專題03全等三角形的判定（2）考點類型知識串講（一）全等三角形的判定（ASA、AAS）（1）AAS:如果兩個三角形兩角分別對應相等，及其中一角的對邊相等，那么這兩個三角形全等．簡寫成“角角邊”或簡記為（AAS）（2）書寫格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個三角形全等的條件時，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（1）ASA:如果兩個三角形兩角分別對應相等，及其中一角的夾邊相等，那么這兩個三角形全等．簡寫成“角邊角”或簡記為（ASA）（2）書寫格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個三角形全等的條件時，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定（HL）（1）直角三角形全等 ①斜邊和一條直角邊對應相等（HL）②證明兩個直角三角形全等同樣可以用SAS,ASA和AAS.考點訓練考點1：用ASA證明三角形全等典例1：（2023·廣東廣州·統考一模）如圖，點F、C是AD上的兩點，且BC∥EF，AB∥DE，AC=DF．求證：【變式1】（2023春·江蘇無錫·九年級統考期中）如圖，已知∠B=∠E，AB=AE，∠1=∠2．(1)求證：△ABC?△AED；(2)若∠1=40°，求∠3的度數．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E，F，且AE=CF．求證：【變式3】（2022秋·江蘇揚州·八年級統考期中）如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE．有下列三個條件：①AC=DF，②AB=DE，③BC=EF．(1)請在上述三個條件中選取一個條件______（填寫序號，多選不得分），使得△ABC≌△DEF，依據是______（填“ASA”或“AAS(2)請完成（1）的證明．考點2：用AAS證明三角形全等典例2：（2023·廣東廣州·統考一模）如圖，點E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，求證：△ABE≌△DCF．【變式1】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）如圖，點E在△ABC邊AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求證：△ABC≌△DEA．【變式2】（2023·陜西榆林·校考一模）如圖，在△ABC和△AED中，AC=DE，∠B=90°，點C在AD上，AB∥DE，連接CE，CE⊥AD．求證：【變式3】（2023·陜西西安·高新一中校考三模）如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求證：△ABC≌△ADE考點3：全等三角形的性質與ASA、AAS綜合典例3：（2023春·廣東深圳·七年級深圳大學附屬中學校聯考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，(1)求證：BD=CD．(2)若∠A=135°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度數．【變式1】（2023春·江蘇無錫·九年級統考期中）已知：如圖，在△ABC中，E是AC的中點，點F在AB上，CD∥AB，交FE的延長線于點D．(1)求證：EF=ED；(2)若AB=8,CD=6，求BF的長．【變式2】（2023·江蘇無錫·統考一模）如圖，△ABC中，∠B=90°，AD∥BC，DE⊥AC，垂足為E．(1)若∠C=40°，求∠D的度數；(2)若AD=AC，求證：△DEA≌【變式3】（2023春·江西九江·八年級濂溪一中校考階段練習）（1）若m<n，且a-5m>a-5n（2）如圖，在長方形ABCD中，點E在邊AB上，點F在邊BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求證：BF=CD．考點4：添加條件使三角形全等典例4：（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=DE，AC=AD．(1)請你添加一個條件，使得△ABC≌(2)在(1)的條件下，若∠CAD=66°，∠B=110°，求【變式1】（2023秋·河南鄭州·八年級校考期末）如圖，在ΔAFD和ΔCEB中，點A、E、F、C在同一條直線上，有下面四個選項：①AD=CB；②AE=CF；③DF=BE；④請用其中三個作為條件，余下一個作為結論，編一道真命題．并寫出證明過程．條件為：（填序號）．結論為：（填序號）．【變式2】（2022秋·北京西城·八年級北京市第十三中學分校校考期中）課上，老師提出了這樣一個問題：已知：如圖，AD=AE，請你再添加一個條件，使得△ADB≌△AEC(1)同學們認為可以添加的條件并不唯一，你添加的條件是______，并完成證明(2)若添加的條件是OE=OD，證明：△ADB≌△AEC【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，△ABC中，點D是BC中點，連接AD并延長到點E，連接BE．(1)若要使ΔACD≌ΔEBD(2)證明上題；(3)在△ABC中，若AB＝5，AC=4，可以求得BC邊上的中線AD的取值范圍是．考點5：靈活選用判定方法證明三角形全等典例5：（2022秋·湖南株洲·八年級校考期中）如圖，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足為(1)△ABC≌△CDA；(2)BE=DF．【變式1】（2022秋·山東濱州·八年級統考期中）將一等腰直角形的三角板△ABC如圖放置在平面直角坐標系中，若∠ABC=90°．(1)若如圖①放置時，已知點A(0,-4)，B(1,0)，求點C的坐標；(2)若如圖②放置時，已知點A(0,0)，B(3,1)，求點C的坐標．【變式2】（2022秋·八年級單元測試）如圖，在△ABC和△DEF中，有下列四個等式：①AB=DE；②BE=CF；③AC=DF；④∠A=∠D．請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結論，寫出一個真命題（要求寫出已知，求證及證明過程）．題設：__________，結論__________：（寫序號）【變式3】（2022秋·山東威海·八年級統考期中）如圖，AD=AC，(1)寫出△ADE與△ACB全等的理由；(2)判斷線段DF與CF的數量關系，并說明理由．考點6：用HL證明三角形全等典例6：（2023春·陜西咸陽·八年級統考期中）如圖，已知AD,BC相交于點O，AB=CD，AM⊥BC于點M，DN⊥BC于點N，BN=CM．求證：△ABM≌【變式1】（2023·浙江嘉興·統考二模）如圖，AD、BC相交于點O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求證：△ACB≌△BDA．(2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度數．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，點A，D，B，E在同一直線上，AC=EF,AD=BE,∠C=∠F=90°(1)求證：△ABC?△EDF；(2)∠ABC=57°，求∠ADF的度數．【變式3】（2023春·七年級單元測試）如圖，已知AD、BC相交于點O，AB=CD，AM⊥BC于點M，DN⊥BC于點N，(1)求證：△ABM≌△DCN；(2)試猜想OA與OD的大小關系，并說明理由．考點7：全等性質與HL綜合典例7：（2023·廣東肇慶·統考一模）在△ABC中，點D為BC邊上的一點，過點D作DE⊥AB于點E，作DF⊥AC于點F，且AE=AF，連接AD，求證S△ABD【變式1】（2023春·山東濟寧·八年級校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F.(1)求證：△ABE≌(2)若AC與BD交于點O，求證：AO=CO．【變式2】（2023春·山東濟南·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AC=BC，直線l經過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，E，F為垂足，AE=CF．求證：∠ACB=90°．【變式3】（2023春·山東棗莊·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于點D，CE⊥DE于點E．(1)若B，C在直線DE的同側（如圖①所示），且AD=CE，求證：①AB⊥AC；②DE=BD+CE．(2)若B，C在直線DE的兩側（如圖②所示），且AD=CE，其他條件不變，AB與AC垂直嗎？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．同步過關一、單選題1．（2022秋·湖南婁底·八年級校聯考期中）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一個條件，這個條件不能是（

）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝BD D．AB＝DC2．（2022·四川巴中·中考真題）如圖，已知AD是△ABC的BC邊上的高，下列能使△ABD≌△ACD的條件是（）A．AB=AC B．∠BAC=90° C．BD=AC D．∠B=45°3．（2022秋·吉林長春·八年級長春市第四十五中學校考期末）如圖，一塊玻璃被打碎成三塊，如果要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，那么最合理的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①③去4．（2023秋·江蘇鹽城·八年級校考期中）如圖，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一個條件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E5．（2022秋·江西贛州·八年級統考期中）下列條件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（）A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′6．（2023秋·四川內江·八年級校考階段練習）如圖所示，點A在DE上，點F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，則DE的長等于（

）A．AC B．BC C．AB+BC D．AB7．（2022秋·北京·八年級北師大實驗中學校考期末）根據下列條件，不能畫出唯一確定的△ABC的是（

）A．AB=3，BC=4，AC=6 B．AB=4，∠B=45°，∠A=60°C．AB=4，BC=3，∠A=30° D．∠C=90°，AB=8，AC=48．（2022秋·貴州遵義·八年級統考期中）如圖，AB=DB,∠1=∠2，欲證△ABE≌△DBC，則補充的條件中不正確的是（

）A．∠A=∠D B．∠E=∠C C．∠A=∠C D．BC=BE9．（2022秋·廣西欽州·八年級統考期末）如圖，已知AF=CE，BE//DF，那么添加下列一個條件后，能判定ΔADF≌ΔCBE的是（）A．∠AFD=∠CEB B．AD//CB C．AE=CF D．AD=BC10．（2022秋·山東濟寧·八年級統考期中）如圖，已知AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，下列條件不能判定是△ABM?△CDN的是（

）A．∠M＝∠N B．BM∥DN C．AB＝CD D．MB＝ND11．（2022·江蘇·八年級專題練習）下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個銳角和一條邊相等C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等12．（2022秋·江蘇淮安·八年級統考期中）如圖，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．則添加的一個條件不能是（A．∠ADC=∠AEB B．AD=AE C．AB=AC D．BE=CD13．（2022秋·河北邢臺·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，直線EF經過AC和BD的交點O，分別交AD，BC于點M，N，交BA，DC的延長線于點E，F，下列結論正確的有（）①△AOB≌△COD；②OB＝OC；③△AOE≌△COF；④OM＝NF；⑤圖中全等的三角形有9對．A．5個 B．4個 C．3個 D．2個14．（2022秋·山東德州·八年級校考期末）如圖，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°-1其中結論正確的是（

）．（填寫結論的編號）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④15．（2022秋·全國·八年級專題練習）在正方形方格紙中，每個小方格的頂點叫做格點，以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形，如圖是5×7的正方形方格紙，以點D，E為兩個頂點作格點三角形，使所作的格點三角形與△ABC全等，這樣的格點三角形最多可以畫出（）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個二、填空題16．（2023秋·山東臨沂·八年級校考階段練習）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是高，則________≌△ADC．依據是________，并且BD＝________，∠BAD=________17．（2023·全國·八年級統考假期作業）有________和一條________對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“________”或用字母表示為“________”.18．（2023秋·云南大理·八年級統考期中）判定兩個三角形全等除用定義外，還有幾種方法，他們可以分別簡寫成SSS；SAS；______；______；_______.19．（2022秋·廣西桂林·八年級統考期末）如圖，已知D,E是ΔABC中BC邊上的兩點，且AD=AE，請你再添加一個條件：_______，使ΔABD≌ΔACE20．（2023春·云南文山·七年級統考期末）如圖，已知∠ACB=∠ACD，要用“ASA”說明△ABC≌△ADC，則需添加的一個條件是21．（2023·黑龍江佳木斯·統考模擬預測）如圖，∠1＝∠2，請添加一個條件使△ABC≌△ABD：_____．22．（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級校考階段練習）如圖，若∠1=∠2，加上一個條件__，則有△AOC≌△BOC．23．（2023秋·廣東云浮·八年級統考期末）如圖，已知A、B、C、D四點在同一直線上，24．（2023春·七年級課時練習）如圖，圖形的各個頂點都在3×3正方形網格的格點上．則∠1+∠2=______．25．（2022秋·貴州遵義·八年級校考階段練習）如圖，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，點P和點Q同時從點A出發，分別在線段AC和射線AX上運動，且AB＝PQ，當AP＝_____時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABC全等．三、解答題26．（2022秋·廣東湛江·八年級校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點E在BD上，連接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求證：DB＝CD．27．（2022秋·浙