基礎訓練1．如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿，分別相切于點，，不倒翁的鼻尖正好是圓心，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【詳解】連接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故選：C2．如圖，從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA，PB，切點分別是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，則弦AB的長是（）A． B． C．5 D．5【詳解】解：∵PA，PB為⊙O的切線，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△APB為等邊三角形，∴AB=PA=5．故選：C．3．如圖，△ABC的內切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點D，E，F，且AD＝2，BC＝5，則△ABC的周長為（）A．16 B．14 C．12 D．10【詳解】解：∵△ABC的內切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點D，E，F，且AD＝2，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BE+CE=BC＝5，∴△ABC的周長＝2+2+5+5＝14，故選：B．4．如圖，的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，已知的周長為36．，，則AF的長為（

）A．4 B．5 C．9 D．13【詳解】解：的周長為36．，，∴,由切線長定理可得，，設，，解得：∴；故選：A．5．如圖，已知是的兩條切線，A，B為切點，線段交于點M．給出下列四種說法：①；②；③四邊形有外接圓；④M是外接圓的圓心，其中正確說法的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】如圖，是的兩條切線，故①正確，故②正確，是的兩條切線，取的中點，連接，則所以：以為圓心，為半徑作圓，則共圓，故③正確，M是外接圓的圓心，與題干提供的條件不符，故④錯誤，綜上：正確的說法是個，故選C．6．如圖，切于點切于點交于點，下列結論中不一定成立的是（

）A． B．平分C． D．【詳解】解：連接OA，OB，AB，AB交PO于點G，由切線長定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，從而AB⊥OP．因此A．B．C都正確．無法得出AB＝PA＝PB，可知：D是錯誤的．綜上可知：只有D是錯誤的．故選：D．7．如圖，已知、是的兩條切線，、為切點，連接交于，交于，連接、，則圖中等腰三角形、直角三角形的個數分別為（

）A．1，2 B．2，2C．2，6 D．1，6【詳解】解：因為OA、OB為圓O的半徑，所以OA＝OB，所以△AOB為等腰三角形，根據切線長定理，PA＝PB，故△APB為等腰三角形，共兩個，根據切線長定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，故AB⊥PE，根據切線的性質定理∠OAP＝∠OBP＝90°，所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6個．故選C．8．如圖，在Rt中，，是的內切圓，三個切點分別為D、E、F，若則的面積是（）A．60 B．13 C．13 D．30【詳解】∵是的內切圓，切點分別為D，E，F，∴，∴，∵，∴四邊形是正方形，設，在Rt中，，故，解得：（舍去），∴，∴，故選：D．9．若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為2，則其內切圓半徑的長為（）A． B． C． D．—1【詳解】解：∵等腰直角三角形外接圓半徑為2，∴此直角三角形的斜邊長為4，兩條直角邊分別為2，∴它的內切圓半徑為：R=（2+2-4）=2-2．故選：B．10．如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m．按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長（計算時視管道為線，中心O為點）是（

）A．2m B．3m C．6m D．9m【詳解】設內切圓半徑為r，由勾股定理可得斜邊=，則利用面積法可得：，解得．∴管道為（m），故選：C．11．如圖，三條公路兩兩相交，現計劃在中內部修建一個探照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，則探照燈位置是（

）A．三條中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點C．三條高的交點 D．三條角平分線的交點【詳解】△ABC三個內角的平分線交于一點，且到三邊的距離相等，所以探照燈的位置是三條角平分線的交點．故選：D．12．如圖，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是內心，O是外心，則∠BIC＝（

）度A．70 B．135 C．55 D．125【詳解】解：在中，，是外心，，，，為的內心，，，，，故選：D．13．如圖，PA，PB分別切⊙O于A，B，并與⊙O的切線，分別相交于C，D，已知△PCD的周長等于10cm，則PA=cm．【詳解】如圖，設DC與⊙O的切點為E，∵PA、PB分別是⊙O的切線，且切點為A、B，∴PA=PB，同理，可得：DE=DA，CE=CB，則△PCD的周長=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm），∴PA=PB=5cm，故答案為：5．14．已知的三邊a、b、c滿足，則的內切圓半徑=．【詳解】解：則=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC是直角三角形∴的內切圓半徑==1．故答案為1．15．如圖，四邊形為的內接四邊形，是的內心，點與點關于直線對稱，則的度數是．【詳解】解：連接OB、OD、BI、DI，∵點與點關于直線對稱，∴OB=BI，OD=DI，∵OB=OD，∴OB=BI=OD=DI，∴四邊形OBID是菱形，∴∠BOD=∠BID，∠OBD=∠BDO=∠IBD=∠IDB，∵∠BOD=2∠A，∠BID=180°-（∠IBD+∠IDB），∵∠IBD+∠IDB=，,∴∠IBD+∠IDB=，∴∠BID=180°-，∴2∠A=180°-，解得∠A=，故答案為：．16．如圖，PA，PB與⊙O相切，切點為A，B，CD與⊙O相切于點E，分別交PA，PB于點D，C．若PA，PB的長是關于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的兩個根．（1）求m的值；（2）求△PCD的周長．【詳解】解：PA，PB與⊙O相切，PA，PB的長是關于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的兩個根解得（2）PA，PB與⊙O相切，CD與⊙O相切于點E，△PCD的周長117．已知的三邊長分別為，Ⅰ為的內心，且Ⅰ在的邊上的射影分別為．（1）若，求內切圓半徑r；（2）求證：．【詳解】解：（1）∵，∴△ABC是直角三角形，設△ABC內切圓的半徑為，由△ABC的面積可得：=，即=，解得：r=1，∴△ABC的內切圓半徑為1；（2）∵I為△ABC的內心，且I在△ABC的邊BC，AC，AB上的射影分別為D，E，F，∴D、E、F分別是⊙I的三邊切點，∴AF=AE，BF=BD，CD=EC，設AE=AF=x，則EC=b-x，BF=c-x，故BC=a=b-x+c-x，整理得出：x=，即AE=AF=．能力提升1．已知一個三角形的三邊長分別為5、7、8，則其內切圓的半徑為（）A． B． C． D．【詳解】解：如圖，，內切圓O的半徑為，切點為，則過點A作于D，設，則由勾股定理得：則，即解得，即又即解得則內切圓的半徑為故選：C．2．如圖，在中，，于，為的內切圓，設的半徑為，的長為，則的值為（

）A． B． C． D．【詳解】解：如圖所示：為中、、的角平分線交點，過點分別作垂線交、、于點、、，，，，的長為，，，，，故選：A．3．我國古代數學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為．【詳解】解：設四個全等的直角三角形的三邊分別為，較長的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，，①，②，，③，，解得或（舍去），大正方形的面積為，故答案為：．4．如圖，矩形ABCO的頂點A，C分別在x軸、y軸上，點B的坐標為，⊙M是的內切圓，點N，點P分別是⊙M，x軸上的動點，則的最小值是．【詳解】解：作點B關于x軸的對稱點B′，連接MB′，交⊙M于點N，交x軸于點P，過點M作MQ⊥x軸，交x軸于點E，過點B′作B′Q⊥MQ，∵點B與點B′關于x軸對稱，∴PB+PN=PB′+PN，當N、P、B’在同一直線上且經過點M時取最小值．在Rt△ABC中，AC==5，由⊙M是△AOC的內切圓，設⊙M的半徑為r，∴S△AOC=（3r+4r+5r）=×3×4，解得r=1，∴ME=MN=1，∴QB′=4-1=3，QM=3+1=4，∴MB′=5，∴PB′+PN=5-1=4，即PB+PN最小值為4，故答案為：4．5．若三角形的三邊長分別是6、8、10，則這個三角形的內心與外心之間的距離為．【詳解】解：如圖：∵三角形的三邊長為BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm∴三角形為直角三角形∴直角三角形的外心是斜邊的中點，即AD=BD=AB=5由直角三角形內切圓半徑公式：即OE=2∵OF⊥BC，OG⊥AC∴CF=CG=OF=OG=2，∴BE=FB=4，BD=5∴DE=BD-BE=1在Rt△ODE中，DE=1，OE=2∴OD=．故答案為．拔高拓展1．探究問題：(1)如圖1，PM、PN、EF分別切于點A、B、C，猜想的周長與切線長PA的數量關系，并證明你的結論．(2)如果圖1的條件不變，且，的周長為16