中學自主招生數學試卷一、選擇題(3分×10=30分)1.下列各數中,是5的相反數的是()A．-5B．5C．0.5D．0.22.下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是()A．B．C．D．3.人類已知最大的恒星是盾牌座UY,它的規模十分巨大,如果將盾牌座UY放在太陽系的中心,它的表面將接近土星軌道,半徑約等于1.43344937×109km.那么這個數的原數是()A.143344937kmB.1433449370kmCmD.1.43344937km4.下列計算正確的是()A．2a-3a=-1B．(a2b3)3=a5b6C．a2·a3=a6D．a2+3a2=4a25.已知關于x的分式方程mx+=2有解,則m的取值范圍是（）A.m≤1且m≠0B.m≤1C.m≥-1D.m≥-1且m≠06.如圖所示,該物體的主視圖為（）A．B．C．D．7.如圖所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以點C為圓心,BC為半徑的圓交AB于一點D,交AC于點E,則∠DCE的度數為（）A.30°B.25°C.40°D.50°8.不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A．B．C．D．9.如圖所示,分別用兩個質地均勻的轉盤轉得一個數,①號轉盤表示數字2的扇形對應的圓角為120°,②號轉盤表示數字3的扇形對應的圓心角也是120°,則轉得的兩個數之積為偶數的概率為（）A．B．C．D．10.如圖1所示,小明(點P)在操場上跑步,操場由兩段半圓形彎道和兩段直道構成,若小明從點A(右側彎道起點)出發以順時針方向沿著跑道行進.設行進的路程為x,小明到右側半圓形彎道的圓心O的距離PO為y,可繪制出如圖2所示函數圖象,那么a-b的值應為()A．4B．π-1C．D．π二、填空題(3分×5=15分)11.(-3)0+=.12.如圖所示,直線ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,則∠3=.13.二次函數y=x2-2mx+1在x≤1時y隨x增大而減小,則m的取值范圍是.14.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E.連接CE,則陰影部分的面積是.(結果保留π)15.如圖所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射線AD上的動點,點A關于直線EM的對稱點為A，，當△A，FC為以FC為直角邊的直角三角形時,對應的MA的長為.三、解答題(本大題共8小題，滿分75分)16.(8分)先化簡÷(x-),然后從-<x<的范圍內選取一個合適的正整數作為x的值代入求值.17.(9分)陳老師為了了解所教班級學生完成數學糾錯的具體情況，對本班部分學生進行了為期半年的跟蹤調查，他將調查結果分為四類，A：很好；B：較好；C：一般；D：較差．并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統計圖，請你根據統計圖解答下列問題：⑴陳老師一共調查了多少名同學？⑵將條形統計圖補充完整；⑶為了共同進步，陳老師想從被調查的A類學生中隨機選取一位同學，再從D類學生中隨機選取一位同學組成二人學習小組,請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．18.(9分)如圖所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圓,AB=AC,延長BC至點D,使CD=AC,連接AD交⊙O于點E,連接BE、CE,BE交AC于點F.⑴求證：CE=AE⑵填空：①當∠ABC=時,四邊形AOCE是菱形；②若AE=,AB=,則DE的長為.19.(9分)如圖所示，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為40cm，燈罩BC長為30cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構成的∠BAD=60°．使用發現，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，求此時燈罩頂端C到桌面的高度CE的長？（結果精確到0.1cm，參考數據：≈1.732）20.(9分)如圖所示,直線y=ax+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,與雙曲線y=(x>0)相交于點P,PC⊥x軸于點C,且PC=2,點A的坐標為(-2,0).⑴求雙曲線的解析式；⑵若點Q為雙曲線上點P右側的一點,且QH⊥x軸于H,當以點Q、C、H為頂點的三角與△AOB相似時,求點Q的坐標.21.(10分)為了迎接暑假的學生購物高峰,某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋.其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表甲乙進價(元/雙)mm-20售價(元/雙)240160已知:用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同.⑴求m的值⑵由于資金有限,該店能夠購進的甲種運動鞋不超過105雙,要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤(利潤=售價-進價)不少于21700元,求該專賣店共有幾種進貨方案(只需計算種數,不用列舉各種方案)?⑶在⑵的條件下,專賣店準備對甲種運動鞋進行優惠促銷活動,決定對甲種運動鞋每雙優惠a(50<a<70)元出售,乙種運動鞋價格不變.那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨.22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4，E為AC中點,以CE為斜邊作如圖所示等腰直角三角形CED.(1)觀察猜想:如圖1所示,過D作DF⊥AE于F,交AB于G,線段CD與BG的關系為；(2)探究證明:如圖2所示，將△CDE繞點C順時針旋轉到如圖所示位置，過D作DF⊥AE于F，過B作DE的平行線與直線FD交于點G,(1)中結論是否成立?請說明理由；(3)拓展延伸:如圖3所示,當E、D、G共線時,直接寫出DG的長度.23.(11分)如圖所示,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(4,0)、C(8,0)，D(8,8).拋物線y=ax2+bx過A、C兩點.(1)直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式；(2動點P從點A出發,沿線段AB向終點B運動,同時點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動.速度均為1個單位長度，運動時間為t秒.①如圖1所示,過點P作PE⊥AB交AC于點E,過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G,點G關于拋物線對稱軸的對稱點為H,求當t為何值時,△HAC的面積為16；②如圖2所示,連接EQ,過Q作QM⊥AC于M,在點P、Q運動的過程中，是否存在某個t,使得∠QEM=2∠QCE,若存在請直接寫出相應的t值,若不存在說明理由.參考答案一、選擇題(3分×10=30分)1.A2.C3.B4.D5.B6.B7.C8.A9.C10.D二、填空題(3分×5=15分)11.-212.80°13.m≥114.3-15.或三、解答題(本大題共8小題，滿分75分)16.解：===當x=1時，原式=17.解：（1）（6+4）÷50%=20．所以王老師一共調查了20名學生，故答案為：20；（2）C類學生人數：20×25%=5（名），C類女生人數：5-2=3（名），D類學生占的百分比：1-15%-50%-25%=10%，D類學生人數：20×10%=2（名），D類男生人數：2-1=1（名），×360°=36°，故答案為：3；36°；補充條形統計圖如圖.（3）由題意畫樹形圖如下：

從樹形圖看出，所有可能出現的結果共有6種，且每種結果出現的可能性相等，所選

兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的結果共有3種．

所以P（所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學）==18.（1）證明：∵四邊形ABCE為圓O的內接四邊形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，

又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都為所對的圓周角，∴∠AEB=∠ACB，∴∠CED=∠AEB，∵AB=AC，CD=AC，∴AB=CD，

在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（AAS）(2)①60°；②19.解：由題意得：AD⊥CE，過點B作BM⊥CE，BF⊥EA，∵燈罩BC長為30cm，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB為直角三角形，∴sin30°=∴CM=15cm，在直角三角形ABF中，sin60°=解得：BF=20∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四邊形BFDM為矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2≈51.6cm．答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是51.6cm．20.解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=∴y=x+1由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，則雙曲線解析式為y=（2）設Q（m，n），∵Q（m，n）在y=上，∴n=當△QCH∽△BA中學自主招生數學試卷一、選擇題(3分×10=30分)1.下列各數中,是5的相反數的是()A．-5B．5C．0.5D．0.22.下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是()A．B．C．D．3.人類已知最大的恒星是盾牌座UY,它的規模十分巨大,如果將盾牌座UY放在太陽系的中心,它的表面將接近土星軌道,半徑約等于1.43344937×109km.那么這個數的原數是()A.143344937kmB.1433449370kmCmD.1.43344937km4.下列計算正確的是()A．2a-3a=-1B．(a2b3)3=a5b6C．a2·a3=a6D．a2+3a2=4a25.已知關于x的分式方程mx+=2有解,則m的取值范圍是（）A.m≤1且m≠0B.m≤1C.m≥-1D.m≥-1且m≠06.如圖所示,該物體的主視圖為（）A．B．C．D．7.如圖所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以點C為圓心,BC為半徑的圓交AB于一點D,交AC于點E,則∠DCE的度數為（）A.30°B.25°C.40°D.50°8.不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A．B．C．D．9.如圖所示,分別用兩個質地均勻的轉盤轉得一個數,①號轉盤表示數字2的扇形對應的圓角為120°,②號轉盤表示數字3的扇形對應的圓心角也是120°,則轉得的兩個數之積為偶數的概率為（）A．B．C．D．10.如圖1所示,小明(點P)在操場上跑步,操場由兩段半圓形彎道和兩段直道構成,若小明從點A(右側彎道起點)出發以順時針方向沿著跑道行進.設行進的路程為x,小明到右側半圓形彎道的圓心O的距離PO為y,可繪制出如圖2所示函數圖象,那么a-b的值應為()A．4B．π-1C．D．π二、填空題(3分×5=15分)11.(-3)0+=.12.如圖所示,直線ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,則∠3=.13.二次函數y=x2-2mx+1在x≤1時y隨x增大而減小,則m的取值范圍是.14.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E.連接CE,則陰影部分的面積是.(結果保留π)15.如圖所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射線AD上的動點,點A關于直線EM的對稱點為A，，當△A，FC為以FC為直角邊的直角三角形時,對應的MA的長為.三、解答題(本大題共8小題，滿分75分)16.(8分)先化簡÷(x-),然后從-<x<的范圍內選取一個合適的正整數作為x的值代入求值.17.(9分)陳老師為了了解所教班級學生完成數學糾錯的具體情況，對本班部分學生進行了為期半年的跟蹤調查，他將調查結果分為四類，A：很好；B：較好；C：一般；D：較差．并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統計圖，請你根據統計圖解答下列問題：⑴陳老師一共調查了多少名同學？⑵將條形統計圖補充完整；⑶為了共同進步，陳老師想從被調查的A類學生中隨機選取一位同學，再從D類學生中隨機選取一位同學組成二人學習小組,請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．18.(9分)如圖所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圓,AB=AC,延長BC至點D,使CD=AC,連接AD交⊙O于點E,連接BE、CE,BE交AC于點F.⑴求證：CE=AE⑵填空：①當∠ABC=時,四邊形AOCE是菱形；②若AE=,AB=,則DE的長為.19.(9分)如圖所示，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為40cm，燈罩BC長為30cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構成的∠BAD=60°．使用發現，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，求此時燈罩頂端C到桌面的高度CE的長？（結果精確到0.1cm，參考數據：≈1.732）20.(9分)如圖所示,直線y=ax+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,與雙曲線y=(x>0)相交于點P,PC⊥x軸于點C,且PC=2,點A的坐標為(-2,0).⑴求雙曲線的解析式；⑵若點Q為雙曲線上點P右側的一點,且QH⊥x軸于H,當以點Q、C、H為頂點的三角與△AOB相似時,求點Q的坐標.21.(10分)為了迎接暑假的學生購物高峰,某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋.其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表甲乙進價(元/雙)mm-20售價(元/雙)240160已知:用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同.⑴求m的值⑵由于資金有限,該店能夠購進的甲種運動鞋不超過105雙,要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤(利潤=售價-進價)不少于21700元,求該專賣店共有幾種進貨方案(只需計算種數,不用列舉各種方案)?⑶在⑵的條件下,專賣店準備對甲種運動鞋進行優惠促銷活動,決定對甲種運動鞋每雙優惠a(50<a<70)元出售,乙種運動鞋價格不變.那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨.22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4，E為AC中點,以CE為斜邊作如圖所示等腰直角三角形CED.(1)觀察猜想:如圖1所示,過D作DF⊥AE于F,交AB于G,線段CD與BG的關系為；(2)探究證明:如圖2所示，將△CDE繞點C順時針旋轉到如圖所示位置，過D作DF⊥AE于F，過B作DE的平行線與直線FD交于點G,(1)中結論是否成立?請說明理由；(3)拓展延伸:如圖3所示,當E、D、G共線時,直接寫出DG的長度.23.(11分)如圖所示,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(4,0)、C(8,0)，D(8,8).拋物線y=ax2+bx過A、C兩點.(1)直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式；(2動點P從點A出發,沿線段AB向終點B運動,同時點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動.速度均為1個單位長度，運動時間為t秒.①如圖1所示,過點P作PE⊥AB交AC于點E,過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G,點G關于拋物線對稱軸的對稱點為H,求當t為何值時,△HAC的面積為16；②如圖2所示,連接EQ,過Q作QM⊥AC于M,在點P、Q運動的過程中，是否存在某個t,使得∠QEM=2∠QCE,若存在請直接寫出相應的t值,若不存在說明理由.參考答案一、選擇題(3分×10=30分)1.A2.C3.B4.D5.B6.B7.C8.A9.C10.D二、填空題(3分×5=15分)11.-212.80°13.m≥114.3-15.或三、解答題(本大題共8小題，滿分75分)16.解：===當x=1時，原式=17.解：（1）（6+4）÷50%=20．所以王老師一共調查了20名學生，故答案為：20；（2）C類學生人數：20×25%=5（名），C類女生人數：5-2=3（名），D類學生占的百分比：1-15%-50%-25%=10%，D類學生人數：20×10%=2（名），D類男生人數：2-1=1（名），×360°=36°，故答案為：3；36°；補充條形統計圖如圖.（3）由題意畫樹形圖如下：

從樹形圖看出，所有可能出現的結果共有6種，且每種結果出現的可能性相等，所選

兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的結果共有3種．

所以P（所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學）==18.（1）證明：∵四邊形ABCE為圓O的內接四邊形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，

又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都為所對的圓周角，∴∠AEB=∠ACB，∴∠CED=∠AEB，∵AB=AC，CD=AC，∴AB=CD，

在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（AAS）(2)①60°；②19.解：由題意得：AD⊥CE，過點B作BM⊥CE，BF⊥EA，∵燈罩BC長為30cm，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB為直角三角形，∴sin30°=∴CM=15cm，在直角三角形ABF中，sin60°=解得：BF=20∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四邊形BFDM為矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2≈51.6cm．答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是51.6cm．20.解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=∴y=x+1由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，則雙曲線解析式為y=（2）設Q（m，n），∵Q（m，n）在y=上，∴n=當△QCH∽△BA中學自主招生數學試卷一、選擇題(3分×10=30分)1.下列各數中,是5的相反數的是()A．-5B．5C．0.5D．0.22.下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是()A．B．C．D．3.人類已知最大的恒星是盾牌座UY,它的規模十分巨大,如果將盾牌座UY放在太陽系的中心,它的表面將接近土星軌道,半徑約等于1.43344937×109km.那么這個數的原數是()A.143344937kmB.1433449370kmCmD.1.43344937km4.下列計算正確的是()A．2a-3a=-1B．(a2b3)3=a5b6C．a2·a3=a6D．a2+3a2=4a25.已知關于x的分式方程mx+=2有解,則m的取值范圍是（）A.m≤1且m≠0B.m≤1C.m≥-1D.m≥-1且m≠06.如圖所示,該物體的主視圖為（）A．B．C．D．7.如圖所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以點C為圓心,BC為半徑的圓交AB于一點D,交AC于點E,則∠DCE的度數為（）A.30°B.25°C.40°D.50°8.不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A．B．C．D．9.如圖所示,分別用兩個質地均勻的轉盤轉得一個數,①號轉盤表示數字2的扇形對應的圓角為120°,②號轉盤表示數字3的扇形對應的圓心角也是120°,則轉得的兩個數之積為偶數的概率為（）A．B．C．D．10.如圖1所示,小明(點P)在操場上跑步,操場由兩段半圓形彎道和兩段直道構成,若小明從點A(右側彎道起點)出發以順時針方向沿著跑道行進.設行進的路程為x,小明到右側半圓形彎道的圓心O的距離PO為y,可繪制出如圖2所示函數圖象,那么a-b的值應為()A．4B．π-1C．D．π二、填空題(3分×5=15分)11.(-3)0+=.12.如圖所示,直線ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,則∠3=.13.二次函數y=x2-2mx+1在x≤1時y隨x增大而減小,則m的取值范圍是.14.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E.連接CE,則陰影部分的面積是.(結果保留π)15.如圖所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射線AD上的動點,點A關于直線EM的對稱點為A，，當△A，FC為以FC為直角邊的直角三角形時,對應的MA的長為.三、解答題(本大題共8小題，滿分75分)16.(8分)先化簡÷(x-),然后從-<x<的范圍內選取一個合適的正整數作為x的值代入求值.17.(9分)陳老師為了了解所教班級學生完成數學糾錯的具體情況，對本班部分學生進行了為期半年的跟蹤調查，他將調查結果分為四類，A：很好；B：較好；C：一般；D：較差．并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統計圖，請你根據統計圖解答下列問題：⑴陳老師一共調查了多少名同學？⑵將條形統計圖補充完整；⑶為了共同進步，陳老師想從被調查的A類學生中隨機選取一位同學，再從D類學生中隨機選取一位同學組成二人學習小組,請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．18.(9分)如圖所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圓,AB=AC,延長BC至點D,使CD=AC,連接AD交⊙O于點E,連接BE、CE,BE交AC于點F.⑴求證：CE=AE⑵填空：①當∠ABC=時,四邊形AOCE是菱形；②若AE=,AB=,則DE的長為.19.(9分)如圖所示，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為40cm，燈罩BC長為30cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構成的∠BAD=60°．使用發現，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，求此時燈罩頂端C到桌面的高度CE的長？（結果精確到0.1cm，參考數據：≈1.732）20.(9分)如圖所示,直線y=ax+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,與雙曲線y=(x>0)相交于點P,PC⊥x軸于點C,且PC=2,點A的坐標為(-2,0).⑴求雙曲線的解析式；⑵若點Q為雙曲線上點P右側的一點,且QH⊥x軸于H,當以點Q、C、H為頂點的三角與△AOB相似時,求點Q的坐標.21.(10分)為了迎接暑假的學生購物高峰,某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋.其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表甲乙進價(元/雙)mm-20售價(元/雙)240160已知:用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同.⑴求m的值⑵由于資金有限,該店能夠購進的甲種運動鞋不超過105雙,要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤(利潤=售價-進價)不少于21700元,求該專賣店共有幾種進貨方案(只需計算種數,不用列舉各種方案)?⑶在⑵的條件下,專賣店準備對甲種運動鞋進行優惠促銷活動,決定對甲種運動鞋每雙優惠a(50<a<70)元出售,乙種運動鞋價格不變.那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨.22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4，E為AC中點,以CE為斜邊作如圖所示等腰直角三角形CED.(1)觀察猜想:如圖1所示,過D作DF⊥AE于F,交AB于G,線段CD與BG的關系為；(2)探究證明:如圖2所示，將△CDE繞點C順時針旋轉到如圖所示位置，過D作DF⊥AE于F，過B作DE的平行線與直線FD交于點G,(1)中結論是否成立?請說明理由；(3)拓展延伸:如圖3所示,當E、D、G共線時,直接寫出DG的長度.23.(11分)如圖所示,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(4,0)、C(8,0)，D(8,8).拋物線y=ax2+bx過A、C兩點.(1)直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式；(2動點P從點A出發,沿線段AB向終點B運動,同時點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動.速度均為1個單位長度，運動時間為t秒.①如圖1所示,過點P作PE⊥AB交AC于點E,過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G,點G關于拋物線對稱軸的對稱點為H,求當t為何值時,△HAC的面積為16；②如圖2所示,連接EQ,過Q作QM⊥AC于M,在點P、Q運動的過程中，是否存在某個t,使得∠QEM=2∠QCE,若存在請直接寫出相應的t值,若不存在說明理由.參考答案一、選擇題(3分×10=30分)1.A2.C3.B4.D5.B6.B7.C8.A9.C10.D二、填空題(3分×5=15分)11.-212.80°13.m≥114.3-15.或三、解答題(本大題共8小題，滿分75分)16.解：===當x=1時，原式=17.解：（1）（6+4）÷50%=20．所以王老師一共調查了20名學生，故答案為：20；（2）C類學生人數：20×25%=5（名），C類女生人數：5-2=3（名），D類學生占的百分比：1-15%-50%-25%=10%，D類學生人數：20×10%=2（名），D類男生人數：2-1=1（名），×360°=36°，故答案為：3；36°；補充條形統計圖如圖.（3）由題意畫樹形圖如下：

從樹形圖看出，所有可能出現的結果共有6種，且每種結果出現的可能性相等，所選

兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的結果共有3種．

所以P（所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學）==18.（1）證明：∵四邊形ABCE為圓O的內接四邊形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，

又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都為所對的圓周角，∴∠AEB=∠ACB，∴∠CED=∠AEB，∵AB=AC，CD=AC，∴AB=CD，

在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（AAS）(2)①60°；②19.解：由題意得：AD⊥CE，過點B作BM⊥CE，BF⊥EA，∵燈罩BC長為30cm，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB為直角三角形，∴sin30°=∴CM=15cm，在直角三角形ABF中，sin60°=解得：BF=20∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四邊形BFDM為矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2≈51.6cm．答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是51.6cm．20.解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=∴y=x+1由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，則雙曲線解析式為y=（2）設Q（m，n），∵Q（m，n）在y=上，∴n=當△QCH∽△BA中學自主招生數學試卷一、選擇題(3分×10=30分)1.下列各數中,是5的相反數的是()A．-5B．5C．0.5D．0.22.下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是()A．B．C．D．3.人類已知最大的恒星是盾牌座UY,它的規模十分巨大,如果將盾牌座UY放在太陽系的中心,它的表面將接近土星軌道,半徑約等于1.43344937×109km.那么這個數的原數是()A.143344937kmB.1433449370kmCmD.1.43344937km4.下列計算正確的是()A．2a-3a=-1B．(a2b3)3=a5b6C．a2·a3=a6D．a2+3a2=4a25.已知關于x的分式方程mx+=2有解,則m的取值范圍是（）A.m≤1且m≠0B.m≤1C.m≥-1D.m≥-1且m≠06.如圖所示,該物體的主視圖為（）A．B．C．D．7.如圖所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以點C為圓心,BC為半徑的圓交AB于一點D,交AC于點E,則∠DCE的度數為（）A.30°B.25°C.40°D.50°8.不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A．B．C．D．9.如圖所示,分別用兩個質地均勻的轉盤轉得一個數,①號轉盤表示數字2的扇形對應的圓角為120°,②號轉盤表示數字3的扇形對應的圓心角也是120°,則轉得的兩個數之積為偶數的概率為（）A．B．C．D．10.如圖1所示,小明(點P)在操場上跑步,操場由兩段半圓形彎道和兩段直道構成,若小明從點A(右側彎道起點)出發以順時針方向沿著跑道行進.設行進的路程為x,小明到右側半圓形彎道的圓心O的距離PO為y,可繪制出如圖2所示函數圖象,那么a-b的值應為()A．4B．π-1C．D．π二、填空題(3分×5=15分)11.(-3)0+=.12.如圖所示,直線ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,則∠3=.13.二次函數y=x2-2mx+1在x≤1時y隨x增大而減小,則m的取值范圍是.14.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E.連接CE,則陰影部分的面積是.(結果保留π)15.如圖所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射線AD上的動點,點A關于直線EM的對稱點為A，，當△A，FC為以FC為直角邊的直角三角形時,對應的MA的長為.三、解答題(本大題共8小題，滿分75分)16.(8分)先化簡÷(x-),然后從-<x<的范圍內選取一個合適的正整數作為x的值代入求值.17.(9分)陳老師為了了解所教班級學生完成數學糾錯的具體情況，對本班部分學生進行了為期半年的跟蹤調查，他將調查結果分為四類，A：很好；B：較好；C：一般；D：較差．并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統計圖，請你根據統計圖解答下列問題：⑴陳老師一共調查了多少名同學？⑵將條形統計圖補充完整；⑶為了共同進步，陳老師想從被調查的A類學生中隨機選取一位同學，再從D類學生中隨機選取一位同學組成二人學習小組,請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．18.(9分)如圖所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圓,AB=AC,延長BC至點D,使CD=AC,連接AD交⊙O于點E,連接BE、CE,BE交AC于點F.⑴求證：CE=AE⑵填空：①當∠ABC=時,四邊形AOCE是菱形；②若AE=,AB=,則DE的長為.19.(9分)如圖所示，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為40cm，燈罩BC長為30cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構成的∠BAD=60°．使用發現，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，求此時燈罩頂端C到桌面的高度CE的長？（結果精確到0.1cm，參考數據：≈1.732）20.(9分)如圖所示,直線y=ax+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,與雙曲線y=(x>0)相交于點P,PC⊥x軸于點C,且PC=2,點A的坐標為(-2,0).⑴求雙曲線的解析式；⑵若點Q為雙曲線上點P右側的一點,且QH⊥x軸于H,當以點Q、C、H為頂點的三角與△AOB相似時,求點Q的坐標.21.(10分)為了迎接暑假的學生購物高峰,某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋.其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表甲乙進價(元/雙)mm-20售價(元/雙)240160已知:用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同.⑴求m的值⑵由于資金有限,該店能夠購進的甲種運動鞋不超過105雙,要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤(利潤=售價-進價)不少于21700元,求該專賣店共有幾種進貨方案(只需計算種數,不用列舉各種方案)?⑶在⑵的條件下,專賣店準備對甲種運動鞋進行優惠促銷活動,決定對甲種運動鞋每雙優惠a(50<a<70)元出售,乙種運動鞋價格不變.那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨.22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4，E為AC中點,以CE為斜邊作如圖所示等腰直角三角形CED.(1)觀察猜想:如圖1所示,過D作DF⊥AE于F,交AB于G,線段CD與BG的關系為；(2)探究證明:如圖2所示，將△CDE繞點C順時針旋轉到如圖所示位置，過D作DF⊥AE于F，過B作DE的平行線與直線FD交于點G,(1)中結論是否成立?請說明理由；(3)拓展延伸:如圖3所示,當E、D、G共線時,直接寫出DG的長度.23.(11分)如圖所示,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(4,0)、C(8,0)，D(8,8).拋物線y=ax2+bx過A、C兩點.(1)直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式；(2動點P從點A出發,沿線段AB向終點B運動,同時點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動.速度均為1個單位長度，運動時間為t秒.①如圖1所示,過點P作PE⊥AB交AC于點E,過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G,點G關于拋物線對稱軸的對稱點為H,求當t為何值時,△HAC的面積為16；②如圖2所示,連接EQ,過Q作QM⊥AC于M,在點P、Q運動的過程中，是否存在某個t,使得∠QEM=2∠QCE,若存在請直接寫出相應的t值,若不存在說明理由.參考答案一、選擇題(3分×10=30分)1.A2.C3.B4.D5.B6.B7.C8.A9.C10.D二、填空題(3分×5=15分)11.-212.80°13.m≥114.3-15.或三、解答題(本大題共8小題，滿分75分)16.解：===當x=1時，原式=17.解：（1）（6+4）÷50%=20．所以王老師一共調查了20名學生，故答案為：20；（2）C類學生人數：20×25%=5（名），C類女生人數：5-2=3（名），D類學生占的百分比：1-15%-50%-25%=10%，D類學生人數：20×10%=2（名），D類男生人數：2-1=1（名），×360°=36°，故答案為：3；36°；補充條形統計圖如圖.（3）由題意畫樹形圖如下：

從樹形圖看出，所有可能出現的結果共有6種，且每種結果出現的可能性相等，所選

兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的結果共有3種．

所以P（所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學）==18.（1）證明：∵四邊形ABCE為圓O的內接四邊形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，

又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都為所對的圓周角，∴∠AEB=∠ACB，∴∠CED=∠AEB，∵AB=AC，CD=AC，∴AB=CD，

在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（AAS）(2)①60°；②19.解：由題意得：AD⊥CE，過點B作BM⊥CE，BF⊥EA，∵燈罩BC長為30cm，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB為直角三角形，∴sin30°=∴CM=15cm，在直角三角形ABF中，sin60°=解得：BF=20∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四邊形BFDM為矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2≈51.6cm．答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是51.6cm．20.解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=∴y=x+1由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，則雙曲線解析式為y=（2）設Q（m，n），∵Q（m，n）在y=上，∴n=當△QCH∽△BA中學自主招生數學試卷一、選擇題（每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是正確的．）1．（3分）﹣3的相反數是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．2．（3分）下列計算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6 C．a2b÷2ab＝a2 D．（2ab2）3＝8a3b63．（3分）如圖，圖1是一個底面為正方形的直棱柱；現將圖1切割成圖2的幾何體，則圖2的俯視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）一組數據1，2，3，3，4，5．若添加一個數據3，則下列統計量中，發生變化的是（）A．平均數 B．眾數 C．中位數 D．方差5．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點C，連接BC．若∠P＝40°，則∠ABC的度數為（）A．20° B．25° C．40° D．50°6．（3分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點D、E、F，AC與DF相交于點H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，則＝（）A． B．2 C． D．7．（3分）已知實數x、y滿足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．則﹣y2的值為（）A．0 B． C．1 D．8．（3分）如圖，直線y＝kx+b與y＝mx+n分別交x軸于點A（﹣1，0），B（4，0），則函數y＝（kx+b）（mx+n）中，當y＜0時x的取值范圍是（）A．x＞2 B．0＜x＜4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．）9．（3分）“五一”小長假期間，揚州市區8家主要封閉式景區共接待游客528600人次，同比增長20.56%．用科學記數法表示528600為．10．（3分）若有意義，則x的取值范圍是．11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝．12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有兩個相等的實數根，則k＝．13．（3分）一個圓錐的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個圓錐的側面積為cm2．14．（3分）如圖，點A是反比例函數y＝的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B．點C為y軸上的一點，連接AC，BC．若△ABC的面積為4，則k的值是．15．（3分）把一塊等腰直角三角尺和直尺如圖放置，如果∠1＝30°，則∠2的度數為．16．（3分）如圖，在4×4正方形網格中，黑色部分的圖形構成一個軸對稱圖形，現在任選取一個白色的小正方形并涂黑，使圖中黑色部分的圖形仍然構成一個軸對稱圖形的概率是．17．（3分）如圖，曲線AB是頂點為B，與y軸交于點A的拋物線y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲線BC是雙曲線y＝的一部分，由點C開始不斷重復“A﹣B﹣C”的過程，形成一組波浪線，點P（2018，m）與Q（2025，n）均在該波浪線上，則mn＝．18．（3分）如圖，⊙O的直徑AB＝8，C為弧AB的中點，P為弧BC上一動點，連接AP、CP，過C作CD⊥CP交AP于點D，連接BD，則BD的最小值是．三、解答題（本大題有10小題，共96分．）19．（8分）（1）計算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；（2）化簡：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20．（8分）央視熱播節目“朗讀者”激發了學生的閱讀興趣，某校為滿足學生的閱讀需求，欲購進一批學生喜歡的圖書，學校組織學生會成員隨機抽取部分學生進行問卷調查，被調查學生須從“文史類、社科類、小說類、生活類”中選擇自己喜歡的一類，根據調查結果繪制了統計圖（未完成），請根據圖中信息，解答下列問題：（1）此次共調查了名學生；（2）將條形統計圖補充完整；（3）圖2中“小說類”所在扇形的圓心角為度；（4）若該校共有學生2000人，估計該校喜歡“社科類”書籍的學生人數．21．（8分）若關于x的分式方程＝1的解是正數，求m的取值范圍．22．（8分）小明在上學的路上要經過多個路口，每個路口都設有紅、黃、綠三種信號燈，假設在各路口遇到信號燈是相互獨立的．（1）如果有2個路口，求小明在上學路上到第二個路口時第一次遇到紅燈的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）（2）如果有n個路口，則小明在每個路口都沒有遇到紅燈的概率是．23．（10分）如圖，在電線桿CD上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面所成的角∠CED＝60°，在離電線桿6m的B處安置高為1.5m的測角儀AB，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，求拉線CE的長．（結果保留根號）24．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求證：△AED≌△CFB；（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求證：DA＝DF．25．（10分）觀察下表：我們把某一格中所有字母相加得到的多項式稱為特征多項式，例如：第1格的“特征多項式”為x+4y．回答下列問題：（1）第4格的“特征多項式”為，第n格的“特征多項式”為；（2）若第1格的“特征多項式”的值為2，第2格的“特征多項式”的值為﹣6．①求x，y的值；②在①的條件下，第n格的“特征多項式的值”隨著n的變化而變化，求“特征多項式的值”的最大值及此時n值．26．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，E為BC的中點，連接DE．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）如果⊙O的半徑為3，ED＝4，延長EO交⊙O于F，連接DF，與OA交于點G，求OG的長．27．（12分）在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為（﹣8，0）．如圖1，正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限．現將正方形OBCD繞點O順時針旋轉角α得到正方形OEFG．（1）如圖2，若α＝45°，OE＝OA，求直線EF的函數表達式；（2）如圖3，若α為銳角，且tanα＝，當EA⊥x軸時，正方形對角線EG與OF相交于點M，求線段AM的長；（3）當正方形OEFG的頂點F落在y軸正半軸上時，直線AE與直線FG相交于點P，是否存在△OEP的兩邊之比為：1？若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．28．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣9a與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N．（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；（3）證明：當直線l繞點D旋轉時，+均為定值，并求出該定值．

參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是正確的．）1．【分析】根據相反數的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反數是﹣（﹣3）＝3．故選：A．2．【分析】直接利用合并同類項法則以及算術平方根、整式的除法運算法則、積的乘方運算法則分別化簡得出答案．【解答】解：A、2a+3b無法計算，故此選項錯誤；B、＝6，故此選項錯誤；C、a2b÷2ab＝a，故此選項錯誤；D、（2ab2）3＝8a3b6，正確．故選：D．3．【分析】俯視圖是從物體上面看到的圖形，應把所看到的所有棱都表示在所得圖形中．【解答】解：從上面看，圖2的俯視圖是正方形，有一條對角線．故選：C．4．【分析】依據平均數、中位數、眾數、方差的定義和公式求解即可．【解答】解：A、原來數據的平均數是3，添加數字3后平均數仍為3，故A與要求不符；B、原來數據的眾數是3，添加數字3后眾數仍為3，故B與要求不符；C、原來數據的中位數是3，添加數字3后中位數仍為3，故C與要求不符；D、原來數據的方差＝＝，添加數字3后的方差＝＝，故方差發生了變化．故選：D．5．【分析】利用切線的性質和直角三角形的兩個銳角互余的性質得到圓心角∠PAO的度數，然后利用圓周角定理來求∠ABC的度數．【解答】解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點A，∴∠PAO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故選：B．6．【分析】求出AB＝3，由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結果．【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，∴AB＝AH+BH＝3，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故選：A．7．【分析】根據x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x與y的關系和y2﹣的值，從而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，∴x＝y+3，y2+﹣＝0，∴y2﹣＝﹣∴﹣y2＝＝1+＝1﹣（﹣）＝1+＝，故選：D．8．【分析】看兩函數交點坐標之間的圖象所對應的自變量的取值即可．【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，∴（kx+b）（mx+n）＜0，∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1?y2＜0，有以下兩種情況：（1）當y1＞0，y2＜0時，此時，x＜﹣1；（2）當y1＜0，y2＞0時，此時，x＞4，故選：D．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．）9．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：528600＝5.286×105，故答案為：5.286×10510．【分析】分母為零，分式無意義；分母不為零，分式有意義．【解答】解：根據題意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．11．【分析】首先提取公因式m，進而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案為：m（x+2）（x﹣2）．12．【分析】根據根判別式△＝b2﹣4ac的意義得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有兩個相等的實數根，∴△＝0，即k2﹣4?1?9＝0，解得k＝±6．故答案為±6．13．【分析】根據圓錐的側面展開圖為扇形，先計算出圓錐的底面圓的周長，然后利用扇形的面積公式求解．【解答】解：∵圓錐的底面半徑為5cm，∴圓錐的底面圓的周長＝2π?5＝10π，∴圓錐的側面積＝?10π?2＝10π（cm2）．故答案為：10π．14．【分析】連結OA，如圖，利用三角形面積公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根據反比例函數的比例系數k的幾何意義得到|k|＝4，然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值．【解答】解：連結OA，如圖，∵AB⊥x軸，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故答案為：﹣8．15．【分析】根據平行線的性質可得出∠3＝∠4+∠5，結合對頂角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度數．【解答】解：給各角標上序號，如圖所示．∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＝∠1+∠2．又∵∠1＝30°，∠3＝45°，∴∠2＝15°．故答案為：15°．16．【分析】由在4×4正方形網格中，任選取一個白色的小正方形并涂黑，共有13種等可能的結果，使圖中黑色部分的圖形構成一個軸對稱圖形的有5種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：如圖，∵根據軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，白色的小正方形有13個，而能構成一個軸對稱圖形的有5個情況，∴使圖中黑色部誒的圖形仍然構成一個軸對稱圖形的概率是：．故答案為：．17．【分析】依據題意可得，A，C之間的水平距離為6，點Q與點P的水平距離為7，A，B之間的水平距離為2，雙曲線解析式為y＝，依據點P'、點B離x軸的距離相同，都為6，即點P的縱坐標m＝6，點Q“、點Q'離x軸的距離相同，都為4，即點Q的縱坐標n＝4，即可得到mn的值．【解答】解：由圖可得，A，C之間的水平距離為6，2018÷6＝336…2，由拋物線y＝﹣x2+4x+2可得，頂點B（2，6），即A，B之間的水平距離為2，∴點P'、點B離x軸的距離相同，都為6，即點P的縱坐標m＝6，由拋物線解析式可得AO＝2，即點C的縱坐標為2，∴C（6，2），∴k＝2×6＝12，∴雙曲線解析式為y＝，2025﹣2018＝7，故點Q與點P的水平距離為7，∵點P'、Q“之間的水平距離＝（2+7）﹣（2+6）＝1，∴點Q“的橫坐標＝2+1＝3，∴在y＝中，令x＝3，則y＝4，∴點Q“、點Q'離x軸的距離相同，都為4，即點Q的縱坐標n＝4，∴mn＝6×4＝24，故答案為：24．18．【分析】以AC為斜邊作等腰直角三角形ACQ，則∠AQC＝90°，依據∠ADC＝135°，可得點D的運動軌跡為以Q為圓心，AQ為半徑的，依據△ACQ中，AQ＝4，【解答】解：如圖所示，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACQ，則∠AQC＝90°，連接AC，BC，BQ．∵⊙O的直徑為AB，C為的中點，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴點D的運動軌跡為以Q為圓心，AQ為半徑的，又∵AB＝8，C為的中點，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝4，∴△ACQ中，AQ＝4，∴BQ＝＝4，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值為4﹣4．故答案為：4﹣4．三、解答題（本大題有10小題，共96分．）19．【分析】（1）根據實數的混合計算解答即可；（2）根據整式的混合計算解答即可．【解答】解：（1）原式＝＝﹣1．（2）原式＝1﹣a2+a2﹣2a＝1﹣2a20．【分析】（1）根據文史類的人數以及文史類所占的百分比即可求出總人數；（2）根據總人數以及生活類的百分比即可求出生活類的人數以及小說類的人數；（3）根據小說類的百分比即可求出圓心角的度數；（4）利用樣本中喜歡社科類書籍的百分比來估計總體中的百分比，從而求出喜歡社科類書籍的學生人數；【解答】解：（1）∵喜歡文史類的人數為76人，占總人數的38%，∴此次調查的總人數為：76÷38%＝200人，故答案為：200；（2）∵喜歡生活類書籍的人數占總人數的15%，∴喜歡生活類書籍的人數為：200×15%＝30人，∴喜歡小說類書籍的人數為：200﹣24﹣76﹣30＝70人，如圖所示：（3）∵喜歡社科類書籍的人數為：24人，∴喜歡社科類書籍的人數占了總人數的百分比為：×100%＝12%，∴喜歡小說類書籍的人數占了總分數的百分比為：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，∴小說類所在圓心角為：360°×35%＝126°；（4）由樣本數據可知喜歡“社科類”書籍的學生人數占了總人數的12%，∴該校共有學生2000人，估計該校喜歡“社科類”書籍的學生人數：2000×12%＝240人．21．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解為正數確定出m的范圍即可．【解答】解：去分母得：1+m＝x﹣2，解得：x＝m+3，由分式方程的解為正數，得到m+3＞0，且m+3≠2，解得：m＞﹣3且m≠﹣1．22．【分析】（1）畫樹狀圖列出所有等可能結果，從中找到到第二個路口時第一次遇到紅燈的結果數，根據概率公式計算可得．（2）根據在第1個路口沒有遇到紅燈的概率為，到第2個路口還沒有遇到紅燈的概率為＝（）2可得答案．【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有9種等可能結果，其中到第二個路口時第一次遇到紅燈的結果數為2，所以到第二個路口時第一次遇到紅燈的概率為；（2）∵在第1個路口沒有遇到紅燈的概率為，到第2個路口還沒有遇到紅燈的概率為＝（）2，∴到第n個路口都沒有遇到紅燈的概率為（）n，故答案為：（）n．23．【分析】由題意可先過點A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，進而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的長．【解答】解：過點A作AH⊥CD，垂足為H，由題意可知四邊形ABDH為矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，∴CH＝AH?tan∠CAH，∴CH＝AH?tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2（米），∵DH＝1.5，∴CD＝2+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，∴CE＝＝（4+）（米），答：拉線CE的長約為（4+）米．24．【分析】（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到一對直角相等，利用等式的性質得到一對角相等，利用ASA即可得證；（2）過D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD＝2DH，在直角三角形DEB中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EB＝2DH，易得四邊形EBFD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到EB＝DF，等量代換即可得證．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB＝∠FBD＝90°，∴∠ADE＝∠CBF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）；（2）作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△ADH中，∠A＝30°，∴AD＝2DH，在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，∴EB＝2DH，∵ED⊥DB，FB⊥BD．∴DE∥BF，∵AB∥CD，∴四邊形EBFD為平行四邊形，∴FD＝EB，∴DA＝DF．25．【分析】（1）利用已知表格中x，y個數變化規律得出第2格的“特征多項式”以及第n格的“特征多項式”；（2）①利用（1）中所求得出關于x，y的等式組成方程組求出答案；②利用二次函數最值求法得出答案．【解答】解：（1）由表格中數據可得：第4格的“特征多項式”為：16x+25y，第n格的“特征多項式”為：n2x+（n+1）2y（n為正整數）；故答案為：16x+25y，n2x+（n+1）2y（n為正整數）；（2）①由題意可得：，解得：答：x的值為﹣6，y的值為2．②設W＝n2x+（n+1）2y當x＝﹣6，y＝2時：W＝﹣6n2+2（n+1）2＝，此函數開口向下，對稱軸為，∴當時，W隨n的增大而減小，又∵n為正整數∴當n＝1時，W有最大值，W最大＝﹣4×（1﹣）2+3＝2，即：第1格的特征多項式的值有最大值，最大值為2．26．【分析】（1）首先連接OD，由BE＝EC，CO＝OA，得出OE∥AB，根據平行線與等腰三角形的性質，易證得△COE≌△DOE，即可得∠ODE＝∠OCE＝90°，則可證得ED為⊙O的切線；（2）只要證明OE∥AB，推出，由此構建方程即可解決問題；【解答】解：（1）證明：連接OD，∵E為BC的中點，AC為直徑，∴BE＝EC，CO＝OA，∴OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圓O的切線；（2）連接CD；由題意EC、ED是⊙O的切線，∴EC＝ED，∵OC＝OD，∴OE⊥CD，∵AC是直徑，∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AB，∴OE∥AB，∴，在Rt△ECO中，EO＝＝5，∵∠EOC＝∠CAD，∴cos∠CAD＝cos∠EOC＝，∴AD＝，設OG＝x，則有，∴x＝，∴OG＝．27．【分析】（1）求出E、F兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題；（2）如圖3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延長線于K．只要證明四邊形AOMK是正方形，證明AE+OA＝2AH即可解決問題；（3）如圖2中，設F（0，2a），則E（﹣a，a）．構建一次函數利用方程組求出交點P坐標，分三種情形討論求解即可；【解答】解：（1）∵OE＝OA＝8，α＝45°，∴E（﹣4，4），F（0，8），設直線EF的解析式為y＝kx+b，則有，解得∴直線EF的解析式為y＝x+8．（2）如圖3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延長線于K．在Rt△AEO中，tan∠AOE＝＝，OA＝8，∴AE＝4，∵四邊形EOGF是正方形，∴∠EMO＝90°，∵∠EAO＝∠EMO＝90°，∴E、A、O、M四點共圓，∴∠EAM＝∠EOM＝45°，∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，∴MK＝MH，四邊形KAOM是正方形，∵EM＝OM，∴△MKE≌△MHO，∴EK＝OH，∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，∴AH＝6，∴AM＝AH＝6．（3）如圖2中，設F（0，2a），則E（﹣a，a）．∵A（﹣8，0），E（﹣a，a），∴直線AP的解析式為y＝x+，直線FG的解析式為y＝﹣x+2a，由，解得，∴P（，）．①當PO＝OE時，∴PO2＝2OE2，則有：+＝4a2，解得a＝4或﹣4（舍棄）或0（舍棄），此時P（0，8）．②當PO＝PE時，則有：+＝2[（+a）2+（﹣a）2]，解得：a＝4或12，此時P（0，8）或（﹣24，48），③當PE＝EO時，[（+a）2+（﹣a）2]＝4a2，解得a＝8或0（舍棄），∴P（﹣8，24）綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（0，8），（﹣8，24），（﹣24，48）．28．【分析】（1）由點C的坐標為（0，3），可知﹣9a＝3，故此可求得a的值，然后令y＝0得到關于x的方程，解關于x的方程可得到點A和點B的坐標，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數值可求得∠CAO＝60°，依據AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO＝30°，然后利用特殊銳角三角函數值可求得OD＝1，則可得到點D的坐標．設點P的坐標為（，a）．依據兩點的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD＝PA、AD＝DP、AP＝DP三種情況列方程求解即可；（3）設直線MN的解析式為y＝kx+1，接下來求得點M和點N的橫坐標，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可．【解答】解：（1）∵C（0，3）．∴﹣9a＝3，解得：a＝﹣．令y＝0得：ax2﹣2ax﹣9a＝0，∵a≠0，∴x2﹣2x﹣9＝0，解得：x＝﹣或x＝3．∴點A的坐標為（﹣，0），B（3，0）．∴拋物線的對稱軸為x＝．（2）∵OA＝，OC＝3，∴tan∠CAO＝，∴∠CAO＝60°．∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO＝30°．∴DO＝AO＝1．∴點D的坐標為（0，1）設點P的坐標為（，a）．依據兩點間的距離公式可知：AD2＝4，AP2＝12+a2，DP2＝3+（a﹣1）2．當AD＝PA時，4＝12+a2，方程無解．當AD＝DP時，4＝3+（a﹣1）2，解得a＝0或a＝2（舍去），∴點P的坐標為（，0）．當AP＝DP時，12+a2＝3+（a﹣1）2，解得a＝﹣4．∴點P的坐標為（，﹣4）．綜上所述，點P的坐標為（，0）或（，﹣4）．（3）設直線AC的解析式為y＝mx+3，將點A的坐標代入得：﹣m+3＝0，解得：m＝，∴直線AC的解析式為y＝x+3．設直線MN的解析式為y＝kx+1．把y＝0代入y＝kx+1得：kx+1＝0，解得：x＝﹣，∴點N的坐標為（﹣，0）．∴AN＝﹣+＝．將y＝x+3與y＝kx+1聯立解得：x＝．∴點M的橫坐標為．過點M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG＝+．∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，∴AM＝2AG＝+2＝．∴+＝+＝+＝＝＝．中學自主招生數學試卷一．選擇題（滿分24分，每小題3分）1．下列說法正確的是（）A．0是無理數 B．π是有理數 C．4是有理數 D．是分數2．12月2日，2018年第十三屆南寧國際馬拉松比賽開跑，2.6萬名跑者繼續刷新南寧馬拉松的參與人數紀錄!把2.6萬用科學記數法表示為（）A．0.26×103 B．2.6×103 C．0.26×104 D．2.6×1043．下列計算錯誤的是（）A．4x3?2x2＝8x5 B．a4﹣a3＝a C．（﹣x2）5＝﹣x10 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b24．已知一個幾何體及其左視圖如圖所示，則該幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．5．如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（）A．∠1+∠3＝180° B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠66．解分式方程＝﹣2時，去分母變形正確的是（）A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）7．數學課上，小明進行了如下的尺規作圖（如圖所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）邊OA、OB上分別截取OD、OE，使得OD＝OE；（2）分別以點D、E為圓心，以大于DE為半徑作弧，兩弧交于△AOB內的一點C；（3）作射線OC交AB邊于點P．那么小明所求作的線段OP是△AOB的（）A．一條中線 B．一條高 C．一條角平分線 D．不確定8．如圖，平面內一個⊙O半徑為4，圓上有兩個動點A、B，以AB為邊在圓內作一個正方形ABCD，則OD的最小值是（）A．2 B． C．2﹣2 D．4﹣4二．填空題（滿分30分，每小題3分）9．若a，b都是實數，b＝+﹣2，則ab的值為．10．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則∠BAC的余弦值是．11．因式分解：9a3b﹣ab＝．12．已知關于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有兩個相等的實根，則k的值是．13．如圖，李明從A點出發沿直線前進5米到達B點后向左旋轉的角度為α，再沿直線前進5米，到達點C后，又向左旋轉α角度，照這樣走下去，第一次回到出發地點時，他共走了45米，則每次旋轉的角度α為．14．如圖，一次函數y＝ax+b的圖象經過A（2，0）、B（0，﹣1）兩點，則關于x的不等式ax+b＜0的解集是．15．已知圓錐的底面半徑是2，母線長是4，則圓錐的側面積是．16．反比例函數y＝﹣圖象上三點的坐標分別為A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3），則y1，y2，y3的大小關系是（用“＞”連接）17．如圖，邊長為2的正方形ABCD中心與半徑為2的⊙O的圓心重合，E、F分別是AD、BA的延長線與⊙O的交點，則圖中陰影部分的面積是．（結果保留π）18．如圖1，在等邊三角形ABC中，點P為BC邊上的任意一點，且∠APD＝60°，PD交AC于點D，設線段PB的長度為x，CD的長度為y，若y與x的函數關系的大致圖象如圖2，則等邊三角形ABC的面積為．三．解答題19．（8分）（1）計算：2cos60°﹣（﹣π）0+﹣（）﹣2（2）解不等式組：，并求不等式組的整數解．20．（8分）先化簡，再求值：（）?（x2﹣1），其中x是方程x2﹣4x+3＝0的一個根．21．（8分）初三年級教師對試卷講評課中學生參與的深度與廣度進行評價調查，其評價項目為主動質疑、獨立思考、專注聽講、講解題目四項．評價組隨機抽取了若干名初中學生的參與情況，繪制成如圖所示的頻數分布直方圖和扇形統計圖（均不完整），請根據圖中所給信息解答下列問題：（1）在這次評價中，一共抽查了名學生；（2）在扇形統計圖中，項目“主動質疑”所在的扇形的圓心角的度數為度；（3）請將頻數分布直方圖補充完整；（4）如果全市有6000名初三學生，那么在試卷評講課中，“獨立思考”的初三學生約有多少人？22．（8分）現如今，“垃圾分類”意識已深入人心，如圖是生活中的四個不同的垃圾分類投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了兩袋垃圾．（1）直接寫出甲投放的垃圾恰好是“廚余垃圾”的概率；（2）求乙投放的兩袋垃