和差倍分證數(shù)量，截長延短來構(gòu)造祁門縣城北學校陶秀英摘要：在幾何證明題當中，我們經(jīng)常會遇到求角或者線段的和、差、倍、分的數(shù)量關(guān)關(guān)鍵詞：和差倍分 長截取短延長 構(gòu)造法 化曲為直 轉(zhuǎn)化我們知道，在解答數(shù)學題時，基本上都有一套固定的解題方法或者說是解題體系。講造法”——“長截取、短延長”在數(shù)學解題中的妙用。案例1：如下左圖所示，已知在△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，過點D作DF⊥AB，交AC于點E，交BC延長線于點F。1求證：∠F=2∠AA ADEDEB C F B G DEDE分析：這道題讓我們證明一個角是另一個的一半，顯然就是典型的“和差倍分”問題。1 12要證∠F=∠A，不妨我們就作一個角等于∠A，然后證明所作的這個角與∠F相等不22就搞定啦！由于可少的輔助線——“三線合一”線。當我們作出這條輔助線時自然也就實現(xiàn)了構(gòu)造的意圖。證明：過點A作AG⊥BG于點G,則∠AGB=90°∴∠B+∠BAG=90°(直角三角形的兩個銳角互余)∵DF⊥AB（已知）∴∠B+∠BFD=90°(直角三角形的兩個銳角互余)∴∠BFD=∠BAG（同角的余角相等）∵AB=AC（已知）AG⊥BG（所作）1∴∠BAG=∠BAC（等腰三角形三線合一）21∴∠F=2∠A備注：這是一道最為簡單的構(gòu)造法題型。當然同學們可能還沒有完全真正意義上來理下面我再舉幾道例子來和大家賞析一下，去深入領(lǐng)略一下“構(gòu)造法”的神奇與奧妙吧！案例2：如圖2ABC的平分線交AC于點與BD的延長線交于點E，且∠ACE=∠CBE。（1）求證：CE⊥BE.（2）求證：BD=2CEAE4AE4D5321DE圖3B 圖DE圖3證明：（1）∵CD平分∠ABC（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵∠1=∠3（已知）∴∠2=∠3（等量代換）∵∠4=∠5（對頂角相等）∴∠BAD=∠CED(三角形的內(nèi)角和定理)∵∠A=90°（已知）∴∠CED=90°（等量代換）∴CE⊥BE.（垂直的定義）（2）分析：要證BD=2CE，顯然此中涉及到2倍的問題，一般按照我們常規(guī)的思路就BD的中點的方法，延長CE到F使得EF=CE，然后轉(zhuǎn)化成證明BD=CF。也就是我們前面所說的構(gòu)造法。證法如下：延長BA、CE交于點F，∵CD平分∠ABC CE⊥BE.∴CF=2CE∵△ABC是等腰直角三角形（已知）∴AB=AC在△ABD和△ACF中，ìDBAD已知）í?ABí??D2?

已證）∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=CF(全等三角形的對應邊相等)∴BD=2CE（等量代換）得證！總結(jié)：第一個問比較簡單，但是第二個問如果直接去證明是有一定難度的。但是只要們的思路就會順暢許多。這道題用“長截取”來處理比“短延長”難度要大一些。這種題決的案例，然后大家去細細地咀嚼一下其中奧妙和神奇。案例3：已知：如圖4所示，Rt△ABC中，AC=BC，BD是∠ABC的角平分線。求證：AB=BC+CDCDCDC CDA BAD圖4

E 圖5

D21AB 圖D21A方法一：長截取如圖5所示，我們既可以過點D作DE⊥AB于點E，也可以在AB上截取BE=BC，這兩DE=DC=EA，從而證出AB=BE+AE=BC+CD。實質(zhì)就是利用角平分線的性質(zhì)定理以及等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)證明。方法二：短延長如圖6所示，延長BC到E，使得CE=CD，結(jié)合已知條件易證△AEC≌△BDC∴∠EAC=∠DBC∠AEC=∠BDC∵∠BDC=∠DAB+∠DBA=∠DAB+∠DBC=∠DAB+∠EAC=∠EAB又∵∠AEC=∠BDC∴∠AEC=∠EAB∴AB=EB=BC+CE=BC+CD總結(jié)：雖說這道題長截取短延長兩種方法都行，但是通過證明可以發(fā)現(xiàn)，長截取比短延長要簡單一些。案例4：已知：如圖所示，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CBA和∠DBA,CD過E點。求證：AB=AC+BDF7ECEC DE E4D 3 847 D C 312B7 A

8 F

6 1 65 2 5A 圖9 B分析：求證結(jié)果AB=AC+BD，即一條線段是另外兩條線段的總和，我們的想法就是要么AB上截取一段AF使得等于AC,那么此題就轉(zhuǎn)化成證明BD=BF的問題了，或者把較短線段進行延長然后證明它與AB相等就可以啦。下面我也分別從“長截取短延長”兩種方法來和大家共同解析一下這道題的解法。解法一：長截取在AB上截取AF=AC,連接EF。∵AC∥BD∴∠CAB+∠ABD0180°∵AE、BE分別平分∠CBA和∠DBA∴∠1=∠2 ∠5=∠6∴∠2+∠5=90°∴∠4+∠7=90°∴∠3+∠8=90°根據(jù)SAS易證△CAE≌△FAE∴∠3=∠4∴∠7=∠8根據(jù)ASA易證△EFB≌△EDB∴BF=BD∴AB=AF+FB=AC+BD得證！解法二：短延長延長AE與BD交于點F∵AC∥BD∴∠1=∠7∴AB=BF∵AE、BE分別平分∠CBA和∠DBA∴∠1=∠2 ∠5=∠6∴∠2=∠7∴AE=EFBE⊥AF(等腰三角形三線合一)根據(jù)ASA易證△ACE≌△FDE∴AC=DFAB=BF=BD+DF=BD+AC即AB=AC+BD得證！備注：事實上在我們用上面的兩種方法進行證明證明時，我們不難發(fā)現(xiàn)，點E為CD的中點。因此此題也可以變式為如下案例：案例5：在梯形ABCD中，AD∥BC,M為AB的中點。求證：（1）若CM為∠BCD的平分線，則AD+BC=CD；（2）若AD+BC=CD，則MC⊥MD。HMGB圖HMGB圖11CMBC圖10解法一：長截取如圖11所示，過點M作分別作MH⊥CD、MG⊥BC并延長GM交AD于點F，∵AD∥BC∴MF⊥AD∵M為AB的中點∴MA=MB根據(jù)AAS易證△AMF≌△BMG∴AF=BG再根據(jù)AAS、HL依次證明△MCG≌△MCH、△MFD≌MHD得出GC=HC、DH=DF∴CD=CH+DH=CG+DF=BC+BG+DF=BC+AF+DF=BC+AD即AD+BC=CD備注：此題并不是簡簡單單地長截取證明方法，而是通過作垂線來構(gòu)造了長截取——在上長截取CB上實際上也運用了短延長的思想。但我在作輔助線時并不是真正的長截取，而是一種構(gòu)造法思想。解法二：短延長如圖12所示，延長DM、CB交于點E∵AD∥BC,M為AB的中點根據(jù)AAS易證△AMD≌△BEM∴AD=BE ME=MD∵CM為∠BCD的平分線通過三線合一的逆定理可以得出CE=CD(也可以過點M向MD得出CE=CDCE=CB+BE=CB+AD即AD+BC=CDD DA A M NMME B C 圖12

B 圖13 C解法三：中位線法取CD的中點N，連接MN，則MN是梯形的中位線∴MN∥BC∴∠NMC=∠MCB∵CM為∠BCD的平分線∴∠MCB=∠MCN∴∠NMC=∠MCN∴MN=NC∵N是CD的中點∴DN=CN∴MN=1/2CD∵MN是梯形的中位線∴MN=1/2(AD+BC)∴1/2CD=1/2(AD+BC)∴AD+BC=CD今天早上在國旗下講話時，江雨老師和我一起探討了周末學生作業(yè)試卷上的題時，用享一下。案例6：如圖D是邊BC且DE交△ABC外角∠ACF的平分線CE于點E。求證：（1）∠1=∠2；（2）AD=DE.A1G1G5E421EFB D CB 2 FD 圖14 C

圖15解析：此題就是前面我引用過的“一線三等角”模型，但是在第二個問當中，我們可以看到采用了“長截取”的方法。證明：（1）∵△ABC是等邊三角形∴∠B=∠ACB=60°∴∠1+∠ADB=120°∵∠ADE=60°∴∠2+∠ADB=120°∴∠1=∠2（2）在AB上截取AG=CD∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC∴BG=BD∵∠B=60°∴△BDG為等邊三角形∴∠4=60°∴∠5=120°∵CE平分∠ACF ∠ACB=60°∴∠DCE=120°∴∠5=∠DCE在△AGD和△DCE中，íì?AGí???∴△AGD≌△DCE(ASA)∴AD=DE就是，當要證一條線段等于另外兩條線段的和時，我們有如下兩種方法。長截取：即在較長線段上截取一條線段等于其中的一條較短線段，然后去證明那條