第七章機器人軌跡規劃7.3笛卡爾空間軌跡規劃法

第七章機器人軌跡規劃7.2關節空間的軌跡規劃7.1機器人的軌跡規劃第七章機器人軌跡規劃

第七章機器人軌跡規劃7.1機器人的軌跡規劃機器人軌跡規劃機器人運動學機器人關節變量運動方程機器人位姿機器人軌跡規劃機器人位姿1軌跡：關節變量機器人位姿2機器人運動學機器人動力學速度、加速度軌跡：機械手在運動過程中的位移、速度和加速度。軌跡規劃：根據作業任務的要求，計算出預期的運動軌跡。分為關節空間規劃和直角坐標空間規劃兩類。運動學動力學軌跡規劃關節空間操作空間控制位置控制軌跡控制力控制協調控制第七章機器人軌跡規劃軌跡規劃既可在關節空間中進行，也可在直角坐標空間中進行。在關節空間中進行軌跡規劃是指將所有關節變量表示為時間的函數，用這些關節函數及其一階、二階導數描述機器人預期的運動。在直角坐標空間中進行軌跡規劃，是指將手爪位姿、速度和加速度表示為時間的函數，而相應的關節位置、速度和加速度由手爪信息導出。7.1機器人的軌跡規劃關節空間描述與直角坐標描述關節空間描述：采用關節量來描述機器人的運動。優點：描述方法簡單缺點：機器人在兩點之間的運動不可預知直角坐標描述：機器人的運動序列首先在直角坐標空間中進行描述，然后轉化為關節空間描述。優點：機器人在兩點之間的運動可預知缺點：計算量大t關節空間軌跡θP0P1P2P3P4P5P6直角坐標空間軌跡直角坐標空間軌跡7.1機器人的軌跡規劃當需要更詳細地描述運動時，不僅要規定機器人的起始點和終止點，而且要給出介于起始點和終止點之間的中間點，也稱路徑點。運動軌跡除了位姿約束外，還存在著各路徑點之間的時間分配問題。例如，在規定路徑的同時，必須給出兩個路徑點之間的運動時間。機器人的運動應當平穩，不平穩的運動將加劇機械部件的磨損，并導致機器人的振動和沖擊。一階導數(速度)，有時甚至二階導數(加速度)也應該連續.7.1機器人的軌跡規劃機器人從位置A移動到位置B。方式1：每秒每軸轉10度。方式2：兩軸同步轉動。7.1機器人的軌跡規劃機器人從位置A移動到位置B。方式3：沿直線等分運動。方式4：沿直線非等分運動。7.1機器人的軌跡規劃沿期望路徑運動方式5：加速—勻速—減速—停止。方式6：平滑轉接小線段。方式7：修正軌跡+平滑轉接。7.1機器人的軌跡規劃第七章機器人軌跡規劃第七章機器人軌跡規劃7.2關節空間的軌跡規劃首先需要將每個作業路徑點向關節空間變換，即用逆運動學方法把路徑點轉換成關節角度值，或稱關節路徑點；然后，為每個關節相應的關節路徑點擬合光滑函數；這些關節函數分別描述了機器人各關節從起始點開始，依次通過路徑點，最后到達某目標點的運動軌跡。由于每個關節在相應路徑段運行的時間相同，這樣就保證了所有關節都將同時到達路徑點和目標點，從而也保證了工具坐標系在各路徑點具有預期的位姿；7.2關節空間的軌跡規劃t某關節的反解值（線性化）θ反解關節值光滑函數擬合每個關節確定路徑點每個關節運動時間相同以關節角度（位置）函數描述機器人軌跡：計算簡單、無奇異性。▼關鍵要使關節軌跡滿足約束條件，如各點上的位姿、速度和加速度要求和連續性要求等，在滿足約束條件下選取不同的插值函數。7.2關節空間的軌跡規劃關節空間的軌跡規劃當已知末端操作器的起始位姿和終止位姿時，由逆向運動學，即可求出對應于兩位姿的各個關節角度。因此，末端操作器實現兩位姿的運動軌跡描述，可在關節空間中用通過起始點關節角和終止點關節角的一個平滑軌跡函數θ(t)來表示；為了實現關節的平穩運動，每個關節的軌跡函數θ(t)至少需要滿足四個約束條件：兩端點位置約束和兩端點速度約束。7.2.1三次多項式插值

考慮機械手末端在一定時間內從初始位置和方位移動到目標位置和方位的問題。利用逆運動學計算，可以首先求出一組起始和終點的關節位置。現在的問題是求出一組通過起點和終點的光滑函數。滿足這個條件的光滑函數可以有許多條，如下圖所示：157.2.1三次多項式插值圖7.3單個關節的不同軌跡曲線顯然，這些光滑函數必須滿足以下條件：同時若要求在起點和終點的速度為零，即：那么可以選擇如下的三次多項式：作為所要求的光滑函數。式7-3中有4個待定系數，而該式需滿足式7-1和7-2的4個約束條件，因此可以唯一地解出這些系數：（7-3）（7-2）（7-1）滿足起點和終點的關節角度約束滿足起點和終點的關節速度約束16關節空間的軌跡規劃7.2.1三次多項式插值利用約束條件確定三次多項式系數，有下列方程組：7.2.1三次多項式插值（7-4）關節空間的軌跡規劃求解方程組

由上式確定的三次多項式描述了起始點和終止點具有任意給定位置和速度的運動軌跡。剩下的問題就是如何確定路徑點上的期望關節速度。7.2.1三次多項式插值（7-5）例：

設機械手的某個關節的起始關節角θ0＝150，并且機械手原來是靜止的。要求在3秒鐘內平滑地運動到θf=750時停下來(即要求在終端時速度為零)。規劃出滿足上述條件的平滑運動的軌跡，并求出關節角位置、角速度及角加速度隨時間變化的方程。解：根據所給約束條件，直接代入式(7-4)，可得：a0=15，a1=0，a2=20，a3=-4.44

所求關節角的位置函數為：對上式求導，可以得到角速度和角加速度197.2.1三次多項式插值

三次多項式插值的關節運動軌跡曲線如圖所示。由圖可知，其速度曲線為拋物線，相應的加速度曲線為直線。圖

三次多項式插值的關節運動軌跡7.2.1三次多項式插值

過路徑點的三次多項式方法：把所有路徑點都看成是“起點”或“終點”，求解逆運動學，得到相應的關節矢量值。然后確定所要求的三次多項式插值函數，把路徑點平滑的連接起來。不同的是，這些“起點”和“終點”的關節速度不再是零。21圖7.4過路徑點的三次多項式7.2.1三次多項式插值

把每個關節上相鄰的兩個路徑點分別看做起始點和終止點，再確定相應的三次多項式插值函數，把路徑點平滑連接起來。一般情況下，這些起始點和終止點的關節運動速度不再為零。速度約束條件7.2.1三次多項式插值其約束條件是：聯接處不僅速度連續，而且加速度也連續。

如果對于運動軌跡的要求更為嚴格，約束條件增多，那么三次多項式就不能滿足需要，必須用更高階的多項式對運動軌跡的路徑段進行插值。例如，對某段路徑的起點和終點都規定了關節的位置、速度和加速度（有六個未知的系數），則要用一個五次多項式進行插值。多項式的系數必須滿足6個約束條件。237.2.2高級多項式插值（7-6）247.2.2高級多項式插值257.2.2高級多項式插值可畫出它們隨時間的變化曲線如圖所示，（a）、（b）、（c）分別表示該機器人手臂關節的位移、速度、加速度運動軌跡曲線。可以看出，角速度曲線為一拋物線。將約束條件帶入，可得：

前面介紹了利用三次多項式函數插值的規劃方法。另外一種常用方法是線性函數插值法，即用一條直線將起點與終點連接起來。但是，簡單的線性函數插值將使得關節的運動速度在起點和終點處不連續，它也意味著需要產生無窮大的加速度，這顯然是不希望的。因此可以考慮在起點和終點處，用拋物線與直線連接起來，在拋物線段內，使用恒定的加速度來平滑地改變速度，從而使得整個運動軌跡的位置和速度是連續的。7.2.3用拋物線過渡的線性插值圖7.6利用拋物線過渡的線性函數插值圖27圖7.5線性函數插值圖7.2.3用拋物線過渡的線性插值28圖

多段帶有拋物線過渡的線性插值軌跡在實際應用中，雖然各路徑段采用拋物線過渡域的線性函數，但是機器人的運動關節并不能真正到達那些路徑點。即使選取的加速度充分大，實際路徑也只是十分接近理想路徑點。7.2.3用拋物線過渡的線性插值線性函數+兩段拋物線函數平滑地銜接在一起，形成帶有拋物線過渡域的線性軌跡。7.2.3用拋物線過渡的線性插值綜合上述式子，可得：（7.7）（7.8）（7.9）7.2.3用拋物線過渡的線性插值

當上式中的等號成立時，軌跡線性段的長度縮減為零，整個軌跡由兩個過渡域組成，這兩個過渡域在銜接處的斜率(關節速度)相等；

加速度

的取值愈大，過渡域的長度會變得愈短，若加速度趨于無窮大，軌跡又復歸到簡單的線性插值情況。用拋物線過渡的線性函數插值進行軌跡規劃的物理概念非常清楚，即如果機器人每一關節電動機采用等加速、等速和等減速運動規律。7.2.3用拋物線過渡的線性插值7.2.3用拋物線過渡的線性插值7.2.3用拋物線過渡的線性插值7.2.3用拋物線過渡的線性插值目前，在機器人運動分析中，面向關節空間的軌跡規劃方法被廣泛采用，它還可以把笛卡爾路徑點變換為相應的關節坐標，并用低次多項式內插這些關節點。這種方法的優點是計算較快，而且易于處理機器人手臂關節的動力學約束。但當取樣點落在擬合的光滑多項式曲線上時，面向關節空間的軌跡規劃方法沿笛卡爾路徑的準確性會有所損失。t關節角軌跡光滑θ▼關節空間函數的光滑性并不表示操作空間運動的光滑性7.2關節空間的軌跡規劃第七章機器人軌跡規劃7.3笛卡爾空間軌跡規劃法第七章機器人軌跡規劃

在關節空間內的規劃，可以保證運動軌跡經過給定的路徑點。但是在直角坐標空間，路徑點之間的軌跡形狀往往是十分復雜的，它取決于機械手的運動學機構特性。在有些情況下，對機械手末端的軌跡形狀也有一定要求，如要求它在兩點之間走一條直線，或者沿著一個圓弧運動以繞過障礙物等。這時便需要在直角坐標空間內規劃機械手的運動軌跡。

直角坐標空間的路徑點，指的是機械手末端的工具坐標相對于基坐標的位置和姿態。每一個點由6個量組成，其中3個量描述位置，另外3個量描述姿態。

在直角坐標空間內規劃的方法主要有：線性函數插值法和圓弧插值法。377.3笛卡兒空間規劃法例一個兩自由度機器人要求從起點(3,10)沿直線運動到終點(8,14)。假設路徑分為10段，求出機器人的關節變量。每一根桿的長度為9英寸。解：直角空間坐標系中直線方程為：7.3.1空間直線插補坐標和關節角插補：關節空間：已知初始和終止關節角通常采用三次多項式作為平滑函數操作空間：已知初始和終止末端位姿分直線插補和圓弧插補操作空間的直線軌跡插補方法如下：1）設定末端運動的速度v，加速度a，及插補的時間t，即機器人的伺服周期，通常為20ms。2）計算兩點之間的直線的距離7.3.1空間直線插補3）計算插補次數4）求得各插補點坐標值。5）應用運動學逆解算法求解各插補點的關節變量。7.3.1空間直線插補2023/11/11-41-平面圓弧插補平面圓弧是指圓弧平面與基坐標系的三大平面之一重合，以XOY平面圓弧為例。已知不在一條直線上的三點P1、P2、P3及這三點對應的機器人手端的姿態，如圖所示。

7.3.2圓弧插補

圖

由已知的三點P1、P2、P3決定的圓弧圖

圓弧插補2023/11/11-42-平面圓弧插補

圖

由已知的三點P1、P2、P3決定的圓弧7.3.2圓弧插補2023/11/11-43-平面圓弧插補

圖

由已知的三點P1、P2、P3決定的圓弧7.3.2圓弧插補2023/11/11-44-

平面圓弧插補

圖

由已知的三點P1、P2、P3決定的圓弧7.3.2圓弧插補2023/11/11-45-

空間圓弧插補

7.3.2圓弧插補

空間圓弧是指三維空間任一平面內的圓