正態分布條件下的x

物理實驗通常需要進行多個獨立測量以解決實際值。當滿足正態分布條件時，使用x===========。而測繪教材和物理實驗教材對貝塞爾公式的推導有不同介紹,不同的推導方法之間也存在差異,而沒有強調貝塞爾公式本身及公式推導過程的物理意義。學習貝塞爾公式之前已經知道了σ=√1ΝΝ∑i=1(xi-X)2(1)σ=1N∑i=1N(xi?X)2?????????????ue001?ue000ue000(1)并且X=∑xiΝ=ˉxX=∑xiN=xˉ,但是為什么不能代入得到σ=√1ΝΝ∑i=1(xi-ˉx)2(2)σ=1N∑i=1N(xi?xˉ)2????????????ue001?ue000ue000(2)貝塞爾公式與公式(1)、(2)之間存在什么區別和聯系。本文通過對這些問題的解答及分析揭示貝塞爾公式的物理意義。1貝塞爾公式22i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2idi2idi2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2i2idi2i設ki=xi-ˉx(3)ki=xi?xˉ(3)di=xi-X。則σ2=1ΝΝ∑i=1d2i(4)σ2=1N∑i=1Nd2i(4)ki=xi-ˉx=xi-∑xiΝ=xi-X-∑(xi-X)Ν=di-∑diΝ,kiki=xi?xˉ=xi?∑xiN=xi?X?∑(xi?X)N=di?∑diN,ki平方后進行求和,得到:∑k2i=∑d2i-2(∑di)2Ν+Ν((∑di)2Ν)2=∑d2i-(∑di)2Ν∑k2i=∑d2i?2(∑di)2N+N((∑di)2N)2=∑d2i?(∑di)2N其中(∑di)2=∑di×∑dj=∑id2i+∑j?j≠i∑idi×dj其中(∑di)2=∑di×∑dj=∑id2i+∑j?j≠i∑idi×dj因在測量中的正負誤差出現的機會相等,此時(∑di)2Ν=∑id2iΝ(5)(∑di)2N=∑id2iN(5)所以∑k2i=∑d2i-∑d2iΝ=Ν-1Ν∑d2i(6)∑k2i=∑d2i?∑d2iN=N?1N∑d2i(6)將(3)、(4)兩式代入(6)式,得到貝塞爾公式σ=√1Ν-1Ν∑i=1(xi-ˉx)σ=1N?1∑i=1N(xi?xˉ)?????????????ue001?ue000ue000整個推導過程沒有用到X=∑xiΝ=ˉxX=∑xiN=xˉ的條件,唯一用了近似解的是(5)式。一般認為[2?3?7](∑di)2Ν=∑id2iΝ[2?3?7](∑di)2N=∑id2iN從兩個極限進行證明,當N→1時,∑j?j≠i∑idi×djΝ∑j?j≠i∑idi×djN為極小量,當N趨于無窮時,由于N在分母,Ν→∞lim∑j?j≠i∑idi×djΝ=0limN→∞∑j?j≠i∑idi×djN=0。但是由兩種極限進行推理的物理意義并不清晰。2標準差本身也有誤差。理論上獲得的標準差是利用無窮多次測量值按定義或者貝塞爾公式算得的,是一個常數S,使用有限次測量值得到的標準差σ也是有誤差的。一般使用相對標準差(誤差的誤差)來討論用什么樣的公式或方法計算標準差的估計值有最小誤差。對于使用貝塞爾公式的相對標準差S-σS=√12(Ν-1)S?σS=12(N?1)?????√,下面使用公式(2),預計其相對標準差將大于√12(Ν-1)12(N?1)?????√,其物理含義是公式(2)并沒有貝塞爾公式那么準確的描述測量的標準差。假設N次測量滿足正態、獨立和相同測量條件,則Ν∑i=1(xi-ˉx)σ2∶χ2(Ν-1)(7)∑i=1N(xi?xˉ)σ2∶χ2(N?1)(7)使用公式σ=√1ΝΝ∑i=1(xi-ˉx)σ=1N∑i=1N(xi?xˉ)???????????ue001?ue000ue000代入上式,得到Νs2σ2∶χ2(Ν-1)Ns2σ2∶χ2(N?1),取χ2(N-1)的方差,有D[Νs2σ2]=Ν2D(s2)σ4=2(Ν-1)D[Ns2σ2]=N2D(s2)σ4=2(N?1),其中D(s2)=(s2-σ2)2注意到σ=(σ2)-12σ=(σ2)?12,將σ在s做泰勒展開,并取一階近似,可以得到:s-σ=(12(s2)-12)(s2-σ2)s?σ=(12(s2)?12)(s2?σ2)兩邊平方,得到:(s-σ)2=(12(s2)-12)2(s2-σ2)2=14(s2)-12σ4(Ν-1)Ν2=s2(Ν-1)2Ν2(s?σ)2=(12(s2)?12)2(s2?σ2)2=14(s2)?12σ4(N?1)N2=s2(N?1)2N2(最后一步用s代σ),即(s-σ)2=s2(Ν-1)2Ν2最后得到S-σS=√ΝΝ-1√12(Ν-1)>√12(Ν-1)(8)用公式(2)得到的相對標準差比貝塞爾公式大,說明用貝塞爾公式來描述標準差更加準確。3貝塞爾公式是相對標準差的s-s(1)從貝塞爾公式的推導過程可以發現,整個推理過程用到了公式(1),因此貝塞爾公式要求次測量值服從正態分布。貝塞爾公式并沒有使用X=∑xiΝ=ˉx,而是強調∑j?j≠i∑idi×djΝ在兩個極限條件下趨向于零。因此,這里貝塞爾公式在非理想情況下是含有誤差的公式。當N→∞是由于N在分母使之趨于零,因此認為貝塞爾公式中測量值與真值的差的絕對值xi-X相對于N來說是可以忽略的。(2)∑j?j≠i∑idi×djΝ在兩個極限下趨于零,但在有限次測量下存在誤差。在需要精確結果的計算中,使用因子對貝塞爾公式進行修正,并且在測量次數N>7時,t因子影響計算結果的數量級為10-2。而且隨著測量次數的增加,所需要的修正也越來越小,從另一個角度來說就是貝塞爾公式可以越來越準確地作為標準差了。相對標準差S-σS用于描述標準差的準確程度。在實驗測量和教學中很少談到相對標準差,只是因為相對與真實值而言,標準差已經很小,而相對標準差比標準差更小,因此平時并不嚴格區別而已。(3)將貝塞爾公式與錯誤的公式(2)進行區分:在不知道真實值,且x1=X時,標準差貝塞爾公式無意義,這是與實際的測量物理含義是符合的。因為標準差表示測量值與真實值的離散程度,不知道真實值的情況下只進行一次測量,即便認為,也無所謂偏離真實值的離散程度。而如果錯誤地使用了公式(2)進行計算,即使得到了標準差,這個標準差的物理意義也是無法被描述的。基本的理由是:不知道真實值情況下的單次測量,是無法確定標準差的。當N>1,可以比較兩個公式的相對標準差,從不等式(8)可以看出貝塞爾公式更加準確。從計算方便的角度僅僅可以說當較大時,使用公式(2)計算得到的結果與貝塞爾公式差不多,但是絕不說明這條公式物理意義的正確性。(4)將貝塞爾公式與公式(1)進行區分:兩公式的根本區別是適用情況不同,公式(1)是在知道真實值情況下使用,而不知道真實值情況下使用貝塞爾公式。由于這個根本原因,公式(6)中使用知道真實值的分布n∑i=1(xi-X)2σ2∶χ2Ν進行推導,并使用公式(1)代入計算,最后可以得到相對標準差S-σS=√12Ν,比貝塞爾公式的相對標準差√12(Ν-1)小。這個結果是符合物理意義的,因為公式(1)是在知道真實值的前提下得到的相對標準差,比貝塞爾公式的情況知道了更多有用信息——真實值,因此其標準差可以更加準確,即相對標準差比較小。當測量次數變大時,因為貝塞爾公式進行了測量值正態分布的假設,其相對標準差與公式(1)的相對標準差的差別不再明顯,并且變得趨向于理想條件:無窮多次測量,即limΝ→∞√12Ν=limΝ→∞√12(Ν-1)=0。兩條公式是在不同的情況下使用的,并不能因為哪條公式更加準確而摒棄另一條。以上對兩者的準確性進行比較就是為了說明由于適用情況不同,使兩