5．1任意角和弧度制【題型歸納目錄】題型一：角的概念題型二：終邊相同的角的表示題型三：角所在象限的研究題型四：象限角的判定題型五：區域角的表示題型六：弧度制與角度制的互化題型七：扇形的弧長及面積公式的應用題型八：扇形中的最值問題【知識點梳理】知識點一：任意角的概念1、角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．正角：按逆時針方向旋轉所形成的角．負角：按順時針方向旋轉所形成的角．零角：如果一條射線沒有做任何旋轉，我們稱它形成了一個零角．知識點詮釋：角的概念是通過角的終邊的運動來推廣的，既有旋轉方向，又有旋轉大小，同時沒有旋轉也是一個角，從而得到正角、負角和零角的定義．2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合．那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．知識點詮釋：（1）終邊相同的前提是：原點，始邊均相同；（2）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；（3）終邊相同的角有無數多個，它們相差的整數倍．3、常用的象限角角的終邊所在位置角的集合x軸正半軸y軸正半軸x軸負半軸y軸負半軸x軸y軸坐標軸是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以知識點二：弧度制1、弧度制的定義長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長公式：（是圓心角的弧度數），扇形面積公式：．知識點詮釋：（1）角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分，如等等，一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0，角的正負主要由角的旋轉方向來決定．（2）角的弧度數的絕對值是：，其中，是圓心角所對的弧長，是半徑．【典型例題】題型一：角的概念例1．下列說法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角例2．每周一的早晨，我們都會在學校的操場上舉行升國旗儀式，一般需要10分鐘．這10分鐘的時間，鐘表的分針走過的角度是（

）A． B． C． D．例3．射線繞端點逆時針旋轉到達位置，由位置繞端點旋轉到達位置，得，則射線旋轉的方向與角度分別為（）A．逆時針， B．順時針，C．逆時針， D．順時針，變式1．下列命題中正確的是（

）A．如果我們把相等的角視為同一個角，則弧度制建立了一個從任意角的集合到實數集的一一對應的關系B．弧度制表示角時，不同大小的弧度可以表示同一個角C．終邊相同的角的弧度制表示相差D．終邊相同的角的弧度都相同變式2．下列說法正確的有幾個（

）（1）第一象限的角都是銳角；（2）銳角都是第一象限的角；（3）銳角是大于小于的角；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個變式3．已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D【方法技巧與總結】理解與角的概念有關問題的關鍵關鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小．另外需要掌握判斷結論正確與否的技巧，判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需舉一個反例即可．題型二：終邊相同的角的表示例4．請寫出與終邊相同的最小正角：.例5．與角終邊重合的角的集合是.例6．在區間內找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．(1)；(2)；(3)．變式4．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來：(1)；(2)；(3)；(4)．變式5．寫出與角終邊相同的角的集合，并求在范圍內與角終邊相同的角．【方法技巧與總結】在0°～360°范圍內找與給定角終邊相同的角的方法（1）把任意角化為（且）的形式，關鍵是確定k．可以用觀察法（的絕對值較小），也可用除法．（2）要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值．題型三：角所在象限的研究例7．已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．例8．若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．例9．若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置．變式6．若，，試確定，分別是第幾象限角．變式7．若是第一象限角，問，，是第幾象限角？變式8．已知角的終邊在第四象限.（1）試分別判斷、是哪個象限的角；（2）求的范圍.【方法技巧與總結】已知的范圍，確定的范圍，一般應先將的范圍用不等式表示，然后再兩邊同除以，根據的取值進行分類討論，以確定的范圍，討論角的范圍時要做到不重不漏，尤其對象限界角應引起注意．題型四：象限角的判定例10．若是第二象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角例11．若是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．例12．若為第二象限角，則的終邊所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限變式9．若是第二象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角變式10．若角是第二象限角，則角的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式11．若是第四象限角，則一定是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【方法技巧與總結】判斷一個角在第幾象限或哪條坐標軸上的一般方法（1）若的絕對值比較大，可通過加上或減去360°的整數倍得到內或內的一個角β；（2）判斷所在象限，則在第幾象限，就在第幾象限．題型五：區域角的表示例13．用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內（不包括邊界）的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）例14．（1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．（2）已知角，將改寫成的形式，并指出是第幾象限角．例15．用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內（不包括邊界）的角的集合.變式12．寫出終邊落在圖中陰影區域內的角的集合．(1)

(2)

變式13．寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．變式14．用弧度制表示終邊落在下列陰影部分的角包含邊界，請用集合形式表示(1)(2)【方法技巧與總結】區域角的寫法可（1）按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界；（2）由小到大分別標出起始、終止邊界對應的一個角，，寫出所有與，終邊相同的角；（3）用不等式表示區域內的角，組成集合．題型六：弧度制與角度制的互化例16．把下列各角化成的形式，并指出它們是哪個象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．例17．把下列各角的弧度化成度：(1)；(2)；(3)；(4)．例18．把下列各角的角度化成弧度：(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧與總結】①在進行角度與弧度的換算時，關鍵是抓住πrad=180°，這一關系．②用弧度作為單位時，常出現，如果題目沒有特殊的要求，應當保留的形式，不要寫成小數．③角度制與弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正確的寫法．題型七：扇形的弧長及面積公式的應用例19．我國古代某數學著作中記載：“今有宛田，下周四步，徑四步，問為田幾何？”譯成現代漢語其意思為：有一塊扇形的田，弧長4步，其所在圓的直徑是4步，則這塊田的面積是（

）A．8平方步 B．6平方步 C．4平方步 D．16平方步例20．在半徑為9的圓中，的圓心角所對弧長為（

）A．900 B． C． D．例21．已知扇形弧長為，圓心角為2，則該扇形面積為（

）A． B． C． D．1變式15．已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（

）A． B． C． D．變式16．半徑為4，圓心角為1弧度的扇形的面積是（

）A．6 B．7 C．8 D．9變式17．一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓（半徑為1cm）的圓周上爬動，且兩只螞蟻均從點同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．變式18．中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜歡在扇面上寫字作畫．如圖是書畫家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鴉圖》扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為（

）A． B． C． D．變式19．已知扇形的半徑為1，圓心角為，則這個扇形的弧長為（

）A． B． C． D．60【方法技巧與總結】有關扇形的弧長，圓心角，面積的題目，一般是知二求一的題目，解此類題目的關鍵在于靈活運用，兩組公式．題型八：扇形中的最值問題例22．已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當為多少弧度時，該扇形面積最大？求出最大面積．例23．已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．例24．已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為(1)若，，求扇形的弧長(2)若扇形的周長為，當為多少弧度時，該扇形面積最大并求出最大面積．變式20．已知扇形的圓心角是，半徑是，弧長為.(1)若，求扇形的面積；(2)若扇形的周長為，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數．變式21．某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環面(由扇形挖去扇形后構成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關于的函數解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大?并求出最大值．變式22．如果一個扇形的周長為，那么當它的半徑和圓心角分別為多少時，扇形的面積最大？變式23．已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【方法技巧與總結】解決最值問題采用消元思想或二次函數思想加以解決【過關測試】一、單選題1．已知相互嚙合的兩個齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當大輪轉動一周時小輪轉動角度是（

）A． B． C． D．2．下列命題中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個角的終邊重合，則這兩個角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關3．磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖所示，一扇環形磚雕，可視為將扇形OCD截去同心扇形OAB所得圖形，已知，，，則該扇環形磚雕的面積為（

）.A． B． C． D．4．二十四節氣是中國古代訂立的一種用來指導農事的補充歷法，是中華民族勞動人民智慧的結晶．從立春起的二十四節氣依次是立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四節氣的對應圖如圖所示，從2022年4月20日谷雨節氣到2022年12月7日大雪節氣，圓上一點轉過的弧所對圓心角的弧度數為（

）．A． B． C． D．5．如圖所示，已知的一條劣弧的長等于該圓內接正三角形的邊長，則從順時針旋轉到所形成的角的弧度數是（

）A． B． C． D．6．已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限7．設，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．8．數學中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以點為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為，則其面積是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知某扇形的周長為44，圓心角為2，則（

）A．該扇形的半徑為11 B．該扇形的半徑為22C．該扇形的面積為100 D．該扇形的面積為12110．如圖，A，B是單位圓上的兩個質點，點B的坐標為(1，0)，∠BOA＝60°，質點A以1rad/s的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質點B以2rad/s的角速度按順時針方向在單位圓上運動，則（

）A．經過1s后，∠BOA的弧度數為＋3B．經過s后，扇形AOB的弧長為C．經過s后，扇形AOB的面積為D．經過s后，A，B在單位圓上第一次相遇11．如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．三、填空題13．把分針撥快15分鐘，則分針轉過的角度為.14．如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇形，其中