專題03相似三角形的應用綜合（五大類型）【題型1利用相似三角形測量高度-平面鏡測量法】【題型2利用相似三角形測量高度-影子測量法】【題型3利用相似三角形測量高度-手臂測量法】【題型4利用相似三角形測量高度-標桿測量法】【題型5利用相似三角形測量距離】【題型1利用相似三角形測量高度-平面鏡測量法】1．（2022秋?鄭州期末）如圖，小明探究“利用鏡子反射測量旗桿的高度”．小明作為觀測者，在旗桿和小明之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上作一個標記，小明看著鏡子來回移動，當看到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記重合時，通過測量得到以下數據：小明的眼睛到地面的距離為1.5m，小明的站的位置到鏡子上標記的距離是3.2m，旗桿的底部到小明的位置是19.2m，則旗桿的高度為（）A．19.2 B．16 C．9 D．7.5【答案】D【解答】解：∵鏡子平行于地面，∴入射角等于反射角，∴∠DEC＝∠BEA，∵DE⊥AC，BA⊥AC，∴∠DCE＝∠BAE，∴△DCE∽△BAE，∴＝，即＝，∴AB＝7.5．故選：D．2．（2023?龍華區一模）數學興趣小組的同學們來到寶安區海淀廣場，設計用手電來測量廣場附近某大廈CD的高度，如圖，點P處放一水平的平面鏡．光線從點A出發經平面鏡反射后剛好射到大廈CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么該大廈的高度約為（）A．32米 B．28米 C．24米 D．16米【答案】A【解答】解：根據題意，易得到△ABP∽△PDC．即＝故CD＝×AB＝×1＝32米；那么該大廈的高度是32米．故選：A．3．（2023?深圳模擬）如圖，九年級（1）班課外活動小組利用平面鏡測量學校旗桿的高度，在觀測員與旗桿AB之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個標記E，當觀測到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記重合時，測得觀測員的眼睛到地面的高度CD為1.6m，觀測員到標記E的距離CE為2m，旗桿底部到標記E的距離AE為16m，則旗桿AB的高度約是（）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m【答案】D【解答】解：∵鏡子垂直于地面，∴入射角等于反射角，∴∠DEC＝∠BEA，∵DE⊥AC，BA⊥AC，∴∠DCE＝∠BAE，∴△DCE∽△BAE，∴＝，即＝，∴AB＝12.8（m）．故選：D．4．（2023?青原區校級一模）為了測量校園內一棵樹的高度，學校數學應用實踐小組做了如下的探索實踐．根據《自然科學》中的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計如圖所示的測量方案：把鏡子放在離樹（AB）9m的水平地面點E處，然后一同學沿著直線BE后退到點D，這時該同學恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE＝3m，該同學身高CD＝1.6m．請你計算樹（AB）的高度．【答案】4.8m．【解答】由題意知∠CDE＝∠ABE＝90°．又由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB，∴△CED∽△AEB，∴，∴．∴AB＝4.8m，答：樹高是4.8m．5．（2023?新城區校級一模）【學科融合】如圖1，在反射現象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內；反射光線和入射光線分別位于法線兩側；反射角r等于入射角i．這就是光的反射定律．【同題解決】如圖2．小紅同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE＝3.5m，點F到地面的高度CF＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，本板到墻的水平距離為CD＝4m．圖中點A，B，C，D在同一條直線上．（1）求BC的長；（2）求燈泡到地面的高度AG．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）由題意可得：FC∥DE，則△BFC∽BED，∴＝，即＝，解得：BC＝3，答：BC的長為3m；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在鏡面反射中的反射角等于入射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴＝，解得：AG＝1.2（m），答：燈泡到地面的高度AG為1.2m．6．（2023?灞橋區校級模擬）小雁塔位于西安市南郊的薦福寺內，又稱“薦福寺塔”，建于唐景龍年間，與大雁塔同為唐長安城保留至今的重要標志．小明同學對該塔進行了測量，測量方法如下，如圖所示，先在點A處放一平面鏡，從A處沿NA方向后退1米到點B處，恰好在平面鏡中看到塔的頂部點M，再將平面鏡沿NA方向繼續向后移動15米放在D處（即AD＝15米），從點D處向后退1.6米，到達點E處，恰好再次在平面鏡中看到塔的頂部點M、已知小明眼睛到地面的距離CB＝EF＝1.74米，請根據題中提供的相關信息，求出小雁塔的高度MN﹒（平面鏡的大小忽略不計）【答案】43.5米．【解答】解：根據題意得∠BAC＝∠NAM，∠ABC＝∠MNA，∴Rt△AMN∽Rt△ACB，∴＝，即＝①；∵∠EDF＝∠NDM，∠DEF＝∠MND，∴Rt△MND∽Rt△FED，∴＝，即＝②，由①②得＝，解得AN＝25，∴＝，解得MN＝43.5，答：小雁塔的高度MN為43.5米．7．（2022秋?大名縣校級期末）小明利用剛學過的測量知識來測量學校內一棵古樹的高度．一天下午，他和學習小組的同學帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護，他們無法到達古樹的底部B，如圖所示．于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點D，并在點D處安裝了測量器CD，測得∠ACD＝135°；再在BD的延長線上確定一點G，使DG＝5米，并在G處的地面上水平放置了一個小平面鏡，小明沿著BG方向移動，當移動到點F時，他剛好在小平面鏡內看到這棵古樹的頂端A的像，此時，測得FG＝2米，小明眼睛與地面的距離EF＝1.6米，測量器的高度CD＝0.5米．已知點F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，則這棵古樹的高度AB為多少米？（小平面鏡的大小忽略不計）【答案】18m．【解答】解：如圖，過點C作CH⊥AB于點H，則CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，∴∠DCH＝90°，∵∠ACD＝135°，∴∠ACH＝45°，在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝BD，∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴，即，解得：BD＝17.5，∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．∴這棵古樹的高AB為18m．【題型2利用相似三角形測量高度-影子測量法】8．（2021秋?藍山縣期末）如圖，某校數學興趣小組為測量學校旗桿AC的高度，在點F處豎立一根長為1.5米的標桿DF，如圖所示，量出DF的影子EF的長度為1米，再量出旗桿AC的影子BC的長度為6米，那么旗桿AC的高度為9米．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴△DEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴AC＝6×1.5＝9米．故答案為：9．9．（2022?興化市模擬）如圖，電線桿上的路燈距離地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距離電線桿的底部（點O）20m的A處，則小明的影子AM長為5m．【答案】見試題解答內容【解答】解：由題意得，＝，即＝，解得：AM＝5．故答案為：5．【題型3利用相似三角形測量高度-手臂測量法】10．（2022秋?房山區期中）在設計“利用相似三角形的知識測量樹高”的綜合實踐方案時，曉君想到了素描課上老師教的方法，如圖，請一位同學右手握筆，手臂向前伸直保持筆桿與地面垂直，前后移動調整自己的位置，直到看見筆桿露出的部分剛好遮住樹的主干，這時測量同學眼睛到筆的距離AB、同學到樹干的距離AC，以及露出筆的長度DE，就可通過計算得到樹的高度，這種實踐方案主要應用了相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比等于相似比．（填寫定理內容）【答案】相似三角形對應高的比等于相似比．【解答】解：如圖，設樹高為GF．根據題意推知△ADE∽△AFG，且AB⊥DE，AC⊥FG，所以＝．所以FG＝．故答案為：相似三角形對應高的比等于相似比．11．（2022?姑蘇區一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺豎直，瞄準小尺的兩端E、F，不斷調整站立的位置，使在點D處時恰好能看到鐵塔的頂部B和底部A（如圖）．設小明的手臂長l＝50cm，小尺長a＝20cm，點D到鐵塔底部的距離AD＝20m，則鐵塔的高度為8m．【答案】8．【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如圖，則CH＝DA＝20m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴，即，∴AB＝8（m），即鐵塔的高度為8m．故答案為：8．12．（2023?長安區校級二模）如圖，是位于西安市長安區香積寺內的善導塔，善導塔為樓閣式磚塔，塔身全用青磚砌成，平面呈正方形，原為十三層，現存十一層，建筑形式獨具一格．數學興趣小組測量善導塔的高度AB，有以下兩種方案：方案一：如圖1，在距離塔底B點45m遠的D處豎立一根高1.5m的標桿CD，小明在F處蹲下，他的眼睛所在位置E、標桿的頂端C和塔頂點A三點在一條直線上．已知小明的眼睛到地面的距離EF＝0.8m，DF＝1m，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，點B、D、F、M在同一直線上．方案二：如圖2，小華拿著一把長為22cm的直尺CD站在離善導塔45m的地方（即點E到AB的距離為45m）．他把手臂向前伸，尺子豎直，CD∥AB，尺子兩端恰好遮住善導塔（即A、C、E在一條直線上，B、D、E在一條直線上），已知點E到直尺CD的距離為30cm．?請你結合上述兩個方案，選擇其中的一個方案求善導塔的高度AB．我選擇方案一（答案不唯一）．【答案】善導塔的高度AB為33米，一（答案不唯一）．【解答】解：若選擇方案一：如圖：過點EH⊥CD，垂足為H，延長EH交AB于點G，由題意得：EG⊥AB，EF＝DH＝BG＝0.8米，EH＝DF＝1米，EG＝BF＝BD+DF＝45+1＝46（米），∴∠CHE＝∠AGE＝90°，∵CD＝1.5米，∴CH＝CD﹣DH＝1.5﹣0.8＝0.7（米），∵∠CEH＝AEG，∴△CEH∽△AEG，∴＝，∴＝，∴AG＝32.2，∴AB＝AG+BG＝32.2+0.8＝33（米），∴善導塔的高度AB為33米；若選擇方案二：如圖：過點E作EM⊥CD，垂足為M，延長EM交AB于點N，∵CD∥AB，∴EN⊥AB，由題意得：CD＝22厘米，EM＝30厘米，EN＝45米，∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠EBA，∠ECD＝∠EAB，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得：AB＝33，∴善導塔的高度AB為33米；故答案為：一（答案不唯一）【題型4利用相似三角形測量高度-標桿測量法】13．（2023?費縣二模）?如圖所示，某校數學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高1.5m，測得AB＝1.2m，BC＝10.8m，則建筑物CD的高是15m．【答案】15．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝10.8m，∴AC＝AB+BC＝12m，∴，解得，DC＝15，即建筑物CD的高是15m．故答案為：15．14．（2021秋?吉林期末）小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米（如圖），然后在A處樹立一根高2米的標桿，測得標桿的影長AC為3米，則樓高為10m．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵＝即＝，∴樓高＝10米．故答案為：10m．15．（2022秋?花都區期末）如圖，利用標桿BE測量建筑物的高度，如果標桿BE高1.2m，測得AB＝1.6m，BC＝12.4m，樓高CD是多少？【答案】10.5m．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.2m，AB＝1.6m，BC＝12.4m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，∴CD＝10.5m．答：樓高CD是10.5m．16．（2023?雁塔區一模）為測量一棵大樹的高度，設計的測量方案如圖所示：標桿高度CD＝3m，人的眼睛A、標桿的頂端C和大樹頂端M在一條直線上，標桿與大樹的水平距離DN＝14m，人的眼睛與地面的高度AB＝1.6m，人與標桿CD的水平距離BD＝2m，B、D、N三點共線，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，求大樹MN的高度．【答案】大樹MN的高度為12.8m．【解答】解：如圖所示，過點A作AF⊥MN于點F，交CD于點E，依題意，B、D、N三點共線，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，∴四邊形ABDE，ABNF是矩形，∴AE＝BD＝2，CE＝CD﹣AB＝3﹣1.6＝1.4，AF＝BN＝BD+DN＝2+14＝16，FN＝AB＝1.6，∵CD⊥BN，MN⊥BN，∴CE∥MF，∴△ACE∽△AMF，∴，∴，解得：MF＝11.2，∴MN＝MF+FN＝11.2+1.6＝12.8，∴大樹MN的高度為12.8m．17．（2023?碑林區校級一模）某數學興趣小組決定利用所學知識測量一古建筑的高度．如圖2，古建筑的高度為AB，在地面BC上取E，G兩點，分別豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為26m，并且古建筑AB，標桿EF和GH在同一豎直平面內．從標桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A，F，D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也成一線．已知B、E、D、G、C在同一直線上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，請你根據以上測量數據，幫助興趣小組求出該古建筑AB的高度．【答案】21m．【解答】解：設BE＝ym，由題意可知，∵EF∥AB，GH∥AB，∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，∴＝，＝，∵EF＝HG＝1.5，∴＝，∴＝，解得：y＝26（m），則＝，即＝，解得：AB＝21（m），答：該古建筑AB的高度為21m．18．（2022秋?高新區期末）某校同學參與“項目式學習”綜合實踐活動，小明所在的數學活動小組利用所學知識測量旗桿EF的高度，他在距離旗桿40米的D處立下一根3米高的豎直標桿CD，然后調整自己的位置，當他與標桿的距離BD為4米時，他的眼睛、標桿頂端和旗桿頂位于同一直線上，若小明的眼睛離地面高度AB為1.6米，求旗桿EF的高度．【答案】見試題解答內容【解答】解：過點A作AN⊥EF于點N，交CD于M，由題意可得：AM＝BC＝4米，NM＝FD＝40米，CM＝3﹣1.6＝1.4（米），∵CM∥EN，∴△ACM∽△AEN，∴＝，∴＝，解得：EN＝15.4，則EF＝15.4+1.6＝17（米），答：旗桿EF的高度為17米．19.（2023?碑林區一模）杭州市西湖風景區的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社會實踐小組為了測量雷峰塔的高度，在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標桿CD，這時地面上的點E，標桿的頂端點D，雷峰塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得EC＝3米，將標桿CD向后平移到點G處，這時地面上的點F，標桿的頂端點H，雷峰塔的塔尖點B正好又在同一直線上（點F，點G，點E，點C與塔底處的點A在同一直線上），這時測得FG＝5米，GC＝60米，請你根據以上數據，計算雷峰塔的高度AB．【答案】62米．【解答】解：根據題意得CD＝GH＝2米，EC＝3米，FG＝5米，GC＝60米，∵CD∥AB，∵△EDC∽△EBA，∴＝，即＝①，∵HG∥AB，∴△FHG∽△FBA，∴＝，即＝②，由①②得＝，解得CA＝90（米），把CA＝90代入①得＝，解得AB＝62（米），答：雷峰塔的高度AB為62米．20．（2022秋?益陽期末）大雁塔是現存最早規模最大的唐代四方樓閣式磚塔，被國務院批準列入第一批全國重點文物保護單位，某校社會實踐小組為了測量大雁塔的高度，在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標桿CD，這時地面上的點E，標桿的頂端點D，古塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得EC＝1.28米，將標桿向后平移到點G處，這時地面上的點F，標桿的頂端點H，古塔的塔尖點B正好在同一直線上（點F，點G，點E，點C與古塔底處的點A在同一直線上），這時測得FG＝1.92米，CG＝20米，請你根據以上數據，計算古塔的高度AB．【答案】見試題解答內容【解答】解：根據題意得，△EDC∽△EBA，∴，∵DC＝HG，∴，∴，∴CA＝40（米），∵，∴＝，∴AF＝61.92米，∴＝，∴AB＝64.5米，答：古塔的高度AB為64.5米．21．（2022秋?雁塔區校級期中）青龍寺是西安最著名的櫻花觀賞地，品種達到了13種之多，每年3、4月陸續開放的櫻花讓這里成為了花的海洋，一天，小明和小剛去青龍守游玩，想利用所學知識測量一棵櫻花樹的高度（櫻花樹四周被圍起來了，底部不易到達）．小明在F處豎立了一根標桿EF，小剛走到C處時，站立在C處看到標桿頂端E和樹的頂端B在一條直線上．此時測得小剛的眼睛到地面的距離DC＝1.6米；然后，小明在地面上放一個鏡子，恰好在G處時，小剛剛好能從鏡子里看到樹的頂端B．已知EF＝3.2米，CF＝3米，CG＝2米，點小C、F、G在一條直線上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC．根據以上測量過程及測量數據，請你求出這棵櫻花樹AB的高度．【答案】這棵櫻花樹AB的高度為8m．【解答】解：如圖，延長AC、BD交于點P，由題意可知，CD為三角形EFP的中位線，FG＝CF﹣CG＝1m，∴CF＝CP＝3m，∴FP＝6m，∵小明在地面上放一個鏡子，恰好在G處時，小剛剛好能從鏡子里看到樹的頂端B，∴∠BGA＝∠DGC，又∵∠BAG＝∠DCG，∴△BAG∽△DCG，∴，∴，設AB為4x，則AG＝5x，AF＝5x﹣1，則＝，∴，解得：x＝2，∴AB＝2×4＝8（m），∴這棵櫻花樹AB的高度為8m．【題型5利用相似三角形測量距離】22．（2022秋?開封期末）如圖，某“綜合實踐”小組為估算開封護城河的寬度，可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點A和點C，使AC＝30m，且AC⊥AP，再過點C作CD⊥BC，且CD＝20m，PD與AC交于點B，若測得AB＝20m，則河寬AP的寬度為（）A．40m B．30m C．20m D．10m【答案】A【解答】解：∵AC＝30m，AB＝20m，∴BC＝10m．∵∠PAB＝∠DCB＝90°，∠ABP＝∠CBD，∴△ABP∽△CBD．∴＝，即＝．∴AP＝40m．故選：A．23．（2022秋?上海月考）如圖，A，B是河邊上的兩根水泥電線桿，C，D是河對岸不遠處的兩根木質電話線桿，且電線、電話線及河兩邊都是平行的．O是A、B對岸河邊上一點，且O與A、C在同一直線上，與B、D也在同一直線上，已知AB＝35m，CD＝20m，OD＝20m，根據所給的已知條件是否一定能求出河的大約寬度能（填能或不能或不一定）．【答案】能．【解答】解：能，理由如下：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD．∴AB：CD＝OB：OD，即35：20＝OB：20．∴OB＝35m．∴BD＝OD+OB＝20+35＝55（m）．∴河的大約寬度為55m．故答案為：能．24．（2023?山西模擬）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點A，在近岸取點B和點C，觀察者在點E．適當調整，使得AB與EC都與河岸BC垂直．此時AE與BC相交于點D，若測得BD＝10