四川省廣安市鄰水實驗學校2023-2024學年高二數學第一學期期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.2．下列橢圓中，焦點坐標是的是（）A. B.C. D.3．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.4．設雙曲線與橢圓：有公共焦點，.若雙曲線經過點，設為雙曲線與橢圓的一個交點，則的余弦值為（）A. B.C. D.5．拋物線的焦點到直線的距離（）A. B.C.1 D.26．已知函數，若，則（）A. B.0C.1 D.27．已知點，分別在雙曲線的左右兩支上，且關于原點對稱，的左焦點為，直線與的左支相交于另一點，若，且，則的離心率為（）A B.C. D.8．在三棱柱中，，，，則這個三棱柱的高（）A1 B.C. D.9．已知函數（是的導函數），則（）A.21 B.20C.16 D.1110．已知點P在拋物線上，點Q在圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.11．已知等差數列的公差，記該數列的前項和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.19812．展開式中第3項的二項式系數為（）A.6 B.C.24 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現決定在圓心O處設立一個水文監測中心（大小忽略不計），在其正東方向相距的點A處安裝一套監測設備．為了監測數據更加準確，在半圓弧上的點B以及湖中的點C處，再分別安裝一套監測設備，且，．定義：四邊形及其內部區域為“直接監測覆蓋區域”，設．則“直接監測覆蓋區域”面積的最大值為________14．已知等差數列是首項為的遞增數列，若，，則滿足條件的數列的一個通項公式為______15．若球的大圓的面積為，則該球的表面積為___________.16．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2+n，則an＝_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線，直線l與交于P、Q兩點（1）若點是雙曲線的一個焦點，求的漸近線方程；（2）若點P的坐標為，直線l的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率18．（12分）設數列的前項和，且成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）記數列前項和，求使成立的的最小值19．（12分）記是等差數列的前項和，若.（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的的最小值.20．（12分）已知函數（1）討論的單調性；（2）當時，證明21．（12分）“既要金山銀山，又要綠水青山”.濱江風景區在一個直徑為100米的半圓形花園中設計一條觀光線路（如圖所示）.在點與圓弧上的一點（不同于A，B兩點）之間設計為直線段小路，在直線段小路的兩側（注意是兩側）種植綠化帶；再從點到點設計為沿弧的弧形小路，在弧形小路的內側（注意是一側）種植綠化帶（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計）.（1）設(弧度)，將綠化帶總長度表示為的函數；（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大.(弧度公式：，其中為弧所對的圓心角)22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點，為的中點，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意設直線方程為，根據點在直線上求參數即可得方程.【詳解】由題設，令直線方程為，所以，可得.所以直線方程為.故選：A.2、B【解析】根據給定條件逐一分析各選項中的橢圓焦點即可判斷作答.【詳解】對于A，橢圓的焦點在x軸上，A不是；對于B，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，B是；對于C，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，C不是；對于D，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，D不是.故選：B3、A【解析】將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數學運算的能力，屬中檔題.4、A【解析】求出雙曲線方程，根據橢圓和雙曲線的第一定義求出的長度，從而根據余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設在第一象限，根據橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據余弦定理，故選：A5、B【解析】由拋物線可得焦點坐標，結合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線可得焦點坐標為，根據點到直線的距離公式，可得，即拋物線的焦點到直線的距離為.故選：B.6、D【解析】求出函數的導數，直接代入即可求值.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D.7、D【解析】根據雙曲線的定義及，，應用勾股定理，可得關系，即可求解.【詳解】設雙曲線的右焦點為，連接,,,如圖：根據雙曲線的對稱性及可知，四邊形為矩形.設因為，所以，又，所以，,在和中，，①，②由②化簡可得，③把③代入①可得：，所以，故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義，雙曲線的簡單幾何性質，勾股定理，屬于難題.8、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對值，則答案可求.【詳解】設平面ABC的法向量為，而，，則,即有,不妨令,則,故,設三棱柱的高為h，則,故選：D.9、B【解析】根據已知求出，即得解.【詳解】解：由題得，所以.故選：B10、C【解析】先計算拋物線上的點P到圓心距離的最小值，再減去半徑即可.【詳解】設，由圓心，得，∴時，，∴故選：C.11、A【解析】根據等差數列的公差，求得其通項公式求解.【詳解】因為等差數列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時，該數列的前項和取得最大值，最大值為，故選：A12、A【解析】根據二項展開式的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式中第3項，所以展開式中第3項的二項式系數為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，根據余弦定理得的值，則四邊形的面積表示為，再代入面積公式化簡為三角函數，根據三角函數的性質求解最大值即可.【詳解】在中，，，，，，則（其中），當時，取最大值，所以“直接監測覆蓋區域”面積的最大值.故答案為：.【點睛】解答本題的關鍵是將四邊形的面積表示為，代入面積公式后化簡得三角函數的解析式，再根據三角函數的性質求解最大值.14、，答案不唯一【解析】由，，可得，進而解得，然后寫出通項公式即可.【詳解】設數列的公差為d，由題可得，因為，，所以有，解得，只要公差d滿足即可，然后根據等差數列的通項公式寫出即可，我們可以取，此時.故答案為：，答案不唯一.15、【解析】設球的半徑為，則球的大圓的半徑為，根據圓的面積公式列方程求出，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】設球的半徑為，則球的大圓的半徑為，所以球的大圓的面積為，可得，所以該球的表面積為.故答案為：.16、2n【解析】根據數列的通項與前n項和的關系求解即可.【詳解】由題,當時,,當時.當時也滿足.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了根據數列的通項與前n項和的關系求通項公式的方法,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據題意可得，又因為且，解得，可得雙曲線方程，進而可得的漸近線方程（2）設直線的方程為：，，，聯立直線與雙曲線方程，可得關于的一元二次方程，由韋達定理可得，，再由兩點之間距離公式得，解得，進而由可求出，即可求得離心率.【小問1詳解】∵點是雙曲線的一個焦點，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；小問2詳解】設直線的方程為，且，，聯立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.18、(1).(2)10.【解析】（1）借助于將轉化為，進而得到數列為等比數列，通過首項和公比求得通項公式；（2）整理數列的通項公式，可知數列為等比數列，求得前n項和，代入不等式可求得n的最小值試題解析：（1）由已知，有，即從而又因為成等差數列，即所以，解得所以，數列是首項為2，公比為2的等比數列故（2）由（1）得．所以由，得，即因為，所以．于是，使成立的n的最小值為10考點：1．數列通項公式；2．等比數列求和19、（1）（2）4【解析】（1）根據題意得，解方程得，進而得通項公式；（2）由題知，進而解不等式得或，再根據即可得答案.【小問1詳解】設等差數列的公差為，由得=0,由題意知，，解得，所以d=2所以.小問2詳解】解：由（1）可得，由可得，即，解得或，因為，所以，正整數的最小值為.20、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求導得，進而分和兩種情況討論求解即可；（2）根據題意證明，進而令，再結合（1）得，研究函數的性質得，進而得時，，即不等式成立.【小問1詳解】解：函數的定義域為，，∴當時，在上恒成立，故函數在區間上單調遞增；當時，由得，由得，即函數在區間上單調遞增，在上單調遞減；綜上，當時，在區間上單調遞增；當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】證明：因為時，證明，只需證明，由（1）知，當時，函數在區間上單調遞增，在上單調遞減；所以.令，則，所以當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以.所以時，，所以當時，21、（1）；（2）.【解析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧長公式求出弧的長度，則可得函數；（2）利用導數可求得結果.【詳解】（1）如圖，連接在直角三角形中，所以由于則弧的長為（2）由（1）可知，令得，因為所以，當單調遞增，當單調遞減，所以當時，使得綠化帶總長度最大.【點睛】關鍵點點睛：仔細審題，注意題目中的關鍵詞“兩側”和“一側”是解題關鍵.22、（1）證明見解析（2）證明見解析