矩形板彈性彎曲的彈性力學分析

彈性矩形板是土木工程中常用的結構形式。例如,橋梁工程中的橋面板,高速公路中的水泥混凝土路面以及各種房屋建筑中的樓板等。本文就四周固結平板受力位移提供幾種解法的比較。板是典型的工程構件,當板的厚度h與最小特征尺寸L之比:h:L<1/5時,稱為薄板。如果薄板在彎曲荷載作用下,板內的最大撓度Wmax小于板厚度的五分之一,即Wmax<h/5時,則稱為薄板小撓度彎曲問題。本文就垂直于板中面的荷載引起的薄板彎曲通過彈性力學以及有限元法作分析。1薄膜中面的變形(1)變形前垂直于中面的直線段在變形后仍然垂直于變形后的中面,且長度保持不變;(2)薄板中面各點都沒有平行于中面的位移;(3)平行于中面的板內各層互不擠壓,在計算變形時可忽略擠壓應力σz。2彈性材料的dz、qy在板撓度很小情況下,根據彈性理論中變形分量與位移關系有:εx=?u?x?εy=?v?y?γxy=?v?x+?u?y垂直于X軸的橫截面上Μx=∫h/2-h/2σxzdz=-D(?2w?x2+v?2w?y2)Μy=∫h/2-h/2σyzdz=-D(?2w?y2+v?2w?x2)Μxy=∫h/2-h/2Τxyzdz=-D(1-v)?2w?x?y彈性薄板的基本微分方程:D?2?2w=q結合彈性力學知識可得以下各式:Qx=-D??x(?2w)；Qy=-D??y(?2w)σx=12Μxh3z;σy=12Μyh3z;rxy=12Μxyh3z;rxz=32Qxh(1-4z2h2);ryz=32Qyh(1-4z2h2)式中:D=Eh312(1-v2)為板的抗彎剛度。3用彈性模量求鋼板撓度設有四邊固定的矩形薄板(如圖1),長為2a,寬為2b,受垂直于板面的均布載荷q0作用,厚度為t,彈性模量為E,泊松比μ=0.3,取坐標軸如圖,求薄板的撓度。3.1中央撓度函數形式解:(1)設置薄板的撓度函數為w=∑mcmwm=(x2-a2)2(y2-b2)2(c1+c2x2+c3y2+?)(1)顯然,式(1)滿足薄板四周固定的位移邊界條件,可以認為式(1)也滿足了靜力邊界條件,因此,可用伽遼金法求解。(2)由滿足式∫∫D(?4w)wmdxdy=∫∫qwmdxdy確定c1,設式(1)中只取一項系數:w=c1(x2-a2)2(y2-b2)2=c1w1?4w=8[3(y2-b2)2+3(x2-a2)2+4(3x2-a2)(3y2-b2)]c1a∫-ab∫-b8D[3(y2-b2)2+3(x2-a2)2+4(3x2-a2)(3y2-b2)]c1(x2-a2)2(y2-b2)2dxdy=a∫-ab∫-bq0(x2-a2)2(y2-b2)2dxdy∴c1=7q0128(a4+b4+47a2b2)D(3)將c1代入式(1),得薄板的撓度為:w=7q0128(a4+b4+47a2b2)D(x2-a2)2(y2-b2)2對于正方形薄板(a=b),有:c1=49q02304Da4w=49q02304Da4(x2-a2)2(y2-b2)2wmax=(w)x=y=049q0a42304D=0.0213q0a4D若將撓度函數取為:w=∑m∑nCmn(1+cosmπxa)(1+cosnπyb)由邊界條件,x=±a時,w=0??w?x=0;y=±b時,w=0??w?y=01+cosmπ(±a)a=0?1+cosnπ(±b)b=0(其中m?n為奇數)又?w?x=∑m∑nCmn-mπasinmπxa(1+cosnπyb)?w?y=∑m∑nCmn-nπbsinmπyb(1+cosnπxa)∴x=±a?y=±b上有?w?x|x=±a=0??w?y|y=±b=0因此滿足邊界條件。假定在上述w的三角級數式中只取一項,即:w=C11(1+cosπxa)(1+cosπyb)利用迦遼金法取:w=w1=(1+cosπxa)(1+cosπyb)?4w=?4w?x4+2?4w?x2?y2+?4w?y4=C11[(πa)4sinπxa(1+cosπyb)+(πb)4sinπyb(1+cosπxa)+2π4a2b2cosπxacosπyb]利用a∫0b∫0D(?4w)w1dxdy=a∫0b∫0qw1dxdy得:w=4q0a4(1+cosπxa)(1+cosπyb)π4D(3+2a2b2+3a4b4)正方形薄板時(a=b),有w=q0a42π4D(1+cosπxa)(1+cosπyb)wmax=(w)x=y=0=0.0205q0a4/D分析:最大撓度分別比精確解(0.0202q0a4/D)大了5.4%、1.5%。由此可見,此撓度方程式比式(1)的撓度方程更接近于薄板的實際撓度曲面。3.2單元劃分單元彈性薄板彎曲問題矩形單元的單元剛度矩陣為[Κ]e=Et3360ab(1-μ2)[Κ11Κ21Κ22對稱Κ31Κ32Κ33Κ41Κ42Κ43Κ44)式中:[Κ11]=[21-6μ+30(b2a2+a2b2)3(1+4μ)b+30a2b-3(1+4μ)a-30b2a3(1+4μ)b+30a2b8(1-μ)b2+40a2-30μab-3(1+4μ)a-30b2a-30μab8(1-μ)a2+40b2][Κ21]=[-21+6μ+15(a2b2-b2a2)-3(1+4μ)b+15a2b3(1-μ)a+30b2a-3(1+4μ)b+15a2b-8(1-μ)b2+20a20-3(1-μ)a-30b2a0-2(1-μ)a2+20b2][Κ31]=[21-6μ-15(a2b2-b2a2)3(1-μ)b-15a2b-3(1-μ)a+15b2a-3(1-μ)b+15a2b2(1-μ)b2+10a203(1-μ)a-15b2a02(1-μ)a2+10b2][Κ41]=[-21+6μ+15(b2a2-a2b2)-3(1-μ)b-30a2b3(1+4μ)a-15b2a3(1-μ)b+30a2b-2(1-μ)b2+20a203(1+4μ)a-15b2a0-8(1-μ)a2+20b2][Κ22]=[21-6μ+30(a2b2+b2a2)3(1+4μ)b+30a2b3(1+4μ)a+30b2a3(1+4μ)b+30a2b8(1-μ)b2+40a230μab3(1+4μ)a+30b2a30μab8(1-μ)a2+40b2][Κ32]=[-21+6μ+15(b2a2-2a2b2)-3(1-μ)b-30a2b-3(1+4μ)a+15b2a3(1-μ)b+30a2b-2(1-μ)b2+20a20-3(1+4μ)a+15b2a0-8(1-μ)a2+20b2][Κ42]=[21-6μ-15(a2b2+b2a2)3(1-μ)b-15a2b3(1-μ)a-15b2a3(1-μ)b+30a2b2(1-μ)b2+10a20-3(1-μ)a+15b2a02(1-μ)a2+10b2][Κ33]=[21-6μ+30(a2b2+b2a2)-3(1+4μ)b-30a2b3(1+4μ)a+30b2a-3(1+4μ)b-30a2b8(1-μ)b2+40a2-30μab3(1+4μ)a+30b2a-30μab8(1-μ)a2+40b2][Κ43]=[-21+6μ+15(a2b2-2b2a2)3(1+4μ)b-15a2b-3(1-μ)a-30b2a3(1+4μ)b-15a2b-8(1-μ)b2+20a203(1-μ)a+30b2a0-2(1-μ)a2+20b2][Κ44]=[21-6μ+30(a2b2+b2a2)-3(1+4μ)b-30a2b-3(1+4μ)a-30b2a-3(1+4μ)b-30a2b8(1-μ)b2+40a230μab-3(1+4μ)a-30b2a30μab8(1-μ)a2+40b2]解:(1)單元劃分為了簡單起見,采用最簡單的2×2網格,即把薄板分成四個矩形單元。由于對稱性,只需計算一個單元,例如圖1中陰影的單元,單元的節點編號為1,2,3,4。(2)計算節點荷載矩形單元受均布法向荷載q0作用,這時{FR}e=q0a1b1[1b13-a131b13a131-b13a131-b13-a13]Τ(3)邊界條件對稱軸邊界:法線轉角=0;固定邊界:撓度=0(或已知值);邊線轉角=0(或已知值);法線轉角=0(或已知值)這是只有一個單元的計算對象,因此,結構的總剛度方程就是單元1的單元剛度方程。引入支承條件后,在總剛度矩陣中只取第一行第一列元素,在方程組右端項{FR}e中只保留第一個元素。于是結構的代數方程為:Et3360a1b1(1-μ)2Κ11w1=q0a1b1其中Κ11=21-6μ+30(b12a12+a12b12)即:Et3360a1b1(1-μ2)[21-6μ+30(b12a12+a12b12)]w1=q0a1b1∴w1=360q0a12b12(1-μ2)Et3[21-6μ+30(b12a12+a12b12)]正方形薄板時a1=b1=a/2時,w1=360q0(a2)2(a2)2(1-μ2)Et3(21-6μ+30×2)=360q0a416(1-μ2)Et3(81-6μ)=360192(81-6μ)?q0a4D(D=Et312(1-μ2))μ=0.3時,w1=0.02367q0a4/D;采用4×4網格時,w1=0.0224q0a4/D;采用8×8網格時,w1=0.0208q0a4/D分析:最大撓度分別比精確解(0.0202q0a4/D)大了17.2%、