天津耀華嘉誠國際中學八年級上冊壓軸題數學模擬試卷含詳細答案一、壓軸題1．某校七年級數學興趣小組對“三角形內角或外角平分線的夾角與第三個內角的數量關系”進行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，請你寫出∠BQC與∠A的數量關系，并說明理由；（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點P，則∠BPC=゜，延長BC至點E，∠ECQ的平分線與BP的延長線相交于點R，則∠R=゜．2．在《經典幾何圖形的研究與變式》一課中，龐老師出示了一個問題：“如圖1，等腰直角三角形的三個頂點分別落在三條等距的平行線，，上，，且每兩條平行線之間的距離為1，求AB的長度”.在研究這道題的解法和變式的過程中，同學們提出了很多想法：（1）小明說：我只需要過B、C向作垂線，就能利用全等三角形的知識求出AB的長.（2）小林說：“我們可以改變的形狀.如圖2，，，且每兩條平行線之間的距離為1，求AB的長.”（3）小謝說：“我們除了改變的形狀，還能改變平行線之間的距離.如圖3，等邊三角形ABC三個頂點分別落在三條平行線，，上，且與之間的距離為1，與之間的距離為2，求AB的長、”請你根據3位同學的提示，分別求出三種情況下AB的長度.3．（閱讀材科）小明同學發(fā)現這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的項角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發(fā)現．（深入探究）（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．(將所有正確的序號填在橫線上)．（延伸應用）（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數量關系．4．問題情景：數學課上，老師布置了這樣一道題目，如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是BC的中點，且滿足∠ADE＝60°，DE交等邊三角形外角平分線于點E．試探究AD與DE的數量關系．操作發(fā)現：（1）小明同學過點D作DF∥AC交AB于F，通過構造全等三角形經過推理論證就可以解決問題，請您按照小明同學的方法確定AD與DE的數量關系，并進行證明．類比探究：（2）如圖2，當點D是線段BC上任意一點(除B、C外)，其他條件不變，試猜想AD與DE之間的數量關系，并證明你的結論．拓展應用：（3）當點D在線段BC的延長線上，且滿足CD＝BC，在圖3中補全圖形，直接判斷△ADE的形狀(不要求證明)．5．探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，若∠B＝30°，則∠ACD的度數是度；拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內部，點A、B分別在CM、CN上，分別過點A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分別為D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數；應用：如圖③，點A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內部，點D、E在射線CP上，連接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝度．6．在等腰中，,為邊上的高，點在的外部且，,連接交直線于點，連接．(1)如圖①，當時，求證：；(2)如圖②，當時，求的度數；(3)如圖③，當時,求證：．7．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動點在直線上時，以為一邊在的下方作等邊，連結．（1）求的度數；（2）若點在線段上時，求證：；（3）當動點在直線上時，設直線與直線的交點為，試判斷是否為定值？并說明理由．8．在中，若存在一個內角角度，是另外一個內角角度的倍（為大于1的正整數），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．（1）在中，，，則為________倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一個內角的度數是另外一個內角的余角的度數的，求的最小內角．（3）若是2倍角三角形，且，請直接寫出的最小內角的取值范圍．9．在中，，，是的角平分線，于點.（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）如圖2，點是線段上的一點（不與點重合），以為一邊，在下方作，交延長線于點.求證：；（3）如圖3，點是線段上的點，以為一邊，在的下方作，交延長線于點.直接寫出，與數量之間的關系.10．已知ABC，P是平面內任意一點（A、B、C、P中任意三點都不在同一直線上）．連接PB、PC，設∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y(tǒng)°．（1）如圖，當點P在ABC內時，①若y＝70，s＝10，t＝20，則x＝；②探究s、t、x、y之間的數量關系，并證明你得到的結論．（2）當點P在ABC外時，直接寫出s、t、x、y之間所有可能的數量關系，并畫出相應的圖形．11．對定義一種新運算，規(guī)定：（其中均為非零常數）．例如：．（1）已知．①求的值；②若關于的不等式組恰好有3個整數解，求的取值范圍；（2）當時，對任意有理數都成立，請直接寫出滿足的關系式．學習參考：①，即單項式乘以多項式就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的結果相加；②，即多項式乘以多項式就是用一個多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的結果相加．12．Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=60°，則∠1+∠2=；（2）若點P在線段AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關系為；（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？猜想并說明理由；（4）若點P運動到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？猜想并說明理由．13．如圖1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直線DE經過點C，過點A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分別為點D和E，AD=8，BE=6．（1）①求證：△ADC≌△CEB；②求DE的長；（2）如圖2，點M以3個單位長度/秒的速度從點C出發(fā)沿著邊CA運動，到終點A，點N以8個單位長度/秒的速度從點B出發(fā)沿著線BC—CA運動，到終點A．M，N兩點同時出發(fā)，運動時間為t秒(t＞0)，當點N到達終點時，兩點同時停止運動，過點M作PM⊥DE于點P，過點N作QN⊥DE于點Q；①當點N在線段CA上時，用含有t的代數式表示線段CN的長度；②當t為何值時，點M與點N重合；③當△PCM與△QCN全等時，則t=．14．已知，如圖1，直線l2⊥l1，垂足為A，點B在A點下方，點C在射線AM上，點B、C不與點A重合，點D在直線11上，點A的右側，過D作l3⊥l1，點E在直線l3上，點D的下方．（1）l2與l3的位置關系是；（2）如圖1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，則∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如圖2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分線，交BD于F，交AD于G．試說明：∠DGF＝∠DFG；（4）如圖3，若∠DBE＝∠DEB，點C在射線AM上運動，∠BDC的角平分線交EB的延長線于點N，在點C的運動過程中，探索∠N:∠BCD的值是否變化，若變化，請說明理由；若不變化，請直接寫出比值．15．如圖，在中，，，點為內一點，且．（1）求證：；（2）若，為延長線上的一點，且．①求的度數．②若點在上，且，請判斷、的數量關系，并說明理由．③若點為直線上一點，且為等腰，直接寫出的度數．16．在我們認識的多邊形中，有很多軸對稱圖形．有些多邊形，邊數不同對稱軸的條數也不同；有些多邊形，邊數相同但卻有不同數目的對稱軸．回答下列問題：（1）非等邊的等腰三角形有________條對稱軸，非正方形的長方形有________條對稱軸，等邊三角形有___________條對稱軸；（2）觀察下列一組凸多邊形（實線畫出），它們的共同點是只有1條對稱軸，其中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，仿照類似的修改方式，請你在圖1-4和圖1-5中，分別修改圖1-2和圖1-3，得到一個只有1條對稱軸的凸五邊形，并用實線畫出所得的凸五邊形；（3）小明希望構造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形，于是他選擇修改長方形，圖2中是他沒有完成的圖形，請用實線幫他補完整個圖形；（4）請你畫一個恰好有3條對稱軸的凸六邊形，并用虛線標出對稱軸．17．如圖，在中，，，點D在邊BC上運動（點D不與點重合），連接AD，作，DE交邊AC于點E．（1）當時，，（2）當DC等于多少時，，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數；若不可以，請說明理由．18．閱讀材料并完成習題：在數學中，我們會用“截長補短”的方法來構造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．解：延長線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據全等三角形的性質得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉化為等腰直角三角形EAC面積．（1）根據上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．（2）請你用上面學到的方法完成下面的習題．如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．19．如圖，在中，，過點做射線，且，點從點出發(fā)，沿射線方向均勻運動，速度為；同時，點從點出發(fā)，沿向點勻速運動，速度為，當點停止運動時，點也停止運動．連接，設運動時間為．解答下列問題：（1）用含有的代數式表示和的長度；（2）當時，請說明；（3）設的面積為，求與之間的關系式．20．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，BP=cm，CQ=cm．（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；（3）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？（4）若點Q以（3）中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次相遇？【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、壓軸題1．（1）122°；（2）；（3）；（4）119，29；【解析】【分析】（1）根據三角形的內角和角平分線的定義；（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用與表示出，再利用與表示出，于是得到結論；（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出與，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解；（4）根據（1），（3）的結論可以得出∠BPC的度數；根據（2）的結論可以得到∠R的度數．【詳解】解：（1）、分別平分和，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖2示，和分別是和的角平分線，，，又是的一外角，，，是的一外角，；（3），，，，，結論．（4）由（3）可知，，再根據（1），可得；由（2）可得：;故答案為：119，29．【點睛】本題考查了三角形的外角性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．2．（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）分別過點B，C向l1作垂線，交l1于M，N兩點，證明△ABM≌△CAN，得到AM=CN，AN=BM，即可得出AB；（2）分別過點B，C向l1作垂線，交l1于點P，Q兩點，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，證明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通過△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的長；（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，過B作l3的垂線，交l3于點P，過A作l3的垂線，交l3于點Q，證明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，從而得到PC，結合BP算出BC的長，即為AB.【詳解】解：（1）如圖，分別過點B，C向l1作垂線，交l1于M，N兩點，由題意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA，在△ABM和△CAN中，，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=；（2）分別過點B，C向l1作垂線，交l1于P，Q兩點，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=BM，NQ=NC，∵PB=1，CQ=2，設PM=a，NQ=b，∴，，解得：，，∴CN=AM==，∴AB===；（3）如圖，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，過B作l3的垂線，交于點P，過A作l3的垂線，交于點Q，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，，∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，，即，解得：NP=，∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，，即，解得：QM=，∴AM==CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=，在△BPC中，BP2+CP2=BC2，即BC=，∴AB=BC=.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線之間的距離，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質以及勾股定理，解題的關鍵是利用平行線構造全等三角形，再利用全等三角形的性質以及勾股定理求解.3．（1）證明見解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性質得出∠BAD=∠CAE，即可得出結論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對頂角和三角形的內角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進而得出∠AOE=60°，再判斷出BF＜CF，進而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結論；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正確，∠ADB=∠AEC，記AD與CE的交點為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點F，使OF=OC，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正確，連接AF，要使OC=OE，則有OC=CE，∵BD=CE，∴CF=OF=BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點睛】此題考查三角形綜合題，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，構造等邊三角形是解題的關鍵．4．（1）AD＝DE，見解析；（2）AD＝DE，見解析；（3）見解析，△ADE是等邊三角形，【解析】【分析】（1）根據題意，通過平行線的性質及等邊三角形的性質證明即可得解；（2）根據題意，通過平行線的性質及等邊三角形的性質證明即可得解；（3）根據垂直平分線的性質及等邊三角形的判定定理進行證明即可.【詳解】（1）如下圖，數量關系：AD＝DE.證明：∵是等邊三角形∴AB＝BC，∵DF∥AC∴，∠BDF＝∠BCA∴∴是等邊三角形，∴DF＝BD∵點D是BC的中點∴BD＝CD∴DF＝CD∵CE是等邊的外角平分線∴∵是等邊三角形，點D是BC的中點∴AD⊥BC∴∵∴在與中∴∴AD＝DE；（2）結論：AD＝DE.證明：如下圖，過點D作DF∥AC，交AB于F∵是等邊三角形∴AB＝BC，∵DF∥AC∴∴∴是等邊三角形，∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等邊的外角平分線∴∵∠ADC是的外角∴∵∴∠FAD＝∠CDE在與中∴∴AD＝DE；（3）如下圖，是等邊三角形.證明：∵∴∵CE平分∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵∴是等邊三角形.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質及判定，三角形全等的判定及性質，平行線的性質，垂直平分線的性質等相關內容，熟練掌握三角形綜合解決方法是解決本題的關鍵.5．探究：30；（2）拓展：20°；（3）應用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性質依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性質直接計算得出即可；（3）利用三角形的外角的性質得出結論，直接轉化即可得出結論．【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案為：30，（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案為120．【點睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質，三角形的外角的性質，垂直的定義，解本題的關鍵是充分利用直角三角形的性質：兩銳角互余，是一道比較簡單的綜合題．6．（1）見解析；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據等腰三角形三線合一的性質，可得AE垂直平分BC，F為垂直平分線AE上點，即可得出結論；（2）根據（1）的結論可得AE平分∠BAC，∠BAF=20°，由AB=AC=AD，推出，根據外角性質可得計算即可；（3）在CF上截取CM=DF，連接AM，證明△ACM≌△ADF（SAS），進而證得△AFM為等邊三角形即可．【詳解】（1）證明：∵AE為等腰△ABC底邊BC上的高線，AB=AC，，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE，∴AE垂直平分BE，F在AE上，；(2)，，，，由（1）知，AE平分∠BAC，，，故答案為：60°；(3)在CF上截取CM=DF，連接AM，由（1）可知，∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，，，，，在△ACM和△ADF中，∴△ACM≌△ADF（SAS），，，∴△AFM為等邊三角形，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，垂直平分線的性質，三角形全等的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．7．（1）30°；（2）證明見解析；（3）是定值，.【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質可以直接得出結論；（2）根據等邊三角形的性質就可以得出，，，，由等式的性質就可以，根據就可以得出；（3）分情況討論：當點在線段上時，如圖1，由（2）可知，就可以求出結論；當點在線段的延長線上時，如圖2，可以得出而有而得出結論；當點在線段的延長線上時，如圖3，通過得出同樣可以得出結論．【詳解】（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，；（3）是定值，，理由如下：①當點在線段上時，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線平分，即．②當點在線段的延長線上時，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，．③當點在線段的延長線上時，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，∵，．綜上，當動點在直線上時，是定值，．【點睛】此題考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定及性質，等邊三角形三線合一的性質，解題中注意分類討論的思想解題.8．（1）4；（2）的最小內角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解析】【分析】(1)根據三角形內角和定理求出∠C的度數，再根據倍角三角形的定義判斷即可得到答案；(2)根據△DEF是3倍角三角形，必定有一個內角是另一個內角的3倍，然后根據這兩個角之間的關系，分情況進行解答即可得到答案；(3)可設未知數表示2倍角三角形的各個內角，然后列不等式組確定最小內角的取值范圍．【詳解】解：(1)∵在中，，，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故為4倍角三角形；(2)設其中一個內角為x°，3倍角為3x°，則另外一個內角為：①當小的內角的度數是3倍內角的余角的度數的時，即：x=（90°-3x），解得：x=15°，②3倍內角的度數是小內角的余角的度數的時，即：3x=（90°-x），解得：x=9°，③當時，解得：，此時：=，因此為最小內角，因此，△DEF的最小內角是9°或15°或．(3)設最小內角為x，則2倍內角為2x，第三個內角為（180°-3x），由題意得：2x＜90°且180°-3x＜90°，∴30°＜x＜45°，答：△MNP的最小內角的取值范圍是30°＜x＜45°．9．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）結論：，證明見解析．【解析】【分析】（1）先根據直角三角形的性質得出，再根據角平分線的性質可得，然后根據三角形的判定定理與性質可得，最后根據等邊三角形的判定即可得證；（2）如圖（見解析），延長ED使得，連接MF，先根據直角三角形的性質、等邊三角形的判定得出是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質、角的和差得出，然后根據三角形全等的判定與性質、等量代換即可得證；（3）如圖（見解析），參照題（2），先證是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質、角的和差得出，然后根據三角形全等的判定與性質、等量代換即可得證．【詳解】（1）是的角平分線，在和中，是等邊三角形；（2）如圖，延長ED使得，連接MF，是的角平分線，是等邊三角形，即在和中，，即即；（3）結論：，證明過程如下：如圖，延長BD使得，連接NH由（2）可知，是等邊三角形，即在和中，，即即．【點睛】本題考查了直角三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、三角形全等的判定定理與性質等知識點，較難的是題（2）和（3），通過作輔助線，構造一個等邊三角形是解題關鍵．10．（1）①100；②x=y+s+t；（2）見詳解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的內角和定理即可解決問題；②結論：x=y+s+t．利用三角形內角和定理即可證明；（2）分6種情形分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案為：100．②結論：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之間所有可能的數量關系：如圖1：s+x=t+y；如圖2：s+y=t+x；如圖3：y=x+s+t；如圖4：x+y+s+t=360°；如圖5：t=s+x+y；如圖6：s=t+x+y；【點睛】本題考查三角形的內角和定理，三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．11．（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n【解析】【分析】（1）①構建方程組即可解決問題；②根據不等式即可解決問題；（2）利用恒等式的性質，根據關系式即可解決問題．【詳解】解：（1）①由題意得，解得，②由題意得，解不等式①得p＞-1．解不等式②得p≤，∴-1＜p≤，∵恰好有3個整數解，∴2≤＜3．∴42≤a＜54；（2）由題意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，∵對任意有理數x，y都成立，∴m=2n．【點睛】本題考查一元一次不等式、二元一次方程組、恒等式等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．12．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由詳見解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由詳見解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四邊形的內角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定義和三角形的內角和即可得出結論；(4)利用三角形的內角和和外角的性質即可得出結論．【詳解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根據四邊形的內角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案為：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根據四邊形的內角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案為：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如圖3，設DP與BE的交點為F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如圖4，設PE與AC的交點為G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案為∠2＝90°＋∠1－∠α．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了四邊形的內角和，三角形的內角和，三角形的外角的性質，平角的定義，解本題的關鍵是將∠1，∠2，α轉化到一個三角形或四邊形中，是一道比較簡單的中考常考題．13．（1）①證明見解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=【解析】【分析】（1）①先證明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性質得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①當點N在線段CA上時，根據CN＝CN?BC即可得出答案；②點M與點N重合時，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得t＝2即可；③分兩種情況：當點N在線段BC上時，△PCM≌△QNC，則CM＝CN，得3t＝10?8t，解得t＝1011；當點N在線段CA上時，△PCM≌△QCN，則3t＝8t?10，解得t＝2；即可得出答案．【詳解】（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①當點N在線段CA上時，如圖3所示：CN＝CN?BC＝8t?10；②點M與點N重合時，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得：t＝2，∴當t為2秒時，點M與點N重合；③分兩種情況：當點N在線段BC上時，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10?8t，解得：t＝；當點N在線段CA上時，△PCM≌△QCN，點M與N重合，CM＝CN，則3t＝8t?10，解得：t＝2；綜上所述，當△PCM與△QCN全等時，則t等于s或2s，故答案為：s或2s．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、直角三角形的性質、分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．14．（1）互相平行；（2）35，20；（3）見解析；（4）不變，【解析】【分析】（1）根據平行線的判定定理即可得到結論；（2）根據角平分線的定義和平行線的性質即可得到結論；（3）根據角平分線的定義和平行線的性質即可得到結論；（4）根據角平分線的定義，平行線的性質，三角形外角的性質即可得到結論．【詳解】解：（1）直線l2⊥l1，l3⊥l1，∴l(xiāng)2∥l3，即l2與l3的位置關系是互相平行，故答案為：互相平行；（2）∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE＝BCD，∵∠BCD＝70°，∴∠DCE＝35°，∵l2∥l3，∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案為：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠BCF+∠AGC＝90°，∵CD⊥BD，∴∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠AGC＝∠CFD，∵∠AGC＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG；（4）∠N:∠BCD的值不會變化，等于；理由如下：∵l2∥l3，∴∠BED＝∠EBH，∵∠DBE＝∠DEB，∴∠DBE＝∠EBH，∴∠DBH＝2∠DBE，∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，∵∠N+∠BDN＝∠DBE，∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，∴∠BDC＝2∠BDN，∴∠BCD＝2∠N，∴∠N:∠BCD＝．【點睛】本題考查了三角形的綜合題，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，平行線的判定和性質，角平分線的定義，正確的識別圖形進行推理是解題的關鍵．15．（1）證明見解析；（2）①；②，理由見解析；③7.5°或15°或82.5°或150°【解析】【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質即可證明；（2）①利用SSS證得△ADC≌△BDC，可求得∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=15°，即可解題；②連接MC，易證△MCD為等邊三角形，即可證明△BDC≌△EMC即可解題；③分EN=EC、EN=CN、CE=CN三種情形討論，畫出圖形，利用等腰三角形的性質即可求解．【詳解】（1）∵CB=CA，DB=DA，∴CD垂直平分線段AB，∴CD⊥AB；（2）①在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SSS），∴∠ACD=∠BCD=∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BDC=180-45°-15°=120°；②結論：ME=BD，理由：連接MC，∵，，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，由①得∠BDC=120°，∴∠CDE=60°，∵DC=DM，∠CDE=60°，∴△MCD為等邊三角形，∴CM=CD，∵EC=CA=CB，∠DMC=60°，∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，在△BDC和△EMC中，，∴△BDC≌△EMC（AAS），∴ME=BD；③當EN=EC時，∠=7.5°或∠==82.5°；當EN=CN時，∠==150°；當CE=CN時，點N與點A重合，∠CNE=15°，所以∠CNE的度數為7.5°或15°或82.5°或150°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．16．（1）1，2，3；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的性質、矩形的性質以及等邊三角形的性質進行判斷即可；（2）中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，在圖1-4和圖1-5中，分別仿照類似的修改方式進行畫圖即可；（3）長方形具有兩條對稱軸，在長方形的右側補出與左側一樣的圖形，即可構造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形；（4）在等邊三角形的基礎上加以修改，即可得到恰好有3條對稱軸的凸六邊形．【詳解】解：（1）非等邊的等腰三角形有1條對稱軸，非正方形的長方形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，故答案為1，2，3；（2）恰好有1條對稱軸的凸五邊形如圖中所示．（3）恰好有2條對稱軸的凸六邊形如圖所示．（4）恰好有3條對稱軸的凸六邊形如圖所示．17．（1）30，100；（2），見解析；（3）可以，或【解析】【分析】（1）根據平角的定義，可求出∠EDC的度數，根據三角形內和定理，即可求出∠DEC；（2）當AB=DC時，利用AAS可證明ΔABD?ΔDCE，即可得出AB=DC=3；（3）假設ΔADE是等腰三角形，分為三種情況討論：①當DA=DE時，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，