./10.1第一型曲線積分習題10.1設在面有一分布著質量的曲線弧,在點處它的線密度為。用第一型曲線積分分別表達這曲線弧對軸、對軸的轉動慣量解：這曲線弧的質心坐標解：計算下列第一型曲線積分：〔1其中為圓周解：〔2其中為連接及兩點的直線段。解：〔3其中為由直線及拋物線所圍成的區域的整個邊界。解：〔4其中為圓周,直線及軸在第一象限所圍成的扇形的整個邊界。解：〔5其中為曲線上相應于從變到的這段弧。解：〔6其中為折線,此處依次為點解：所以<7>其中為擺線的一拱解：〔8其中為曲線解：<9>其中為曲線解：<10>其中為圓周解：<11>其中為由三點所連接的閉折線。解：〔12其中為螺旋線解：〔13其中為拋物線自點到點的一段；解：〔14其中為擺線的弧；解：〔15其中為圓周解：求半徑為的半圓形金屬絲〔設線密度為常數對位于圓心的質點〔設質量為的引力。解：設圓心為原點,金屬絲占據上半圓周。則求物質曲線的質量,其線密度解：求半徑為,中心角為的均勻圓弧〔線密度的質心。解：設圓心在原點,關于軸對稱,則；設螺旋形彈簧一圈的方程為其中,它的線密度。求它關于軸的轉動慣量它的質心。解：〔1〔210.2第二型曲線積分習題10.2設為面直線上的一段。證明：證明：設則設為面軸上從點到點的一段直線。證明：證明：則計算下列第二型曲線積分：〔1其中為拋物線上從點到點的一段弧；解：〔2其中為圓周及軸所圍成的在第一象限的區域的整個邊界〔按逆時針方向繞行；解：圓周的參數方程為所以〔3其中為圓周上對應從到的一段弧；解：〔4其中為圓周〔按逆時針方向繞行；解：〔5其中為曲線上對應從到的一段弧；解：<6>其中為從點到點的一段直線；解：〔7其中為有向閉折線,此處依次為點解：〔8其中為拋物線上從點到點的一段弧；解：〔9其中為沿逆時針一周；解：<10>其中為如圖10.8由點到點的四條不同的路徑；解：〔11其中為如圖10.9的三角形；解：〔12其中為用平面截球面所得的截痕,從軸的正向看去,沿逆時針方向；解：〔13其中為曲線上由到的一段弧；解：計算其中為由點到點的下列四條不同路徑：直線解：拋物線解：拋物線解：立方拋物線解：計算其中分別為下列兩種情形：連接的直線段。解：連接的折線段。解：計算其中分別為下列兩種情形：〔1連接的直線段。解：〔2連接的折線段。解：計算其中為以為頂點的正方形閉路。解：計算其中為星形線在第一象限中自點到的一段。解：計算其中為依參數增加方向進行的曲線：解：計算其中,分別為下列兩種情形：〔1自到的直線段；〔2由直到的折線段。解：<1><2>計算其中為球面在第一卦限部分的邊界線由點至再至的一段。解：彈性力的方向向著坐標原點,力的大小與質點到坐標原點的距離成正比。設質點在力作用下沿橢圓依逆時針方向運動一周,求彈性力做的功。解：計算其中為圓周其方向為從軸正向看去,這圓周是沿逆時針方向進行的。解：設在光滑曲線上連續。試證下面的估計式：其中為積分路徑的長度,證明：計算其中分別為拋物線上從點到點的一段弧；解：從點到點的直線段；解：先沿直線從點到點,然后再沿直線到點的折線；解：曲線上從點到點的一段弧；解：一力場由沿橫軸正方向的恒力所構成。試求當一質量為的質點沿圓周按逆時針方向移過位于第一象限的那一段弧時場力所做的功。解：設軸與重力的方向一致,求質量為的質點從位置沿直線移到時重力所做的功。解：,把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分,其中為在面沿直線從點到點；解：沿拋物線從點到點；解：沿上半圓周從點到點；解：設為曲線上相應于從變到的曲線弧。把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分。解：切向量為,單位化為所以10.3格林公式及其應用習題10.3計算下列曲線積分,并驗證格林公式的正確性：〔1其中為由拋物線和所圍成的區域的正向邊界曲線；解：〔2其中為由四個頂點分別為和的正方形區域的正向邊界；解：利用曲線積分,求下列曲線所圍成的圖形的面積：星形線橢圓圓橢圓雙紐線計算曲線積分其中為圓周的方向為逆時針方向。解：,所以取則有計算下列曲線積分：〔1其中為擺線上對應從到的一段弧。解：設直線段,則〔2其中為上半圓周沿逆時針方向。解：設直線段,則證明下列曲線積分在整個面與路徑無關,并計算積分值：〔1解：易得,所以曲線積分在整個面與路徑無關,<2>解：易得,所以曲線積分在整個面與路徑無關,〔3解：易得,所以曲線積分在整個面與路徑無關,利用格林公式,計算下列曲線積分：〔1其中為三頂點分別為和的三角形正向邊界；解：<2>其中為正向星形線解：<3>其中為在拋物線上由點到的一段弧；解：記〔4其中為在圓周上由點到點的一段弧；解：記<5>其中為橢圓解：<6>其中為圓周解：<7>其中為的邊界,其中解：〔8其中為區域與的邊界；解：<9>其中為區域與的邊界；解：<10>其中為由點經至的上半圓周解：令,則設一變力為這變力確定了一個力場。證明質點在此場移動時,場力所做的功與路徑無關。證明：易得所以結論成立。計算曲線積分其中,,為任意的逐段光滑的曲線。解：易得,所以設是以逐段光滑曲線為邊界的平面有界閉區域,在上有連續的偏導數,則有關系式其中為曲線的外法向量的方向余弦。此公式是格林公式的另一種形式。證明：設正方向切向量為,則,于是曲線積分是否與路徑無關？若與路徑無關,求其原函數。并計算由點到的曲線上的積分。解：易得所以積分與路徑無關。設為封閉曲線,為任一固定的方向,則有其中為的外法線單位法向量。證明：設,則計算曲線積分其中為封閉曲線,為它的外法線方向。解：為曲線包圍的面積。證明：在整個平面除去的負半軸及原點的區域是某個二元函數的全微分,并求出一個這樣的二元函數。證明：易得結論成立。設在半平面有力構成力場,其中為常數,。證明：在此力場中場力所做的功與所取的路徑無關。證明：,所以結論成立。設函數在具有一階連續導數,是上半平面的有向分段光滑曲線,其起點為,終點為。記證明曲線積分與路徑無關；當時,求的值。證明：設則,所以曲線積分與路徑無關；〔216.驗證下列在整個平面是某一函數的全微分,并求這樣的一個：〔1解：。〔2解：〔3解：〔4解：〔5解：17.設有一變力在坐標軸上的投影為這變力確定了一個力場。證明質點在此場移動時,場力所做的功與路徑無關。證明：所以結論成立。18.判別下列方程中哪些是全微分方程？對于全微分方程,求出它的通解：〔1解：〔2為常數。解：〔3解：〔4解：〔5解：<6>解：不是全微分方程。〔7解：。<8>解：不是全微分方程。19.確定常數,使在右半平面上的向量為某二元函數的梯度,并求。解：可解得由積分得再由得所以20.設在閉區域上都具有二階連續偏導數,分段光滑的曲線為的正向邊界曲線。證明：〔1其中為的外法向的方向導數。〔2〔3<4>其中其中分別為沿的外法線向量的方向導數,符號稱作二維拉普拉斯算子。證明:〔1〔2,所以〔3相減即得〔421.設在有界閉區域上調和,即且在上滿足拉普拉斯方程。證明<1>其中為的邊界,為的外法線方向；〔2若在上取值為零,則在上恒為零。證明：〔1〔2所以,為常數,又因為邊界上為零,所以在上恒為零。10.4第一型曲面積分習題10.4設有一分布著質量的曲面,在點處它的面密度為,用第一型曲面積分表示這曲面對于軸的轉動慣量。解：計算曲面積分其中為拋物面在面上方的部分,分別如下：〔1解：<2>解：<3>解：計算其中為錐面及平面所圍成的區域的整個邊界曲面；解：錐面被平面和所截得的部分；解：計算下列對面積的曲面積分：〔1其中為平面在第一卦限中的部分；解：〔2其中為平面在第一卦限中的部分；解：〔3其中為球面上的部分；解：〔4其中為界于平面及之間的圓柱面解：另一解法：〔5其中為由平面及三個坐標平面所圍成四面體的整個邊界。解：求拋物面殼的質量,此殼的面密度為。解：求面密度為的均勻半球殼關于軸的轉動慣量。求均勻曲面的質心的坐標。解：計算其中為螺旋面解：所以計算其中為圓錐表面的一部分,其中為常數解：所以求一段均勻圓柱面與對原點處單位質量的引力〔面密度。解：10.5第二型曲面積分習題10.5設流體速度場為常數,一半徑為的球面球心在原點。求流體從球面部流出的流量。解：設流體速度場求單位時間流過曲面其中的流量,曲面的法向量與軸的夾角為鈍角〔圖10.28。解：設向量場求,其中由和組成〔圖10.29,為側的單位法向量。解：同3題,設向量場求其中由和組成,為側的單位法向量。解：計算下列第二型曲面積分：〔1其中為球面的下半部分的下側；解：〔2其中為柱面被平面及所截得的在第一卦限的部分的前側；解：〔3其中為連續函數,為平面在第四卦限部分的上側；解：〔4其中為平面所圍成的空間區域的整個邊界曲面的外側；解：〔5其中為曲面的下側；解：〔6其中,為球面的外側；解：〔7其中為球面的外側；解：〔8其中為錐面及平面所圍立體的整個邊界之外側；解：<9>其中為橢球面的外側；解：由輪換對稱性,得<10>其中為柱面被平面及所截部分的外側；解：〔11其中為圓錐面的外表面；解：〔12其中為的上半球面被柱面所截下部分的上側；解：<13>其中為螺旋面的上側；解：于是把第二型曲面積分化成第一型曲面積分,其中〔1為平面在第一卦限的部分的上側；解：法向量為單位化為,所以〔2為拋物面在面上方的部分的上側；解：法向量為單位化為,所以10.6高斯公式通量與散度習題10.6利用高斯公式計算曲面積分：〔1其中為平面所圍成的立體的表面的外側；解：〔2其中為球面的外側；解：〔3其中為上半球體的表面的外側；解：〔4其中為介于和之間的圓柱體的整個表面的外側；解：〔5其中為平面所圍成的立方體的全表面的外側；解：〔6其中為由柱面與平面所圍立體邊界的外側；解：〔7其中為錐面與部分的外側,為側的單位法向量；解：令,取上側,則〔8其中為橢球面的外側；解：,作變換得計算下列曲面積分：〔1其中為錐面的外側；解：設取上側,則<2>其中為半球面的上側；解：設取下側,則〔3其中為球面的外側；解：設取左側,取后側,則設是常向量,為任意的逐塊光滑閉曲面的外側,為側的單位法向量。證明證明：設,則計算其中,為球面外側單位法向量。解：計算其中為閉曲面外側單位法向量,閉曲面為下面三種情形：〔1解：〔2解：令取側。則〔3不包含原點的閉曲面。設是三維調和函數,即滿足且有二階連續的偏導數。證明〔1其中,為的外法向方向導數；證明：<2>若在邊界面上恒為零,則在區域上恒為零〔為的邊界面。證明：所以,為常值函數,而其在邊界上為零,所以在整個區域上為零。求下列向量穿過曲面流向指定側的通量：〔1其中為圓柱的全表面,流向外側；解：〔2其中為立方體的全表面,流向外側；解：〔3其中為以點為球心,半徑的球面,流向外側；解：〔4其中為閉區域的邊界曲面,流向外側。解：求下列向量場的散度：〔1解：〔2解：〔3解：設是兩個定義在閉區域上的具有二階連續偏導數的函數,依次表示沿的外法線方向的方向導數。證明其中為空間閉區域的整個邊界曲面。這個公式叫做格林第二公式。證明：所以利用高斯公式推證阿基米德原理：浸沒在液體中的物體所受液體的壓力的合力〔即浮力的方向鉛直向上,其大小等于這物體所排開的液體的重力。證明：建立坐標系,使液面為平面,軸豎直向上。設物體表面法向量為則這就是阿基米德原理。10.7斯托克斯公式環流量與旋度習題10.7利用斯托克斯公式,計算下列曲線積分：〔1其中為圓周若從軸的正向看去,這圓周是取逆時針方向；解：令為以圓周為邊界的圓盤,則〔2其中為橢圓若從軸正向看去,這橢圓是取逆時針方向；解：令為以橢圓為邊界的平面區域,則<3>其中為圓周若從軸正向看去,此圓周是取逆時針方向；解：令為以圓周為邊界的圓盤,則<4>其中為圓周若從軸正向看去,此圓周是取逆時針方向；解：令為以圓周為邊界的圓盤,則求下列向量場的旋度：〔1解：〔2解：〔3解：