第9章信號(hào)處理中的若干典型算法9.1信號(hào)的抽取與插值9.2信號(hào)的子帶分解及濾波器組9.3窄帶信號(hào)及調(diào)制與解調(diào)9.4逆系統(tǒng)、反卷積及系統(tǒng)辨識(shí)9.5奇異值分解9.6獨(dú)立分量分析9.7同態(tài)濾波及復(fù)倒譜9.1信號(hào)的抽取與插值前言：關(guān)于抽樣率轉(zhuǎn)換問(wèn)題

（一）為什么要作抽樣率轉(zhuǎn)換？

1.信號(hào)原來(lái)的抽樣頻率不合適如抽樣頻率過(guò)高，數(shù)據(jù)量太大,因此存儲(chǔ)量大；計(jì)算負(fù)擔(dān)重，傳輸時(shí)需要大的帶寬。2.實(shí)際的數(shù)字系統(tǒng)中，不同的處理環(huán)節(jié)需要不同的抽樣頻率例如：在音頻世界，就存在著多種抽樣頻率。得到立體聲信號(hào)（Studiowork）所用的抽樣頻率是48kHz，CD產(chǎn)品用的抽樣率是44.1kHz，而數(shù)字音頻廣播用的是32kHz。

同一首音樂(lè)，從錄音、制作成CD唱盤(pán)到數(shù)字音頻廣播，抽樣頻率要多次變化。再例如：當(dāng)需要將數(shù)字信號(hào)在兩個(gè)或多個(gè)具有獨(dú)立時(shí)鐘的數(shù)字系統(tǒng)之間傳遞時(shí)，則要求該數(shù)字信號(hào)的抽樣率要能根據(jù)時(shí)鐘的不同而轉(zhuǎn)換。3.信號(hào)多分辨率的需要

根據(jù)信號(hào)頻率成分的分布，將一個(gè)信號(hào)分解成低頻信號(hào)和高頻信號(hào)，或分解成多帶信號(hào)（如M個(gè)帶），分解后的信號(hào)帶寬減少M(fèi)倍，所以抽樣頻率可減少M(fèi)倍。多抽樣頻率下信號(hào)的處理稱為

“多抽樣率信號(hào)處理”

MultirateSignalProcessing（二）、如何實(shí)現(xiàn)抽樣率的轉(zhuǎn)換？3.基于原數(shù)字信號(hào)，用信號(hào)處理的 方法實(shí)現(xiàn)抽樣率轉(zhuǎn)換。☆？2.1.對(duì)原來(lái)的模擬信號(hào)重新抽樣；（三）、多抽樣率信號(hào)處理的內(nèi)容信號(hào)的抽取(Decimation);信號(hào)的插值（Interpolation);抽取與插值的實(shí)現(xiàn)、多相結(jié)構(gòu)、多抽樣率系統(tǒng)；兩通道濾波器組，分析與綜合；M通道濾波器組，分析與綜合；多抽樣率信號(hào)處理的應(yīng)用。一、信號(hào)的抽取

↓MDown-Sampler最簡(jiǎn)單的方法是將中每

個(gè)點(diǎn)中抽取一個(gè)，依次組成一個(gè)新的序列，即抽樣頻率減少倍？要找到抽取前后，和的時(shí)域、頻域關(guān)系。對(duì)于抽取，要通過(guò)中間序列

現(xiàn)證明如右的關(guān)系：證明：？

的抽樣率仍為令：的抽樣率是

現(xiàn)在的任務(wù)是:1.找到和的時(shí)域與頻域的關(guān)系;2.找到和的時(shí)域與頻域的關(guān)系;3.找到和的時(shí)域與頻域的關(guān)系;令關(guān)鍵是和的關(guān)系：為一脈沖序列，其抽樣頻率也為正確周期序列展為傅里葉級(jí)數(shù)

所以：又因?yàn)椋鹤詈螅盒盘?hào)抽取前后頻域的關(guān)系如何理解？令：將作3倍的擴(kuò)展將移動(dòng)后作3倍的擴(kuò)展將移動(dòng)后作3倍的擴(kuò)展再迭加！將信號(hào)作的抽取，得

目的：將抽樣頻率降低倍；原則：應(yīng)保留中的全部信息；措施：的一個(gè)周期應(yīng)等于的一個(gè)周期；結(jié)論：：抽取的結(jié)果不會(huì)發(fā)生頻譜的混迭

由于

是可變的，所以很難要求在不同的

下都能保證

結(jié)果：出現(xiàn)了頻譜的混迭，如：抽取后頻譜的混迭

解決的辦法：在抽取前加反混迭濾波器，去除中的成分。雖然犧牲了一部分高頻內(nèi)容，但總比混迭失真好。加上頻帶為（）的低通濾波器后，可以避免抽取后頻譜的混迭二、信號(hào)的插值最簡(jiǎn)單的方法是將每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間補(bǔ)L-1個(gè)零。

Up-Sampler信號(hào)抽取前后頻域的關(guān)系鏡像（Image)必須去除！坐標(biāo)軸的又一種標(biāo)注法

去除鏡像的目的實(shí)質(zhì)上是解決所插值的為零的點(diǎn)的問(wèn)題。方法：濾波三、抽取與插值相結(jié)合的抽樣率轉(zhuǎn)換

分?jǐn)?shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換：CD產(chǎn)品用的抽樣率是44.1kHz，而數(shù)字音頻廣播用的是32kHz。如何轉(zhuǎn)換？先倍插值，再的抽取合理的方法是先對(duì)信號(hào)作插值，然后再抽取

插值抽取

因?yàn)閮蓚€(gè)濾波器工作在同樣的抽樣頻率下，所以可將它們合并成一個(gè)單獨(dú)抽取和單獨(dú)插值時(shí)時(shí)域關(guān)系的結(jié)合例如何計(jì)算？包含很多乘以零的運(yùn)算，實(shí)際上是不需要的

法1由求，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)只要一個(gè)，即白計(jì)算了所以，在抽取與插值中，一定會(huì)有高效的計(jì)算方法，原則是：插值時(shí)，乘以零的運(yùn)算不要做；抽取前，要舍棄的點(diǎn)就不要再計(jì)算。的又一種表示形式：表示對(duì)模求余多相結(jié)構(gòu)表示法2例考查一個(gè)多抽樣率系統(tǒng)是如何工作的四、抽取和插值的濾波器實(shí)現(xiàn)

問(wèn)題：卷積后有大量的數(shù)據(jù)被舍去，浪費(fèi)了計(jì)算時(shí)間。改進(jìn)：右圖假定：分析一下和濾波器系數(shù)相乘的輸入數(shù)據(jù)：與相乘的濾波器系數(shù)：與相乘的濾波器系數(shù)：與相乘的濾波器系數(shù)：可把濾波器的系數(shù)分成組， 每組個(gè)系數(shù)例令作L＝3倍的插值；作M＝4倍的抽取；作L/M=3/4倍的抽樣率轉(zhuǎn)換。作為作業(yè)：請(qǐng)編程實(shí)現(xiàn)該題的要求，并給出類似下頁(yè)的圖形

9.2信號(hào)的子帶分解及濾波器組的基本概念將信號(hào)的頻譜均勻或非均勻地分解成若干部分，每一個(gè)部分都對(duì)應(yīng)一個(gè)時(shí)間信號(hào)，我們稱它們?yōu)樵盘?hào)的子帶信號(hào)。對(duì)信號(hào)x(n)，我們欲將其傳輸，若用數(shù)字方法，其傳輸過(guò)程包括數(shù)字化、量化、編碼及調(diào)制等步驟。若對(duì)該信號(hào)用抽樣頻率fs

進(jìn)行抽樣，每一個(gè)抽樣數(shù)據(jù)為16bit，那么其1秒數(shù)據(jù)所需要的bit數(shù)是16fs。

例

能否保證在傳輸信號(hào)不失真的情況下，減少所用的bit數(shù)？我們發(fā)現(xiàn)x(n)的頻譜主要中在歸一化頻率0.08及0.12處，而從0.25～0.5處的能量很小。解決方法分別用一個(gè)低通濾波器H0(z)和一個(gè)高通濾波器H1(z)進(jìn)行濾波H0(z)↓2H1(z)↓2由于：的頻帶減小了一半；所以：可以在它們后面跟一個(gè)二抽取環(huán)節(jié)；這時(shí)：的抽樣頻率為含有較多的信號(hào)能量，每個(gè)抽樣點(diǎn)仍用16bit含有較少的信號(hào)能量，每個(gè)抽樣點(diǎn)用4bit總的bit數(shù)原來(lái)濾波器組的基本概念

一個(gè)濾波器組是指一組濾波器，它們有著共同的輸入，或有著共同的相加后的輸出概念：分析濾波器組綜合濾波器組分析濾波器組的作用：將信號(hào)按頻帶分解，分解為低通、一系列帶通和高通信號(hào)。按信號(hào)能量的分布，或按重要性，給以分別的處理。去除抽取時(shí)的混疊。無(wú)混疊有混疊通道濾波器組綜合濾波器組的作用：去除插值后的鏡像；實(shí)現(xiàn)真正的插值；重建原信號(hào)。：由于每一個(gè)子帶信號(hào)的頻帶降為原來(lái)的，所以抽樣頻率可降低倍；：恢復(fù)原來(lái)的抽樣頻率，使重建后的信號(hào)和原信號(hào)有相同的抽樣頻率。又抽取又插值的作用：達(dá)到按信號(hào)能量分布給以不同處理的目的，如 編碼；抽取后的信號(hào)可能要傳輸很原才重建。需要研究產(chǎn)生失真的原因：

對(duì)失真的因素:1.混迭失真：抽樣頻率不滿足（1）個(gè)濾波器如何設(shè)計(jì)？（2）每一路的濾波如何計(jì)算？（3）如何保證PR?2.幅度及相位失真：濾波器組的頻帶在通帶內(nèi)不“平”，而其相頻特性不具有線性相位所致3.編碼,量化，傳輸所產(chǎn)生的誤差9.3窄帶信號(hào)及調(diào)制與解調(diào)：低頻，其最高頻率遠(yuǎn)小于

待調(diào)制信號(hào)(modulatingsignal)或基帶信號(hào)

假定為常數(shù)：載波信號(hào)（carriersignal）

：調(diào)制信號(hào)(modulatedsignal)一、窄帶信號(hào)：頻譜的中心在；

有效帶寬窄帶信號(hào)又稱幅度調(diào)制幅度調(diào)制說(shuō)明窄帶信號(hào)多是幅度調(diào)制信號(hào)，如：窄帶信號(hào)的表示方法：1.直接表示：2.間接表示則垂直分量同相分量令3.解析信號(hào)表示復(fù)數(shù)包絡(luò)令則如果相位為零，則復(fù)數(shù)包絡(luò)即是結(jié)論：窄帶信號(hào)的頻譜可由其復(fù)數(shù)包絡(luò)的頻譜作移位而得到。

或：窄帶信號(hào)可由一個(gè)低通信號(hào)來(lái)表示。二、信號(hào)的調(diào)制與解調(diào)信號(hào)為什么要調(diào)制？要傳輸?shù)氖钦Z(yǔ)音、圖像和數(shù)據(jù)，它們都是低頻信號(hào)。這樣的信號(hào)如直接通過(guò)信道傳輸，將會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的衰減，且易受噪聲的干擾。

幅度調(diào)制(AM)頻率調(diào)制（FM）相位調(diào)制（PM）調(diào)制方式傳輸方式時(shí)分復(fù)用（TDM）頻分復(fù)用

（FDM）調(diào)幅（AM）雙邊帶（DSB）調(diào)制單邊帶（SSB）調(diào)制雙邊帶調(diào)制的帶寬是單邊帶調(diào)制的2倍調(diào)相（PM）：待調(diào)制信號(hào)；：偏移常數(shù)；：載波的幅度，為常數(shù)。調(diào)頻（FM）令則瞬時(shí)頻率頻率調(diào)制后的信號(hào)待調(diào)制信號(hào)PM、FM統(tǒng)稱角度調(diào)制，為非線性調(diào)制，特點(diǎn)是傳輸?shù)膸挻螅乖胄阅芎谩?yīng)用于高保真廣播。給定一低頻正弦信號(hào)，可用modulate.m文件實(shí)現(xiàn)其不同形式的調(diào)制。結(jié)果如圖。例FMPMAmdsb-scAmdsb-tc

Amssb

Amdsb：雙邊帶；Amssb單邊帶

信號(hào)的解調(diào)（Demodulation)對(duì)幅度調(diào)制，其過(guò)程即是“包絡(luò)檢測(cè)”，使用的方法即是通過(guò)Hilbert變換，求出解析信號(hào)，然后將頻譜移位，得到低通包絡(luò)信號(hào)。窄帶信號(hào)的抽樣：若：，太大了！窄帶信號(hào)抽樣定理9.4逆系統(tǒng)、反卷積及系統(tǒng)辨識(shí)若，已知，求，正問(wèn)題；多數(shù)情況如此若，已知，求，逆問(wèn)題；已知系統(tǒng)和輸出，求源心電逆問(wèn)題，腦電逆問(wèn)題若，已知，求，逆問(wèn)題；已知輸入輸出，求系統(tǒng)礦物勘探、地球物理等領(lǐng)域由輸出求輸出和系統(tǒng)這兩種情況都要用到“逆系統(tǒng)”和“反卷積”的概念：如果互為逆系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件最小相位系統(tǒng)1.若系統(tǒng)輸入、輸出已知，希望求系統(tǒng)調(diào)整的參數(shù)，使接近等于，則2.若系統(tǒng)輸入未知，輸出已知，希望求系統(tǒng)調(diào)整的參數(shù)，使接近等于，則若系統(tǒng)輸出已知，再知道輸入或系統(tǒng)，欲求另一個(gè)，可采用反卷積的方法：依次遞推deconv.m

系統(tǒng)辨識(shí)－從頻域求解：譜分解9.5奇異值分解正交陣對(duì)角陣長(zhǎng)方陣正交陣

的奇異值的左奇異向量的列向量的列向量的右奇異向量奇異值分解的本質(zhì)是用兩個(gè)正交陣對(duì)一個(gè)長(zhǎng)方陣分別做變換，使其變成對(duì)角陣。然后按大小將奇異值排序。幾點(diǎn)結(jié)論和說(shuō)明：所以，是的左奇異向量1.2.所以，是的右奇異向量3.是是特征向量或

特征值的開(kāi)方4.矩陣可看作奇異向量做外積后的加權(quán)和，權(quán)重即是非零的奇異值，即

5.矩陣的Frobenius范數(shù)定義為關(guān)系：6.如果：滿秩

，的列向量也按此排序7.排序的前個(gè)列向量形成了的列向量所張成的空間的正交基；的前個(gè)列向量形成了的行向量所張成的空間的正交基；的后個(gè)列向量形成了的零空間的正交基；的后個(gè)列向量形成了的零空間的正交基。結(jié)論8.偽逆（pseudo-inverse）

展開(kāi)9.線性方程組方程數(shù)大于未知數(shù):超定(overdetermined)方程組；方程數(shù)小于未知數(shù):欠定(underdetermined)方程組在超定和欠定兩種情況下，方程的解可表為：超定()：欠定()：10.超定方程組無(wú)唯一解，但給定約束條件

現(xiàn)討論解的性質(zhì)。有唯一解解的性質(zhì)：所以，由偽逆給出的解是最小平方（二乘）解，其求解算法可以用奇異值分解來(lái)實(shí)現(xiàn)。

SVD在信號(hào)處理中的應(yīng)用：反卷積、信號(hào)的最小平方估計(jì)、噪聲去除、ARMA模型求解及參數(shù)模型階次的估計(jì)等。

例信號(hào)去噪矩陣的奇異值可以反映信號(hào)和噪聲能量集中的情況。如果將它們按照遞減的順序排列起來(lái)，即那么，前個(gè)較大的奇異值將主要反映信號(hào)，較小的奇異值則主要反映噪聲，把這部分反映噪聲的奇異值置零，就可以去除信號(hào)中的噪聲。這就是利用SVD去除噪聲的基本原理。對(duì)一維信號(hào)，關(guān)鍵是如何形成矩陣。方法1：方法2：

9.6獨(dú)立分量分析簡(jiǎn)介獨(dú)立分量分析（independentcomponentanalysis，ICA）是近年來(lái)由信源盲分解（blindsourceseparation,BSS）技術(shù)發(fā)展起來(lái)的多通道信號(hào)處理方法。

如何由頭皮腦電信號(hào)反演來(lái)求出皮層內(nèi)的腦電信號(hào)？這是一個(gè)典型的反卷積問(wèn)題，也是一個(gè)典型的信源盲分解問(wèn)題，極具挑戰(zhàn)性的課題。高分辨腦電腦電核磁圖像3維模型剖分腦電核磁圖像

ICA模型每一個(gè)分量都是時(shí)間的函數(shù)源信號(hào)：M個(gè)（假定：顱內(nèi)偶極子給出）觀察信號(hào)：N個(gè)（假定：頭皮電極給出）是混合矩陣，將個(gè)變?yōu)閭€(gè)，它可以看作是從皮層通過(guò)顱骨到頭皮的路徑（系統(tǒng)）。我們的任務(wù)是由觀察信號(hào)求出源信號(hào)，設(shè)想我們可以構(gòu)造出一個(gè)解混合的矩陣。混合矩陣如果保證則當(dāng)然只能是近似！為保證解混合過(guò)程能實(shí)現(xiàn)，且求解穩(wěn)定，要求：（1）相互獨(dú)立（3）源信號(hào)的各分量最多只能有一個(gè)是高斯信號(hào)。因?yàn)楦咚剐盘?hào)的線性組合仍然是高斯的，兩個(gè)以上高斯信號(hào)的解混問(wèn)題是病態(tài)的。在ICA中，有兩大類問(wèn)題需要解決：一是如何判斷解混后的信號(hào)的各分量之間是相互獨(dú)立的，二是如何發(fā)展一套算法使混合信號(hào)通過(guò)解混運(yùn)算后實(shí)現(xiàn)相互獨(dú)立。（2）源信號(hào)的分量個(gè)數(shù)小于觀察信號(hào)分量的個(gè)數(shù)。也就是說(shuō)，由個(gè)觀察信號(hào)最多只能分解出個(gè)源信號(hào)分量。衡量一組信號(hào)是否接近于相互獨(dú)立，需要優(yōu)化判據(jù)。判據(jù)有：代價(jià)函數(shù)極小化判據(jù)、互信息極小化判據(jù)、輸出熵極大化判據(jù)以及極大似然估計(jì)判據(jù)等。

ICA的基本思路是選擇上述某一種獨(dú)立性判據(jù)，構(gòu)造一個(gè)多通道隨機(jī)信號(hào)的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)合適的優(yōu)化算法來(lái)調(diào)節(jié)解混矩陣從而使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大化或最小化。兩大類：批處理算法；自適應(yīng)處理算法。前者包括成對(duì)旋轉(zhuǎn)法、改進(jìn)的成對(duì)旋轉(zhuǎn)法及固定點(diǎn)算法等；后者包括隨機(jī)梯度法（Infomax算法）、自然梯度及相對(duì)梯度法（擴(kuò)展的Infomax算法）、非線性主分量分解法等。仿真舉例源信號(hào)混合信號(hào)解混信號(hào)例

9.7同態(tài)濾波及復(fù)倒譜簡(jiǎn)介

加法性噪聲線性濾波乘法性噪聲卷積性噪聲調(diào)制信號(hào)就是乘法性的，即傳輸出去的信號(hào)是待調(diào)信號(hào)和載波信號(hào)的乘積。卷積性信號(hào)多出現(xiàn)在有回波的場(chǎng)合，如語(yǔ)音、雷達(dá)、聲納及超聲成像等領(lǐng)域。在這兩種情況下信號(hào)的頻譜和噪聲的頻譜混疊在一起，不能簡(jiǎn)單地用線性濾波的方法去出噪聲。同態(tài)濾波用來(lái)實(shí)現(xiàn)這一類型的去噪問(wèn)題。對(duì)乘法性噪聲：步驟1：取對(duì)數(shù)步驟2：濾波步驟3：取指數(shù)對(duì)卷積性噪聲：步驟1：取Z變換步驟2：取對(duì)數(shù)步驟3：取Z反變換步驟5：取反變換步驟4：濾波步驟6：取指數(shù)在上述步驟中：有是的傅里葉變換取自然對(duì)數(shù)后的傅里葉反變換，稱其為倒譜，由于其一