實用文檔（一）.關于原函數與不定積分概念的幾點說明

1.

原函數與不定積分是兩個不同的概念，它們之間有著密切的聯系。對于定義在某個區間上的函數f（x），若存在函數F（x），使得該區間上的每一點x處都有F/（x）=f（x），則稱F（x）是f（x）在該區間上的原函數。而表達式F（x）+C（C為任意常數）稱為f（x）的不定積分。2.f（x）的原來函數若存在，則原函數有無限多，但任意兩個原函數之間相差某個常數。因此求f（x）的不定積分∫f（x）dx時，只需求出f（x）的一個原函數F（x），再加上一個任意常數C即可，即∫f（x）dx

=F（x）+C。3.

原函數F（x）與不定積分∫f（x）dx是個體與全體的關系，F（x）只是f（x）的某個原函數，而∫f（x）dx是f（x）的全部原函數，因此一個原函數只是加上任意常數C后，即F（x）+C才能成為f（x）的不定積分。例如x2

+1，x2-3，x2+12都是2x的原函數，但都不是2x的不定積分，只有x2

+C才是2x的不定積分（其中C是任意常數）。4.f（x）的不定積分∫f（x）dx中隱含著積分常C，因此計算過程中當不定積分號消失后一定要加上一個任意的常數C。5.

原函數存在的條件：如果函數f（x）在某區間上連續，則在此區間上f（x）的原函數一定存在。由于初等函數在其定義域區間上都是連續的，所以初等函數在其定義區間上都有原函數，值得注意的是，有些初等函數的原函數很難求出來，甚至不能表為初等函數，例如下列不定積分

∫

dx

∫

都不能“積”出來，但它們的原函數還是存在的。

（二）換元積分法的幾點說明

換元積分法是把原來的被積表達式做適當的換元，使之化為適合基本積分公式表中的某一形式，再求不定積分的方法。1.

第一換元積分法（湊微分法）：根據一階微分形式的不變性，若

dF（u）=f（u）du

則

dF（u（x））=f（u）du利用不定積分與微分的互逆關系，可以把它轉化為不定積分的換元公式：∫f[u（x）]du（x）=

∫f（u）du

（令u=u（x））

=F（u）+C

（求積分）

=F（u（x））+C

（令

u=u（x））

在具體問題中，湊微分要根據被積函數的形式特點靈活運用。

2.

第二換元積分法：令x=φ（x），常用于被積函數含

或

等形式。3.

同一個不定積分，往往可用多種換元方法求解，這時所得結果在形式可能不一致，但實質上僅相差一常數，這可通過對積分結果進行導運算來驗證。

（三）關于積分形式不變性如果∫f（x）dx=F（x）+C，那么有∫f（u）du=F（u）+C，其中u=Φ（x）是x的可微函數。這個道理說明：（1）.積分變量x無論是自變量，還是中間變量，積分公式的形式不變，這一特性叫做積分形式不變性。

（2）.根據這個定理，基本積分公式中的x既可以看作是自變量，也可以看作是函數（可微函數），因此基本積分公式中的公式應用范圍就擴大了。

（四）分部積分法設u=u（x），v=v（x）是可微函數，且u/（x）v（x）或u（x）v/（x）有原函數，則有分部積分公式：∫u（x）v/（x）dx=u（x）v（x）-∫v（x）u/（x）dx或

∫udu

=

uv

-

∫vdu當被積分函數是兩個函數的乘機形式時，如果用以前的方法都不易計算，則可考慮用分部積分法求解。顯然，用分部積分法計算不定積分時，關鍵是如何恰當的選擇誰做u，誰做v/。如果選擇不當，就有可能求不出積分的結果或者計算很困難，一般說來選擇u和v/的原則是：1.

根據v/容易求出v；

2.

∫vu/dx要比∫uv/dx容易計算。

（五）關于定積分的定義

由定積分的定義可以看出，定積分是一個數值，這個數值與被積函數f（x）及積分區間[a，b]有關，與區間[a，b]的分法和點的取法無關，而且與積分變量用什么字母也無關，所以有

f（x）dx=

f（t）dt

=

f（u）du函數f（x）在[a，b]上可積的條件與f（x）在[a，b]上連續或可導的條件相比是最弱的條件，即f（x）在[a，b]上有以下關系：

可導

連續

可積反之都不一定成立。

（六）有關定積分的性質

在定積分的性質中，除了類似于不定積分的線性性質以外，還要記住下列基本公式：

f（x）dx

=-

f（x）dx

f（x）dx=0

1dx=b-a

定積分關于積分的區間的

可加性是一個很重要并且在計算定積分時常用的性質，即，

f（x）dx

+

f（x）dx

=

f（x）dx

（七）關于牛頓-

萊布尼茨公式

牛頓-萊布尼茨公式不僅在定積分這部分內容中，而且在整個微積分學中都是一個重要的結論，主要表現在以下方面：1.

當被積函數連續時定積分的計算可通過求原函數來進行：若F（x）是f（x）的一個原函數，則

f（x）dx

=F（b）-F（