===word原格式可編輯===希望杯第一屆〔1990〕第二試試題 1希望杯第二屆〔1991年〕初中二年級第二試試題 5希望杯第三屆〔1992年〕初中二年級第二試題 10希望杯第四屆〔1993年〕初中二年級第一試試題 18希望杯第四屆〔1993年〕初中二年級第二試試題 23希望杯第五屆(1994年)初中二年級第一試試題 26希望杯第五屆(1994年)初中二年級第二試試題 31第六屆(1995年)初中二年級第一試試題 44希望杯第六屆(1995年)初中二年級第二試試題 50希望杯第七屆〔1996年〕初中二年級第一試試題 56希望杯第七屆〔1996年〕初中二年級第二試試題 62希望杯第八屆〔1997年〕初中二年級第一試試題 72希望杯第八屆〔1997年〕初中二年級第二試試題 79第九屆〔1998年〕初中二年級第一試試題 88希望杯第九屆〔1998年〕初中二年級第二試試題 981999年第十屆“希望杯〞全國數學邀請賽第二試 1082000年第十一屆“希望杯〞數學競賽初二第一試 1112000年第十一屆“希望杯〞數學競賽初二第二試 1142001年希望杯第十二屆初中二年級第一試試題 1192001年希望杯第12屆八年級第2試試題 1222002年第十三屆全國數學邀請賽初二年級第一試 1292002年度初二“希望杯〞全國數學邀請賽第二試 1322003年第十四屆“希望杯〞全國數學邀請賽初二第1試 1392003年第十四屆“希望杯〞(初二笫2試) 1422004年第十五屆“希望杯〞全國數學邀請賽初二 1482004年第十五屆“希望杯〞全國數學邀請賽初二第2試 1512005年第十六屆希望杯初二第1試試題 1572005年第十六屆“希望杯〞全國數學邀請賽第二試 1592006年第十七屆“希望杯〞全國數學邀請賽第一試 1632006年第十七屆“希望杯’’數學邀請賽第二試 1662007年第十八屆〞希望杯“全國數學邀請賽第一試 1712007年第十八屆“希望杯〞全國數學邀請賽第二試 1732023年第19屆“希望杯〞全國數學邀請賽初二第2試試題 1792023年第二十屆“希望杯〞全國數學邀請賽第一試 1832023年第20屆“希望杯〞全國數學邀請賽第二試 1862023年第二十一屆“希望杯〞全國數學邀請賽第一試 1932023年第二十一屆“希望杯〞全國數學邀請賽第二試 1952023年第二十二屆“希望杯〞全國數學邀請賽第二試……...201希望杯第一屆〔1990〕第二試試題一、選擇題:〔每題1分，共5分〕1.等腰三角形周長是24cm，一腰中線將周長分成5∶3的兩局部，那么這個三角形的底邊長是[]A．7.5 B．12.C．4. D．12或42.P=，那么P的值是[]A．1987 B．1988.C．1989 D．19903．a＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，那么[]A．M＞P＞N且M＞Q＞N.B．N＞P＞M且N＞Q＞MC．P＞M＞Q且P＞N＞Q.D．Q＞M＞P且Q＞N＞P4．凸四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900,∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1∶,那么∠BDA=[]A．30° B．45°.C．60°. D．不能確定5．把一個邊長為1的正方形分割成面積相等的四局部，使得在其中的一局部內存在三個點，以這三個點為頂點可以組成一個邊長大于1的正三角形，滿足上述性質的分割[]A．是不存在的.B．恰有一種.C．有有限多種，但不只是一種.D．有無窮多種二、填空題:〔每題1分，共5分〕△ABC中，∠CAB∠B=90°，∠C的平分線與AB交于L，∠C的外角平分線與BA的延長線交于N．CL=3，那么CN=______．假設,那么的值是_____.a，b，c滿足a+b+c=0，abc=8，那么c的取值范圍是______．ΔABC中,∠B=300,AB=,BC=,三個兩兩互相外切的圓全在△ABC中，這三個圓面積之和的最大值的整數局部是______．設a,b,c是非零整數,那么的值等于_________.三、解答題:〔每題5分，共15分〕1．從自然數1，2，3…，354中任取178個數，試證：其中必有兩個數，它們的差是177．2．平面上有兩個邊長相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的頂點A＇在正方形ABCD的中心．當正方形A＇B＇C＇D＇繞A＇轉動時，兩個正方形的重合局部的面積必然是一個定值．這個結論對嗎？證明你的判斷．3．用1，9，9，0四個數碼組成的所有可能的四位數中，每一個這樣的四位數與自然數n之和被7除余數都不為1，將所有滿足上述條件的自然數n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，試求：n1·n2之值．答案與提示一、選擇題提示：1．假設底邊長為12．那么其他二邊之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底為4時，腰長是10．符合題意．應選(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需選a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于這時M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．從而選(A)．4．由圖6可知：當∠BDA=60°時，∠CDB5．如圖7按同心圓分成面積相等的四局部．在最外面一局部中顯然可以找到三個點，組成邊長大于1的正三角形．如果三個圓換成任意的封閉曲線，只要符合分成的四局部面積相等，那么最外面局部中，仍然可以找到三個點，使得組成邊長大于1的正三角形．應選(D)．二、填空題提示：1．如圖8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．當a，b，c均為正時，值為7．當a，b，c不均為正時，值為-1．三、解答題1．證法一把1到354的自然數分成177個組：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．這樣的組中，任一組內的兩個數之差為177．從1~354中任取178個數，即是從這177個組中取出178個數，因而至少有兩個數出自同一個組．也即至少有兩個數之差是177．從而證明了任取的178個數中，必有兩個數，它們的差是177．證法二從1到354的自然數中，任取178個數．由于任何數被177除，余數只能是0，1，2，…，176這177種之一．因而178個數中，至少有兩個數a，b的余數相同，也即至少有兩個數a，b之差是177的倍數，即ab=k×177．又因1~354中，任兩數之差小于2×177=354．所以兩個不相等的數a，b之差必為177．即ab=177．∴從自然數1，2，3，…，354中任取178個數，其中必有兩個數，它們的差是177．2．如圖9，重合局部面積SA＇EBF是一個定值．證明：連A＇B，A＇C，由A＇為正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，當A＇B＇與A＇B重合時，必有A＇D＇與A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴SA＇EBF=S△A＇BC．∴兩個正方形的重合局部面積必然是一個定值．3．可能的四位數有9種：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它們被7除的余數分別為2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余數只有0，2，3，5，6五種．它們加1，2，3都可能有余1的情形出現．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成為：4，6，7，9，10，沒有一個被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成為7，9，10，12，13．沒有一個被7除余1．所以7是次小的n．即n1=4，n2=7∴n1×n2=4×7=28．希望杯第二屆〔1991年〕初中二年級第二試試題一、選擇題:〔每題1分，共10分〕1．如圖29，B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，N為線段AC的中點，P為NA的中點，Q為MA的中點，那么MN∶PQ等于 ()A．1 ;B．2;C．3; D．42．兩個正數m，n的比是t(t＞1)．假設m+n=s，那么m，n中較小的數可以表示為()A.ts;Bs-ts;C.;D..3.y>0時,等于()A.-x;B.x;C.-x;D.x.4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，那么a，b，c的關系可以寫成()A．a＜b＜c.B．(a-b)2+(b-c)2=0.C．c＜a＜b.D．a=b≠c5．如圖30，AC=CD=DA=BC=DE．那么∠BAE是∠BAC的 ()A．4倍. B．3倍.C．2倍. D．1倍6．D是等腰銳角三角形ABC的底邊BC上一點，那么AD，BD，CD滿足關系式()A.AD2=BD2+CD2.B．AD2＞BD2+CD2.C．2AD2=BD2+CD2.D．2AD2＞BD2+CD27.方程的實根個數為()A．4 B．3.C．2 D．18.能使分式的值為112的x2、y2的值是()A.x2=1+，y2=2+;B.x2=2+，y2=2-;C.x2=7+4，y2=7-4;D.x2=1+2，y2=2-.9．在整數0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，設質數的個數為x，偶數的個數為y，完全平方數的個數為z，合數的個數為u．那么x+y+z+u的值為 ()A．17 B．15.C．13 D．1110．兩個質數a，b，恰好是x的整系數方程x2-21x+t=0的兩個根,那么等于()A.2213;B.;C.;D..二、填空題〔每題1分，共10分〕1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a2+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．邊數為a，b，c的三個正多邊形，假設在每個正多邊形中取一個內角,其和為1800,那么=_________.5.方程組有正整數解,那么正整數a=_______.6.從一升酒精中倒出升,再加上等量的水,液體中還有酒精__________升;攪勻后,再倒出升混合液,并參加等量的水,攪勻后,再倒出升混合液,并參加等量的水,這時,所得混合液中還有______升酒精.7．如圖31，在四邊形ABCD中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，那么四邊形ABCD的面積是______．8．如圖32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.的最小值的整數局部是______.10．兩數積ab≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,那么=______.三、解答題:〔每題5分，共10分，要求：寫出完整的推理、計算過程，語言力求簡明，字跡與繪圖力求清晰、工整〕兩個正數的立方和是最小的質數．求證：這兩個數之和不大于2．2．一塊四邊形的地〔如圖33〕(EO∥FK，OH∥KG)內有一段曲折的水渠，現在要把這段水渠EOHGKF改成直的．〔即兩邊都是直線〕但進水口EF的寬度不能改變，新渠占地面積與原水渠面積相等，且要盡可能利用原水渠，以節省工時．那么新渠的兩條邊應當怎么作？寫出作法，并加以證明．答案與提示一、選擇題提示：3．由y＞0，可知x＜0．應選(C)．4．容易看到a=b=c時，原式成為3(x+a)2，是完全平方式．應選(B)．5．△ACD是等邊三角形,△BCA和△ADE均為等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以選(A)．6．以等邊三角形為例，當D為BC邊上的中點時，有AD2＞BD2+CD2，當D為BC邊的端點時，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．應選(D)．應選(C)．∴選(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴選(A)．10．由a+b=21，a，b質數可知a，b必為2與19兩數．二、填空題提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c) =(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c) =(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根為±(a+c)．4．正多邊形中，最小內角為60°，只有a，b，c均為3時，所取的內角和才可能為180°．5．兩式相加有(1+a)y=6，因為a，y均為正整數，故a的可能值為5，這時y=1，這與y-x=1矛盾，舍去；可能值還有a=2，a=1，這時y=2，y=3與y-x=1無矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三邊長分別是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC為直角三角形．從而有面積為8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5為3個內角的四邊形的4個內角之和．∴和為360°．10．由條件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一個根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一個根，后者還可以看成：三、解答題1．設這兩個正數為a，b．那么原題成為a3+b3=2，求證a+b≤2．證明〔反證法〕：假設a+b＞2由于a3+b3=2，必有一數小于或等于1，設為b≤1，→a＞2b，這個不等式兩邊均為正數，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即此題的結論是正確的．2．此題以圖33為準．由圖34知OK∥AB，延長EO和FK，即得所求新渠．這時，HG=GM〔都等于OK〕，且OK∥AB，故△OHG的面積和△KGM的面積相同．即新渠占地面積與原渠面積相等．而且只挖了△KGM這么大的一塊地．我們再看另一種方法，如圖35．作法：①連結EH，FG．②過O作EH平行線交AB于N，過K作FG平行線交于AB于M．③連結EN和FM，那么EN，FM就是新渠的兩條邊界線．又：EH∥ON∴△EOH面積=△FNH面積．從而可知左半局部挖去和填出的地一樣多，同理，右半局部挖去和填出的地也一樣多．即新渠面積與原渠的面積相等．由圖35可知，第二種作法用工較多〔∵要挖的面積較大〕．故應選第一種方法。希望杯第三屆〔1992年〕初中二年級第二試題一、選擇題〔:每題1分，共10分〕1．73282-73252= []A．47249 B．45829.C．43959 D．449692．長方形如圖43．AB=2，BC=1，那么長方形的內接三角形的面積總比數()小或相等． []A.;B.1;C.;D..3．當x=6，y=8時，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 []A．1200000-254000.B．1020000-250400C．1200000-250400.D．1020000-2540004．等腰三角形的周長為a(cm)．一腰的中線將周長分成5∶3，那么三角形的底邊長為[]A.;B.;C.或;D..5.適合方程+3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值適合[]A.;B.;C.;D.6.四邊形如圖44,AB=,BC=1,∠A=∠B=∠C=300,那么D點到AB的距離是[]A.1;B.;C.;D..7．在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到對應的值，在這些對應值中，最小的值是 []A．1 B．2.C．3 D．48．一個等腰三角形如圖45．頂角為A,作∠A的三等三分線AD，AE〔即∠1=∠2=∠3〕，假設BD=x，DE=y，EC=z，那么有 []A．x＞y＞z B．x=z＞y.C．x=z＜y D．x=y=z9．方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有兩個不同的實根，那么a可以是[]A．5 B．9.C．10 D．1110.正方形如圖46,AB=1,和都是以1為半徑的圓弧,那么無陰影的兩局部的面積的差是[]A.;B.;C.;D..二、填空題〔每題1分，共10分〕1.方程的所有根的和的值是______________.2.a+b=,a-b=,那么ab=________.3．如圖47，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H，那么∠CHD=______．4.x=,那么+1的值是______．5．如圖48，邊長為a的正方形ABCD，E為AD的中點，P為CE的中點，那么△BPD的面積的值是______．6.x+y=4,xy=-4,那么=________.7．在正△ABC中〔如圖49〕，D為AC上一點，E為AB上一點，BD，CE相交于P，假設四邊形ADPE與△BPC的面積相等，那么∠BPE=______．8.方程x2-19x-150=0的一個正根為a,那么+++┉+=____.9．某校男生假設干名住校，假設每間宿舍住4名，那么還剩20名未住下；假設每間宿舍住8名，那么一局部宿舍未住滿，且無空房，該校共有住校男生______名．10．n是自然數，19n+14與10n+3都是某個不等于1的自然數d的倍數，那么d=______．三、解答題〔寫出推理、運算的過程及最后結果，每題5分，共10分〕假設a，b，c，d＞0，證明：在方程,,中,至少有兩個方程有不相等的實數根.2．(1)能否把1，2，…，1992這1992個數分成八組，使得第二組各數之和比第一組各數之和多10，第三組各數之和比第二組各數之和多10，…，最后第八組各數之和比第七組各數之和也多10？請加以說明．(2)把上題中的“分成八組〞改為“分成四組〞，結論如何？請加以說明．如果能夠，請給出一種分組法．答案與提示一、選擇題提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化簡為(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．那么x+y=0．∴應選(B)．6．由題設得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．將xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴應選(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由題意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴應選(B)．8．原方程化為(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．那么x1+x2+x3+x4=4．∴應選(D)．9．連結CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴應選(D)．10．原方程為|3x|=ax+1．(1)假設a=3，那么|3x|=3x+1．當x≥0時，3x=3x+1，不成立．(2)假設a＞3．綜上所述，a≥3時，原方程的根是負數．∴應選(B)．另解：〔圖象解法〕設y1=|3x|，y2=ax+1。分別畫出它們的圖象．從圖87中看出，當a≥3時，y1=|3x|的圖象直線y2=ax+1的交點在第二象限．二、填空題提示：1．∵49=7×7，∴所求兩數的最大公約數為7，最小公倍數為42．設a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．經檢驗，142+212=637．∴這兩個數為14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993為質數)．而x1·x2=1993，且x1，x2為負整數根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．那么4．設S△BOC=S，那么S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不適宜．此時所求方程為14x2-53x+14=0．8．過E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．10．設初一獲獎人數為n+1人，初二獲獎人數為m+1人(n≠m)．依題意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但滿足①式的解為唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．獲獎人數共有14+11=25〔人〕．三、解答題1．解：假設不考慮順序，所跑的路線有三條：OABCO〔或OCBAO〕，OACBO〔或OBCAO〕，OBACO〔或OCABO〕．其中OABCO的距離最短．記d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分別為三條路線的距離．在AC上截取AB＇=AB，連結OB＇．那么△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇B＇CB＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路線OABCO的距離最短．因此x與y是關于t的方程解二：由條件得兩邊加上a4+1，得顯然0＜a＜1，0＜a2＜1．希望杯第四屆〔1993年〕初中二年級第一試試題一、選擇題:〔每題1分，共15分〕1．如果a＜b＜0，那么在以下結論中正確的選項是 []A.a+b<-1;B.ab<1;C.<1;D.>1.2．四個命題：①1是1的平方根．②負數沒有立方根.③無限小數不一定是無理數.④一定沒有意義.其中正確的命題的個數是[]A．1 B．2C．3 D．43.8個數:,,0.236,,3.1416,,,,其中無理數的個數是[]A．3 B．4C．5 D．64.假設A=,那么A的算術平方根是[]A．a2+3 B．(a2+3)2.C．(a2+9)2 D．a2+95．以下各組數可以成為三角形的三邊長度的是 []A．1，2，3.B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a，b，c，其中a+b＞c.D．1，m，n，其中1m＜n6．方程x2+|x|-6=0的最大根與最小根的差是[]A．6 B．5.C．4 D．37．等腰三角形的某個內角的外角是130°，那么這個三角形的三個內角的大小是 []A．50°,50°,80°.B．50°,50°,80°或130°,25°,25°C．50°,65°,65°D．50°,50°,80°或50°,65°,65°8.如果x+y=,x-y=,那么xy的值是[]A.;B.;C.;D..9．如圖67，在△ABC中，AB=AC，D點在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F．∠BDE=140°，那么∠DEF是 []A．55° B．60°.C．65° D．70°10.-<x<1,將化簡得[]A．3-3x. B．3+3x.C．5+x D．5-x11．如圖68，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心，那么圖中全等的三角形的對數是[]A．5 B．6.C．7 D．8．12．假設一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有實數根，那么k的最大整數值是 []A．1. B．0.C．1 D．2．13．對于三邊的長是三個連續自然數的任意三角形，在以下四個命題中①周長能被2整除．②周長是奇數．③周長能被3整除．④周長大于10．正確的命題的個數是[]A．1 B．2.C．3 D．4．14．假設方程9x2-6(a+1)x+a2-3=0的兩根之積等于1，那么a的值是[]A.;B.;C.;D..15．有以下四個命題：①兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形不一定是全等三角形．②兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個銳角三角形不一定是全等三角形．③兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形是全等三角形．④兩邊和其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形不一定是全等三角形．其中正確的選項是[]A．①，② B．②，③.C．③，④ D．④，①．二、填空題〔每題1分，共15分〕某自然數的平方是一個四位數，千位數字是4，個位數字是5，這個數是______．2.實數x滿足x+=0,那么的值為________.3.設10個數：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均數為A，那么10A=______．4.如果實數x、y滿足2x2-6xy+9y2-4x+4=0,那么=_________.5．設△ABC的三邊a，b，c的長度均為自然數，且a≤b≤c，a+b+c=13，那么以a，b，c為三邊的三角形共有______個．6.+++┉┉+=__________.7.當0<x<2時,=___________.8．方程x2+(2m+1)x+(m2+m+1)=0沒有實數根，那么m為______．9．a，b，c，d滿足a＜-1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么a+b+c+d=______．10．如圖69，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分線，D是AE上任意一點，那么AB+AC______DB+DC．〔用“＞〞、“＜〞、“=〞號連接＝．11.如果x-y=+1,y-z=-1,那么x2+y2+z2-xy-yz-zx=____________.12.假設u、v滿足v=,那么u2-uv+v2=__________.13．如圖70，B，C，D在一條直線上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，假設CM=r，那么CN=______．14．設方程x2-y2=1993的整數解為α，β，那么|αβ|=______．15.假設,x+=3,那么=__________.答案與提示一、選擇題提示：∴應選(D)．2．命題①，③是正確的，②，④不正確．∴應選(B)．∴應選(D)．5．由(a+1)+(a+2)=2a+3＞a+3(∵a＞0)，所以a+1，a+2，a+3可以成為三角形的三邊，而1+2=3，故排除(A)，另外可舉反例否認(C)，(D)．∴應選(B)．6．原方程化為(|x|+3)(|x|-2)=0，解得|x|=-3，或|x|=2．但應舍去|x|=-3，故由|x|=2得：x1,2=±2．那么x1-x2=4．∴應選(C)．7．由得等腰三角形的某個內角是50°．假設它是底角，那么三個內角是50°，50°，80°；假設它是頂角，那么三個內角是50°，65°，65°．∴應選(D)．9．∵DE⊥AC，∠BDE=140°．∴∠A=140°90°=50°，∵AB=AC，∵DE⊥AC，EF⊥BC，∴∠DEF=90°∠CEF，∠C=90°∠CEF．∴∠DEF=∠C=65°．∴應選(C)．11．如圖72，△AGD≌△AGE，△DGB≌△EGC，△BGF≌△CGF，△AGB≌△AGC，△AFB≌△AFC，△AEB≌△ADC，△DBC≌△ECB，共7對．∴應選(C)．12．原方程整理為(2k-1)x2-8x+6=0．當Δ≥0時，方程有實數根，13．設三個連續自然數為k，k+1，k+2，那么k+(k+1)+(k+2)=3(k+1)，故以k，k+1，k+2為三邊的三角形的周長總可以被3整除．又以2，3，4為三邊的三角形，其周長為9，可否認①，④；以3，4，5為三邊的三角形，其周長為12，可否認②．∴應選(A)．14．∵△≥0，∴36(a+1)2-36(a2-3)≥0，∴a≥-2．又∵x1·x2=1，15．命題①是正確的．如圖73在△ABC與△ABC1中，AB=AB，BC=BC1，AD⊥BC1．顯然鈍角△ABC與銳角△ABC1是不全等的．命題②不正確．如圖74，75，在銳角△ABC與銳角△A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，且AD=A1△ADB≌△A1D1B1，△ADC≌△A1D1C1，即可證得△ABC≌△A1B1C命題③不正確．舉一反例說明．如圖76，在鈍角△ABC與銳角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，AD⊥BC1，AD=AD．但△ABC與△ABC1顯然是不全等的．命題④是正確的．可舉一例說明．如圖77，在鈍角△ABC與銳角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，∠ABC=∠ABC1，但△ABC與△ABC1顯然是不全等的．∴應選(D)．二、填空題提示：1．由條件知，這個自然數只能是兩位數，其個位數字必定是5，它的十位數字可能是6或7。經驗算，752=5625，652=4225．所以，這個數為65．3．經觀察，這10個數都與199相近，把每個數減199所得的差，分別記作-3.5，-2.5，-1.5，-0.5，+0.5，+1，+1.5，+2，+2.5，+3.5，上述這10個差數的平均數為+0.3，A=199.3，所以10A=1993．4．可把條件變成(x2-6xy+9y2)+(x2-4x+4)=0，5．由a+b+c=13可知a+b=13-c，又a+b＞c，所以13-c＞c，即共可組成5個三角形．由0＜x＜2知，x+2＞0，x2＜0，8．因為方程沒有實數根，所以Δ＜0，即(2m+1)2-4(m2+m+1)＜0，經整理得-3＜0，故對任意數m，Δ＜0．9．由題設條件知道：b-(-1)=-1a及d-1=1-c，即a+b=2，c+d=-2．∴a+b+c+d=0．10．在BA的延長線AF上，截取AG，使AG=AC，連接GD，那么△ADG≌△ADC，于是AG=AC，DG=DC，從而，DB+DC=DB+DG，又DB+DG＞BG，而BG=BA+AG=BA+AC，∴AB+AC＜DB+DC．經整理，得x2+y2+z2-xy-yz-yx=7．13．由條件知△ABC與△CDE都是等邊三角形．在△BCE與△ACD中，BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=120°，∴△BCE≌△ACD．于是，∠BEC=∠ADC，從而，△CEM≌△CDN，∴CM=CN=r．14．由方程可知(x+y)(x-y)=1993×1，可得∴|αβ|=997×996=993012．希望杯第四屆〔1993年〕初中二年級第二試試題選擇題:〔每題1分，共10分〕1.假設a<0,那么化簡得[]A．1 B．1 C．2a1 D．12a2.假設一個數的平方是5-2,那么這個數的立方是[]A.或;B.或;C.或;D.或.3.在四邊形ABCD中,AB=1,BC=,CD=,DA=2,SΔABD=1,SΔBCD=,那么∠ABC+∠CDA等于[]A．150° B．180°.C．200° D．210°．4．一個三角形的三邊長分別為2，4，a，如果a的數值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周長為 []A.7;B.8;C.9;D.10.5．如果實數x，y滿足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy，那么x+y的值是 []A.1. B．0.C．1 .D．2．6.設x=,y=,n為正整數,如果2x2+197xy+2y2=1993成立,那么n的值為[]A．7. B．8. C．9. D.107．如圖81，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．假設△ABD的周長比△BCD的周長多1厘米，那么BD的長是 []A．0.5厘米. B．1厘米.C．1.5厘米. D．2厘米8．方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 []A．2 .B．0. C．-2 .D．4．9．如圖82，將△ABC的三邊AB，BC，CA分別延長至B＇，C＇，A＇，且使BB＇=AB，CC＇=2BC，AA＇=3AC．假設S△ABC=1，那么S△A＇B＇C＇是 []A．15. B．16.C．17.D．18.10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是負數，那么a的取值范圍是 []A．a＞3. B.a≥3.C．a＜3. D．a≤3.二、填空題〔每題1分，共10分〕1．假設兩個數的平方和為637，最大公約數與最小公倍數的和為49，那么這兩個數是______．2．設x1，x2是方程x2+px+1993=0的兩個負整數根,那么=_______.3.方程的解是____________.4．如圖83，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O點，如果S△ABD=5，S△ABC=6，S△BCD=10，那么S△OBC______．5．設二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，記S1=x1+1993x2,S2=x12+1993x22,┉┉,Sn=x1n+1993x2n,那么aS1993+bS1992+cS1991=__________.6．設[x]表示不大于x的最大整數，〔例如[3]=3，[3.14=3]〕,那么[]+[]+[]+┉+[]+[]=_________.7．以x為未知數的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超過10的質數，且a＞b，那么兩根之和超過3的方程是______．8．如圖84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分線交AD于F，交AB于E，FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，那么BG=______．9．k為整數，且關于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有兩個不相等的正整數根，那么k=______．10．某校獎勵學生，初一獲獎學生中，有一人獲獎品3件，其余每人獲獎品7件；初二獲獎學生中，有一人獲獎品4件，其余每人獲獎品9件．如果兩個年級獲獎人數不等，但獎品數目相等，且每個年級獎品數大于50而不超過100，那么兩個年級獲獎學生共有______人．三、解答題:(寫出推理、運算的過程及最后結果．每題5分，共10分〕如圖85，三所學校分別記作A，B，C．體育場記作O，它是△ABC的三條角平分線的交點．O，A，B，C每兩地之間有直線道路相連．一支長跑隊伍從體育場O點出發，跑遍各校再回到O點．指出哪條路線跑的距離最短〔AC＞BC＞AB〕，并說明理由．2.如果a=,求a2+的值.希望杯第五屆(1994年)初中二年級第一試試題選擇題:〔每題3分，共30分〕1.使等式成立的x的值是[]A．是正數 B．是負數.C．是0 D．不能確定2．對于三角形的三個外角、下面結論中正確的選項是 []可能有兩個直角.B．最少有一個銳角.C．不可能有三個鈍角.D．最多有一個銳角3.如果+(a+b-2)2=0,那么的值是[]A.1;B.-1;C.5-2;D.2-5.4．線段a,b,c的長度滿足a＜b＜c，那么以a,b,c組成的三角形的條件是 []A．ca＜b B．2b＜a+c.C．cb＞a D．b2＜ac5．有如下命題：①負數沒有立方根．②一個實數的立方根不是正數就是負數．③一個正數或負數的立方根和這個數同號，0的立方根是0．④如果一個數的立方根是這個數本身，那么這個數必是1或0．其中錯誤的選項是 []A．①②③ B．①②④.C．②③④ D．①③④6.假設實數x、y滿足x2+y2-4x-2y+5=0,那么的值是[]A.1;B.;C.;D..7．直角三角形的三條邊的長度是正整數，其中一條直角邊的長度是13，那么它的周長為[]A．182 B．180.C．32 D．308．方程x2-x-1994=19942，那么它的兩根是 []A．1994,1995 B．1994,1995.C．1994,1995 D．1994,19959．如圖16，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于G，假設∠BDC=140°，∠BGC=110°，那么∠A的大小是 []A．70° B．75°.C．80° D．85°10．n是整數，以下四式中一定表示奇數的是 []A．(n+1)2 B．(n+1)2-(n-1)2.C．(n+1)3 .D．(n+1)3-n3A組填空題〔每題3分，共30分〕1.設A=,B=,那么A、B中數值較小的是_________.2．實數a滿足a+=0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________3.一個角的余角比它的補角的還多60,那么這個角的度數是_________.4.對作化簡,結果是__________.5.某自然數的5倍等于數a的立方,該自然數的恰是數a,那么這個自然數是_________.6．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，那么在△ABC中互為余角的角共有______對．7．如圖17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，那么∠ACD+∠BCE=______．8.當x=-3時,多項式x3+5x2-2x-5的值是_______________.9．如圖18，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是角A的平分線，DE平分∠ADC交AC于E，那么∠BDE=_______．10.如果的小數局部是a,而的小數局部是b,那么b=________.B組填空題〔每題4分〕1.設M=+++┉+,N=1-2+3-4+5-6+┉+1993-1994,那么=_______.2．在四邊形ABCD中(圖19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的長度分別為a和b，那么AB的長為______．3.設x=,y=,那么=_________.4．如圖20，在△ABC中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E，假設AB=5，那么DE的長是______．5.計算:=______________.6．設方程x2+1993x-1994=0和(1994x)2-1993×1995x-1=0的較小根次是α,β，那么α·β=______．7.假設,那么化簡為____________.8.設M,x,y均為正整數,且=,那么x+y+M的值是_______.9．x為任意實數，那么|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______．10．如圖21，△ABC為等腰直角三角形，D為AB中點，AB=2，扇形ADG和BDH分別是以A,B為圓心,AD,BD為半徑的圓的,那么陰影局部面積為__________.答案·提示一、選擇題提示：1．根式內x≥0，∴x≤0；又等式右端x≥0，所以使等式成立的x的值只能是0．∴選(C)．2．由于三角形的三個內角最多只能有一個鈍角或者直角，所以它的三個外角中，不可能有兩個直角，可能有三個鈍角〔此時三角形的三個內角均為銳角〕。否認了(A)，(B)，(C)．故應選(D)．4．解一：可用特殊值法，不妨設a=2，b=4，c=5，顯然a＜b＜c，且組成三角形．分別代入(A)，(B)，(C)，(D)．那么僅有A成立．所以選(A)．解二：(A)滿足“三角形兩邊之和大于第三邊〞．肯定成立，應選(A)．5．負數有立方根，0的立方根是0，又-1的立方根也是-1，所以錯誤命題是①②④，應選(B)．7．設另一條直角邊的長度為x，斜邊的長度8．原方程可化為x2-x-1994(1+1994)=0，即x2-x-1994×1995=0，于是由韋達定理推知，方程的兩根為1995，-1994，應選(B)．9．解一：如圖22，連接BC，設∠DBC=α，∠DCB=β，∠DBG=∠1，∠DCG=∠2，那么α+β+∠BDC=180°．∴α+β=180°-140°=40°在△BGC中α+∠1+β+∠2+∠BGC=180°∴∠1+∠2=180°-110°-(α+β)=30°在△BAC中∠EAF+2(∠1+∠2)+α+β=180°∴∠EAF=180°-2×30°-40°=80°．∴應選(C)．解二：如圖23延長BD分別交FC，AC于H，K．設∠GBD=∠1，∠DCG=∠2，∠BDC=α，∠BGC=β，∠DHC=r．∵α=r+∠2，r=β+∠1∴α=β+∠1+∠2得∠1+∠2=140°-110°=30°同理可推得β=∠A+∠1+∠2∴∠A=80°．應選(C)．二、A組填空題提示：2．由條件知a+|a|+a=0，即2a+|a|=0，當a≥0時，2a+a=0，所示a=0；當a＜0時，2a-a=0，得a=0，矛盾．綜上知a=0，于是得|a-1|+|a+1|=2．6．如圖24,由題設條件可知,∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°，共計4對．7．解一：如圖25，設∠ACD=∠1，∠BCE=∠2，∠DCE=∠3．∵AC=AE，∴∠AEC=∠1+∠3．∵BC=BD，∴∠BDC=∠2+∠3．兩式相加得∠AEC+∠BDC=(∠1+∠2+∠3)+∠3=90°+∠3．又在△DCE中∠DEC+∠EDC+∠3=180°．∴90°+2∠3=180°,∠3=45°，∴∠1+∠2=45°．解二：∵∠ACE是等腰△ACE的底角，∴9．如圖26，∠B=66°，∠C=54°可知∠BAC=60°，因為AD是角A的平分線，所以∠BAD=30°,∠ADB=180°-66°-30°=84°,三、B組填空題提示：2．如圖27，自C點作CE∥AD交AB于E，那么四邊形AECD是平行四邊形，AE=CD=b，EC=AD=a．又∠AEC=∠D=2∠B=∠B+∠ECB．∴∠ECB=∠B，△ECB是等腰三角形．EB=EC=a，∴AB=AE+EB=a+b．解二：由題設知x+y=1∴x2-y2=(x+y)(x-y)=x-y代入得，4．如圖28，由題設可知：∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，AE=ED．又∠3+∠4=90°，∠1+∠5=90°，∴∠4=∠5，BE=DE．6．∵前一個方程即(x+1994)(x-1)=0．∴α=1994．又后一個方程可化為(19942x+1)(x1)=0．7．由題設知3x+2＞0，2x-1＜0．∴原式=|3x+2|-|2x-1|+|5x|或原式=3x+2+2x-1+5x∴xy=7，又x＞y，M=x+y=8，∴x+y+M=16．9．根據絕對值的幾何意義及對稱性原理，當x=-3時，|x+3|=0，而|x+2|與|x+4|的值相等，|x+1|與|x+5|的值相等．當x=-3時，|x+2|=|x+4|=1，|x+1|+|x+5|=2，因而原式=2×2+2×1=6，當x≠-3時，原式＞6．因此，原式的最小值為6．10．連接CD，圖21CD的右側不動，左側局部繞著D點逆時針方向旋轉180°，使A點與B希望杯第五屆(1994年)初中二年級第二試試題一、選擇題:〔每題4分，共40分〕1.如果a<0,那么=[]A.a;B.-a;C.a;D.-a.2．，y=ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a,b,c,d,e為常數，當x=2時，y=23；當x=-2時，y=-35，那么e的值是 []A．6. B．-6.C.12. D．-123.如果-1<a<0,那么a,a3,,中,一定是[]A.a最小,a3最大;B.最小,a最大;C.最小,a最大;D.最小,a3最大.4．方程x2-7|x|+12=0的根的情況是 []A．有且僅有兩個不同的實根.B．最多有兩個不同的實根C．有且僅有四個不同的實根.D．不可能有四個實根5．假設三角形的三邊長度均為整數，其中兩邊長的差是7，且三角形的周長是奇數，那么第三邊長可能是 []A．9 .B．8.C．7. D．6.6．在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，那么DH的長是 []A．7.5. B．7.C．6.5. D．5.5.7.關于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的兩個實數根的平方和是7,那么a的值為[]A．11或3. B．11.C．3. D．58.在ΔABC的三邊AB,BC,CA上分別取AD,BE,CF,使AD=AB,BE=BC,CF=AC,那么ΔDEF的面積是ΔABC的面積的[]A.;B.;C.;D..9．一個凸多邊形恰好有三個內角是鈍角，這樣的多邊形的邊數的最大值是 []A．5. B．6.C．7 .D．810．設n為大于1的自然數，那么以下四個式子的代數值一定不是完全平方數的是[]A．3n23n+3. B．5n25n5.C．9n29n+9 .D．11n211n11.二、填空題：〔每題4分，共40分〕1.關于x的二次方程x2+px+2=0的兩根為x1和x2,且x1-x2=2,那么p的值為_____.2．如果(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值為______．3．如圖30,在梯形ABCD中,AD∥BC，AB=DC=10厘米，AC與BD相交于G，且∠AGD=60°，設E是CG的中點，F是AB的中點，那么EF的長為________．4．如圖31中，以A,B,C,D,E,F,G,H這些點為端點的線段共有______條．5.假設a,b,c是實數,且a+b+c=2,a2+b2+c2=4,那么(a-2b+c)1994=______.6．編寫一本數學書的頁數總共用6869個數字，〔例如一本10頁的書，它的頁數是一位數的9個，兩位數的1個，總共用去數字9+2=11個〕，那么這本數學書的頁數是________．7．一個口袋內裝有紅、藍、白三種不同顏色的小球,其中藍球數至少是白球數的一半,但至多是紅球數的,白球與藍球的總和至少是55個,那么紅球至少有________.8．如圖32，正方形ABCD內有一個內接△AEF，假設∠EAF=45°，AB=8厘米，EF=7厘米，那么△EFC的面積是______．9.假設a,b,c是實數,且a=2b+,ab+c2+=0,那么的值是_____.10．：a≠0，14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，那么，a∶b∶c=______．三、解答題〔每題10分，共20分〕如圖33，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，連接AD．求證：AD平分∠CDE．2．如圖34，甲、乙、丙三人同時分別從A、B、C出發,甲向C,乙、丙向A前進,過了2小時,甲與乙于M點相遇;又過了小時,丙于N點追及乙,B點恰為N,C的中點,M與N之間的距離為公里；又知甲比丙提前1小時到達目的地，問A與B，B與C之間各多少公里？答案·提示一、選擇題提示：2．由題設知，當x=2時，23=a·27+b·25+c·23+d·2+e①當x=-2時，-35=a·(-2)7+b·(-2)5+c·(-2)3+d·(-2)+e，即35=-a·27-b·25-c·23-d·2+e②①+②，那么得2e=-12，所以e=-6．應選(B)．4．原方程可化為|x|2-7|x|+12=0．推出(|x|-4)(|x|-3)=0．從而|x|=4或|x|=3解得x=±3，x=±4，應選(C)．5．不妨設三角形三邊長度為a,b,c．且ab=7，那么a與b為一奇一偶，又題設知a+b+c為奇數，所以c一定是偶數，又三角形兩邊之差小于第三邊，即c＞ab=7，所以第三邊長可能是8，應選(B)．6．如圖35，自C作DH的垂線CE交DH于E．∵DH⊥AB，CB⊥AB．∴CB∥DH又CE⊥DH．∴四邊形BCEH是矩形，那么HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，∴∠ADH=30°，又∠ADC=90°∴∠CDE=60°，那么在Rt△CED7．設方程的兩個實根為x1，x2，那么整理②式得，a2+8a-33=0，解得a=3或a=-11．將a=3代入①式得32+16×3-8＞0．將a=-11代入①式得(-11)2+16·(-11)-8＜0矛盾．應選(C)．8．如圖36，連接AE．9．設∠A，∠B，∠C均為鈍角，那么90°＜A＜180°，90°＜B＜180°，90°＜C＜180°．270°＜A+B+C＜540°．n邊形中其余n-3個角均小于等于90°．∵∠A+∠B+∠C+∠D+…+∠N＜540°+(n3)·90°．n邊形的n個角和為(n-2)×180°．∴(n-2)·180°＜540°+(n-3)·90°推出．n＜7，∴n的最大值為6．又極端情況為三鈍角相鄰，三個角的各邊接近為一條角線，如圖37可畫出恰有三個鈍角的六邊形，應選(B)．10．解一：欲使9n29n+9為某自然數的平方，有9n2-9n+9=9(n2-n+1)，必須使n2-n+1為某自然數的平方，而n＞1時有n2-2n+1＜n2-n+1＜n2，即n2-n+1不可能為某自然數的完全平方，應選(C)．解二：當n=2時，3n2-3n+3=9，當n=3時，5n2-5n-5=25，當n=4時，11n2-11n-11=121均為完全平方數，所以排除(A)，(B)，(D)．選(C)．二、填空題提示：1．由題設的方程的兩根為x1，x2，得解法一：∵(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．其中a0＞0，a2＞0，a4＞0，a1＜0，a3＜0，a5＜0．∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5．將x=-1代入原等式兩端得[1-3×(-1)]5=a0+a1·(-1)+a2·(-1)2+a3·(-1)3+a4·(-1)4+a5·(-1)5即1024=a0-a1+a2-a3+a4-a5．∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=1024-a0=1023解法二：將(1-3x)5用乘法分式逐項展開，得(1-3x)5=1-15x+90x2-270x3+405x4-243x5∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=90+270+405+243=1023．3．如圖38，連接BE．∵AB=CD，AD∥BC．∴四邊形ABCD是等腰梯形，又∠BGC=∠AGD=60°．∴△BCG為等邊三角形，BE是CG邊的中垂線．∴BE⊥CG即△ABE是直角三角形．4．線段有AB,AG,AE,GE,DH,DE,HE,DF,DC,FC,Ad,BG,BH,BF,GF,HF,BC,BE,EC共20條．6．一位數9個，需9個數字，兩位數90個，需2×90個數字，三位數900個，需3×900個數字，四位數9000個，需4×9000個數字．而9+2×90+3×900＜6869＜9+2×90+3×900+4×9000．即2889＜6869＜38889．設需用x個四位數碼．那么9+90×2+900×3+4x=6869．解得x=995．所以書的頁數為1000+995-1=1994．7．設紅、藍、白三種小球的個數分別為x,y,z．那么∴y+z≤y+2y=3y．x≥3y=57，∴紅球至少有57個．8．延長EB到G，使BG=DF，連接AG〔圖39〕，∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠2=∠3，又∠1+∠2=45°，∴∠1+∠3=45°，∠EAF=45°．在△AEF和△AEG中，AE=AE，AF=AG，∠EAF=∠EAG∴△AEF≌△AEG，EF=EG=7．S△EFC=SABCD-SABEFD=SABCD-2S△AEG10．由題設得14a2+14b2+14c2=a2+4b2+9c2+4ab+6ac+12bc∴13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0．(4a2-4ab+b2)+(9a2-bac+c2)+(9b2-12bc+4c2)=0．即(2a-b)2+(3a-c)2+(3b-2c)2=0．∴2a-b=0，3a-c=0，3b-2c=0．即b=2a,c=3a，3b=2c，∴a∶b∶c=1∶2∶3．三、解答題證一：如圖40，連接AC，將△ABC繞A點旋轉120°到△AEF．∵AB=AE，∠BAE=120°，∴AB與AE重合．又∠ABC+∠AED=180°．∴D，E，F在一條直線上，AC=AF．在△ACD和△AFD中，DE+EF=DE+BC=CD．AF=AC，∴△ACD≌△AFD，∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE．證二：如圖41連接AC．∵BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°．∴將△ABC，繞C點順時針方向旋轉至△FGC，同時將△AED繞D點逆時針方向旋轉至△FGD．那么AB與AE重合成FG，AC旋轉后成CF，AC=CF，AD旋轉后成DF，AD=DF，CD=CD．∴△ACD≌△FCD，∴∠ADC=∠FDC=∠ADE．即AD平分∠CDE．證三：如圖42．∵BC+DE=CD．在CD上，取CF=DE，那么FD=BC．連接BF，FE，AF，AC．在△BCF和△FDE中，BC=FD，CF=DE，∠BCF=120°，∠FDE=540°-120°-120°-180°=120°〔五邊形內角和=540°〕∴△BCF≌△FDE．∴BF=FE，∠1=∠3，∠2=∠4．在△ABF和△AEF中，AB=AE，BF=FE，在△ACF和△ADE中，AF=AE，CF=DE，∠AFC=60°+∠2=60°+∠4=∠AED，∴△ACF≌△ADE，∠ADE=∠ACF，AC=AD，∠ACF=∠ADF，∴∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠CDE．證四：如圖43，延長BC，ED相交于F，自A向BC和DE的延長線引垂線AG，AH，垂足分別為G，H連接AF與CD相交于K．在Rt△ABG和Rt△AEH中，AB=AE，∠ABG=180°-∠AED=∠AEH，∴△ABG≌△AEH，∴AG=AH，∠BAG=∠EAH．在△CDF中，∠FCD=180°-∠BCD=60°，∠CDF=180°-∠CDE．∠CDE=540°-(180°+120°+120°)=120°∴∠CDF=60°，∴△CDF是等邊三角形．∴CD=CF=FD．在Rt△AGF和Rt△AHF中AG=AH，AF=AF，∴△AGF≌△AHF，∴∠AFG=∠AFH=30°，∴FK平分∠CFD，FK垂直平分CD．又∵BC+DE=CD，BG=EH．在Rt△ADK和Rt△ADH中AD=AD，DK=DH，∴△ADK≌△ADH，∠ADK=∠ADH即AD平分∠CDH．2．如圖44，N點在M點左側．設甲、乙、又設AB的距離為x公里，那么即答：A，B之間距離為30公里，B，C之間距離為10公里．答案與提示一、選擇題提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化簡為(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．那么x+y=0．∴應選(B)．6．由題設得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．將xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴應選(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由題意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴應選(B)．8．原方程化為(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．那么x1+x2+x3+x4=4．∴應選(D)．9．連結CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴應選(D)．10．原方程為|3x|=ax+1．(1)假設a=3，那么|3x|=3x+1．當x≥0時，3x=3x+1，不成立．(2)假設a＞3．綜上所述，a≥3時，原方程的根是負數．∴應選(B)．另解：〔圖象解法〕設y1=|3x|，y2=ax+1。分別畫出它們的圖象．從圖87中看出，當a≥3時，y1=|3x|的圖象直線y2=ax+1的交點在第二象限．二、填空題提示：1．∵49=7×7，∴所求兩數的最大公約數為7，最小公倍數為42．設a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．經檢驗，142+212=637．∴這兩個數為14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993為質數)．而x1·x2=1993，且x1，x2為負整數根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．那么4．設S△BOC=S，那么S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不適宜．此時所求方程為14x2-53x+14=0．8．過E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=ABAE=144=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．10．設初一獲獎人數為n+1人，初二獲獎人數為m+1人(n≠m)．依題意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但滿足①式的解為唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．獲獎人數共有14+11=25〔人〕．三、解答題1．解：假設不考慮順序，所跑的路線有三條：OABCO〔或OCBAO〕，OACBO〔或OBCAO〕，OBACO〔或OCABO〕．其中OABCO的距離最短．記d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分別為三條路線的距離．在AC上截取AB＇=AB，連結OB＇．那么△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇-B＇C-B＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路線OABCO的距離最短．因此x與y是關于t的方程解二：由條件得兩邊加上a4+1，得顯然0＜a＜1，0＜a2＜1．八年級數學希望杯第6-10屆試題匯總〔含答案與提示〕第六屆(1995年)初中二年級第一試試題選擇題:1.以下五個數:3.1416,,3.14,,其中是有理數的有[]A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2.-的平方的立方根是[]A.4;B.;C.-;D..3．適合不等式2x-1＞-3x+14≥4x-21的x的值的范圍是 []A．x＞3. B．x≤5.C．3＜x≤5 D．3≤x＜54.a是非零實數,那么的值是[]A．3或1 B．3或1.C．3或1 D．3或15．假設a，b，c為三角形的三條邊長，那么(a+b+c)+│a-b-c│-│b-c-a│+│c-b-a│=[]A．2(a-b-c) B．2(b-a-c).C．2(c-a-b) D．2(a+b-c)6．如圖19，△ABC中，∠B的平分線與∠C的外角平分線相交于D，∠D=40°，那么∠A= []A．50° B．60°.C．70° D．80°7．實數a、b滿足條件a2+b2+a2b2=4ab-1，那么 []A.;B.或;C.或;D..8．某項工程，甲單獨做需a天，在甲做了c天(c＜a＝后，剩下工作由乙單獨完成還需b天，假設開始就由甲、乙兩人共同合做，那么完成任務需[]天 A.;B.;C.;D..9．如圖20，在△ABC中，AB=AC=m，P為BC上任意一點，那么PA2+PB·PC的值為[] A．m2.B．m2+1.C．2m2.D.(m+1)2.10．如圖21，△ABC的面積為18cm2，點D、E、F分別位于AB、BC、CA上．且AD=4cm，DB=5cm．如果△ABE的面積和四邊形DBEF的面積相等，那么△ABE的面積是 []A．8cm2.B．9cm2.C．10cm2.D．12cm2二、A組填空題:1.化簡:=_________.2計算:=__________.3．化簡1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1995，得到_____．4．假設n滿足(n-1994)2+(1995-n)2=1，那么(1995-n)·(n-1994)_____．5．如圖22,△ABC中，∠ACB＞90°，∠B=25°，CD⊥BC于點C，BD=2AC，點E在BC的延長線上，那么∠ACE的大小是______．6．在一個凸n邊形(n＞3)的n個外角中，其中最多有_____個鈍角．7．如圖23，沿AE折疊長方形ABCD，使D點落在BC邊的點F處，假設AB=12cm，BC=13cm，那么FC的長度是______．8．a，b，c，d是四個不相等的正數，其中a最大,d最小,且滿足條件,那么a+d與b+c的大小關系為_____________.9.假設方程有唯一解,那么a與b應滿足的條件是____________.10．有5根木條，其中2根完全相同，長8cm，另外三根分別長4cm，10cm，12cm，用其中三根組成一個三角形，那么選擇的方法有______種．三、B組填空題一個自然數n減去59之后是一個完全平方數，加上30之后仍是一個完全平方數，那么n=_____．2．x是實數，并且x3+2x2+2x+1=0，那么x1994+x1997+x2000的值是_____．3．如圖24，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂線，AB=2AC，且BC=18cm，那么BE的長度是_____．4．如圖25，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=10cm，那么△DEB的周長是_____．5.x=2-,那么x4-8x3+16x2-x+1的值是_______.6.化簡:=_____