上的曲線和區(qū)域1.3

復(fù)變函數(shù)1.4復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性16世紀(jì)，意大利學(xué)者卡當(dāng)（Cardan）第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫(xiě)進(jìn)公式。笛卡爾稱(chēng)為“虛數(shù)”，歐拉“純屬虛幻”。1747年法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾指出，按多項(xiàng)式四則運(yùn)算，這種數(shù)的結(jié)果總是形式的。1730年，棣莫弗公式，1748年歐拉公式，并創(chuàng)作了i作為虛數(shù)單位。復(fù)平面的表示，并與向量對(duì)應(yīng)，理論逐漸完備。

§1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的概念1、產(chǎn)生背景的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)，其中稱(chēng)為虛單位，2、定義：形如為任意實(shí)數(shù),且記分別稱(chēng)為的實(shí)部（realpart）與虛部(imaginarypart)。（1）

當(dāng)，則稱(chēng)為純虛數(shù)。當(dāng)時(shí)，則為實(shí)數(shù)，虛部為0的復(fù)數(shù)可以看成實(shí)數(shù)。全體實(shí)數(shù)是全體復(fù)數(shù)的一部分。復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的推廣。虛部不為0的復(fù)數(shù)稱(chēng)為虛數(shù)。（2）復(fù)數(shù)的相等所以，復(fù)數(shù)為0意味著什么呢？?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)是否可以簡(jiǎn)單比較大小？?jī)蓮?fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.復(fù)數(shù)z

等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.說(shuō)明兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小,如果不全是實(shí)數(shù),就不能比較大小,也就是說(shuō),復(fù)數(shù)不能比較大小.（3）共軛復(fù)數(shù)

稱(chēng)為z的共軛復(fù)數(shù)。記為是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例：復(fù)平面的定義二、復(fù)數(shù)的表示法

1、(復(fù)平面上的)點(diǎn)表示-----用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)(1806高斯）rθ此時(shí)的坐標(biāo)面（稱(chēng)為復(fù)平面）與直角坐標(biāo)平面的區(qū)別與聯(lián)系。為了方便，復(fù)平面復(fù)平面中不區(qū)分點(diǎn)和復(fù)數(shù)。2.向量表示-------（1）復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)顯然下列各式成立（2）復(fù)數(shù)的輻角說(shuō)明輻角不確定.輻角主值的定義:（3）利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.（4）復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)3、三角（或極坐標(biāo)）表示---由得歐拉公式5、代數(shù)表示------

復(fù)數(shù)的各種表示可相互轉(zhuǎn)換，在不同的運(yùn)算中可選擇不同表示式進(jìn)行運(yùn)算。NSPyzZx6*、復(fù)球面表示------

將擴(kuò)充復(fù)平面中的所有復(fù)數(shù)唯一表示為一個(gè)點(diǎn)，則所有復(fù)數(shù)與復(fù)球面上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia歐拉資料三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算1、相等——兩個(gè)復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部與虛部分別相等時(shí)才相等。2、和、差、積、商（分母不為0）——代數(shù)式、三角式、指數(shù)式。按多項(xiàng)式的運(yùn)算方法進(jìn)行，并將代入。另外，我們所熟知的代數(shù)運(yùn)算在復(fù)數(shù)域中依然成立。虛數(shù)單位的特性:……復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)的和:2.兩復(fù)數(shù)的積:3.兩復(fù)數(shù)的商:共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱(chēng)為共軛復(fù)數(shù).例2解zzyxo性質(zhì):以上各式證明略.復(fù)數(shù)的乘積模和輻角集合相等單位復(fù)數(shù)相乘相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，比如模為1時(shí)，可得棣莫弗公式四、復(fù)數(shù)的n次方根的n個(gè)值恰為以原點(diǎn)為中心，的內(nèi)接正邊形的頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為半徑的圓周稱(chēng)為主值。答疑解惑

答：不能，實(shí)數(shù)能比較大小，是因?yàn)閷?shí)數(shù)是有序的；而復(fù)數(shù)是無(wú)序的，所以不能比較大小。假設(shè)復(fù)數(shù)有大小，其大小關(guān)系應(yīng)與實(shí)數(shù)中大小關(guān)系保持一致，（因?yàn)閷?shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的特例），不妨取0和i加以討論：1、復(fù)數(shù)能否比較大小，為什么？注：復(fù)數(shù)的模、實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，輻角也是實(shí)數(shù)，可比較大小。2、復(fù)數(shù)可以用向量表示，則復(fù)數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算是否相同？答：有相同之處，但也有不同之處。

加減和數(shù)乘運(yùn)算相同，乘積運(yùn)算不同，向量運(yùn)算有數(shù)量積、向量積和混合積，復(fù)數(shù)則沒(méi)有；復(fù)數(shù)運(yùn)算有乘除及乘冪、方根，但向量沒(méi)有；乘積運(yùn)算的幾何意義不同。典型例題例1、判斷下列命題是否正確？（1）（2）（3）（

×

）（

∨

）（

×

）例2、求下列復(fù)數(shù)的模與輻角（1）（2）（3）（4）解（1）（2）（3）(4)例3、求滿(mǎn)足下列條件的復(fù)數(shù)z：（1）（3）（2）且例4求方程的根。并將分解因式。解∵，則的其余三個(gè)根即為所求得由§1.2復(fù)平面上的曲線和區(qū)域一、復(fù)平面上的曲線方程平面曲線有直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程兩種形式。很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定它所表示的平面圖形.由代入知曲線C的方程可改寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式若令，而，則曲線C的參數(shù)方程等價(jià)于復(fù)數(shù)形式。例1將通過(guò)兩點(diǎn)z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來(lái)表示.

[解]

通過(guò)點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為

z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫(xiě)成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取,得知線段的中點(diǎn)為例2求下列方程所表示的曲線:[解]設(shè)z=x+iy,方程變?yōu)闉橐粓A-iOxy幾何上,該方程表示到點(diǎn)2i和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出Oxy-22iy=-x設(shè)z=x+iy,那末可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-3二、簡(jiǎn)單曲線與光滑曲線除在z(a)=z(b)外無(wú)其它重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱(chēng)為簡(jiǎn)單閉曲線，例如，

是一條簡(jiǎn)單閉曲線（如圖）.在幾何直觀上，簡(jiǎn)單曲線是平面上沒(méi)有“打結(jié)”情形的連續(xù)曲線，即簡(jiǎn)單曲線自身是不會(huì)相交的；簡(jiǎn)單閉曲線除了沒(méi)有“打結(jié)”情形之外，還必須是封閉的，例如，圖中的是簡(jiǎn)單曲線，是簡(jiǎn)單閉區(qū)域，圖中的，不是簡(jiǎn)單曲線，但是閉曲線.圖圖三、區(qū)域

1、去心鄰域3、區(qū)域及分類(lèi)2、內(nèi)點(diǎn)與開(kāi)集區(qū)域——連通的開(kāi)集。鄰域平面上以為心，為半徑的圓：內(nèi)部所有點(diǎn)的集合稱(chēng)為點(diǎn)的—鄰域，記為，即稱(chēng)集合為的去心—鄰域，記作.內(nèi)點(diǎn)：設(shè)G為復(fù)平面上的點(diǎn)集，若且存在的一個(gè)鄰域，則稱(chēng)為G的內(nèi)點(diǎn)。邊界點(diǎn)：若點(diǎn)而P的任意一個(gè)鄰域內(nèi)既包含有G的點(diǎn)又包含有不屬于G的點(diǎn)，則稱(chēng)P為G的邊界點(diǎn)。G的邊界點(diǎn)所組成的集合稱(chēng)為G的邊界。開(kāi)集如果點(diǎn)集的每一個(gè)點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)為開(kāi)集.閉集如果點(diǎn)集的余集為開(kāi)集，則稱(chēng)為閉集.連通集設(shè)是開(kāi)集，如果對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn)，都可用折線連接起來(lái)，且該折線上的點(diǎn)都屬于，則稱(chēng)開(kāi)集是連通集.區(qū)域（或開(kāi)區(qū)域）連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域.閉區(qū)域開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起，稱(chēng)為閉區(qū)域，記為.3.單連通域、多連通域設(shè)是復(fù)平面上一區(qū)域，如果在內(nèi)任作一條簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部的所有點(diǎn)都在中，則稱(chēng)區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域；否則稱(chēng)為多連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域.任一去心鄰域、環(huán)形域都是多聯(lián)通的。在幾何直觀上，單連通區(qū)域是一個(gè)沒(méi)有“空洞（點(diǎn)洞）和縫隙”的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有“洞或縫隙”的區(qū)域，它可以是由曲線所圍成的區(qū)域中挖掉幾個(gè)洞，除去幾個(gè)點(diǎn)或一條線段而形成的區(qū)域（如圖）.圖屬于單連通區(qū)域D內(nèi)的任一條簡(jiǎn)單閉曲線，在D內(nèi)可以經(jīng)過(guò)連續(xù)的變形而收縮成一點(diǎn)。注：①閉區(qū)域，它不是區(qū)域。②任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C把復(fù)平面分為三個(gè)不相交的點(diǎn)集：有界區(qū)域稱(chēng)為C的內(nèi)部；無(wú)界區(qū)域，稱(chēng)為C的外部；C，稱(chēng)為內(nèi)部與外部的邊界。(1)圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無(wú)界.§1.3復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的概念1、定義——對(duì)于集合G中給定的

，總有一個(gè)（或幾個(gè)）確定的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，并稱(chēng)G為定義集合，而稱(chēng)為函數(shù)值集合(值域).分類(lèi)——2、復(fù)變函數(shù)與實(shí)函數(shù)的關(guān)系討論一個(gè)復(fù)變函數(shù)研究?jī)蓚€(gè)實(shí)二元函數(shù)

例1

將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù)化為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù).解設(shè)，，代入得

比較實(shí)部與虛部得，例2將定義在全平面除原點(diǎn)區(qū)域上的一對(duì)二元實(shí)變函數(shù)，（）化為一個(gè)復(fù)變函數(shù).解設(shè)，，則將，以及代入上式，經(jīng)整理后，得教材P14（例1.3.2)是否為單值函數(shù)

令則均為單值的實(shí)二元函數(shù)是單值函數(shù)。故3、復(fù)變函數(shù)的單值性討論教材P14(例1.3.3）是單值函數(shù)嗎？，均為多值的實(shí)二元函數(shù)方法二、見(jiàn)教材P15,（復(fù)數(shù)的n次方根）二、映射復(fù)變函數(shù)的幾何圖形表示

函數(shù)在幾何上可以看著是把z

平面上的一個(gè)點(diǎn)集D

（定義域）變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G（值域）的一個(gè)映射（或映照）。與G中的點(diǎn)為一一對(duì)應(yīng)映射為雙射典型例題例1、求z平面上的下列圖形在映射下的象。解:乘法的模與輻角定理Howcomplextheexpressionare!uv4i圖a虛軸上從點(diǎn)0到4i的一段（見(jiàn)圖a）。(1)記，則即w平面內(nèi)4圖b（3）見(jiàn)教材P16例1.3.4（3）映為（4）將直線建立所滿(mǎn)足的象曲線方程，消，是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，開(kāi)口向左的拋物線（見(jiàn)圖c1)vu圖c12其是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線（見(jiàn)圖c2）。

將線映為，消x得例2、求下列曲線在映射下的象解法一（1）

消x,y建立u,v所滿(mǎn)足的象曲線方程或由兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)反解解得x=x(u,v),y=y(u,v）后，代入原象曲線方程即得象曲線方程（2）代入原象曲線方程，得解法二代入原象方程得化為實(shí)方程形式（2）留作練習(xí)。§1.4復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限定義

設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)任意給定的正數(shù)（無(wú)論它多么小）總存在正數(shù)，使得適合不等式的所有，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿(mǎn)足不等式則稱(chēng)復(fù)常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或有如下的定理存在定理1.4.1

設(shè)，則的充分必要條件為:且復(fù)變函數(shù)的極限四則運(yùn)算法則：設(shè)，，則

(1)

(2)

(3)例1

試求下列函數(shù)的極限.（1）（2）解（1）法1設(shè)，則，且

得

法2（2）

設(shè)，則，得

例2證明函數(shù)在時(shí)極限不存在.證設(shè)，而，.考慮二元實(shí)函數(shù)當(dāng)沿著（為任意實(shí)數(shù)）趨向于，即

顯然，極限值隨值的不同而不同，所以根據(jù)二元實(shí)變函數(shù)極限的定義知，在趨向于時(shí)的極限不存在，即得結(jié)論.例3證:根據(jù)定理可知,判別的辦法是轉(zhuǎn)化為實(shí)函數(shù)的連續(xù)性三個(gè)條件：有值，極限存在，相等例證例

試證在原點(diǎn)無(wú)極限，從而在原點(diǎn)不連