赤潮藻類模型穩定性及混沌行為分析

1中骨折條藻生態動力學模型的穩定性研究赤潮是自然現象。隨著適當的條件下藻類的爆發性增加，其危害日益嚴重，造成巨大的經濟損失。對赤潮的成因研究已成為迫在眉睫的研究課題。而對于赤潮的生態動力學模型的研究則是最有效和最有希望的方法(GEOHAB2001)。本文根據對渤海灣歷年發生赤潮的數據進行分析綜合的基礎上,結合渤海灣的典型赤潮藻類-中肋骨條藻,考慮多方面因素的影響(營養物質,高等動物捕食,光照等)建立了以N,P,Z為變量的中肋骨條藻的生態動力學模型。利用現代非線性動力學理論對模型進行了穩定性的研究。發現:某些參數的變化可以致使變量發生分岔乃至混沌行為,在實際意義上,也就是導致了中肋骨條藻出現了爆發性的增長(赤潮的發生)。2藻類的食物模型根據中肋骨條藻赤潮發生時形成的營養物質-中肋骨條藻-浮游動物形成的一個簡單的食物鏈,利用多種群生態學原理,考慮了光照強度的影響,建立了渤海灣典型赤潮藻類中肋骨條藻的生態動力學模型方程式(1)。dΝdt=-Νe+Νab+cΡΡ+k(Ν0-Ν)dNdt=?Ne+Nab+cPP+k(N0?N)dΡdt=ε1Νe+Νab+cΡΡ-λ(1-e-αΡ)Ζ-(s+k)Ρ(1)dPdt=ε1Ne+Nab+cPP?λ(1?e?αP)Z?(s+k)P(1)dΖdt=ε2λ(1-e-αΡ)Ζ-dΖ2dZdt=ε2λ(1?e?αP)Z?dZ2式中:N(t)——營養物質,包括氮、磷等營養元素的濃度總和隨時間的變化;P(t)——中肋骨條藻密度隨時間的變化;Z(t)——浮游動物密度隨時間的變化。藻類的食物鏈模型結構如圖1。其他各參數意義及其取值范圍見表1。考慮浮游動物對藻類的消耗時,采用了HollingⅡ型Watt功能性反應方程(陳蘭蓀1988)。考慮光照對藻類生長的影響時,采用了Steele公式(Edwardsetc1999)。考慮營養物質對藻類的生長影響時,采用了米門公式(S.E,揚戈遜)。3定常狀態的穩定性根據模型方程的基本特征,注意到食物鏈模型中各元素的物理意義及在實際發生過程中相互影響、耦合。我們考慮運用Lyapunov運動穩定性理論來判斷變量各狀態的穩定性。首先求方程的平衡點,令方程(1)的左端為零,即得方程式(2)。{dΝdt=0dΡdt=0dΖdt=0(2)解方程(2)得模型方程的平衡點Q(N*,P*,Z*)。作坐標平移,令{u=Ν-Ν*v=Ρ-Ρ*w=Ζ-Ζ*令{dudt=f1(u,v,w)dvdt=f2(u,v,w)dwdt=f3(u,v,w)可得模型方程(1)的線性部分的Jacobin矩陣K為式(3)所示。[-aeΡ*(e+Ν*)2(b+cΡ*)-k-abΝ*(e+Ν*)(b+cΡ*)20ε1aeΡ*(e+Ν*)2(b+cΡ*)-(s+k)+ε1abΝ*(e+Ν*)(b+cΡ*)2-αλΖ*e-αΡ*-λ(1-e-αΡ*)0ε2αλΖ*e-αΡ*-2dΖ*+ε2λ(1-e-αΡ*)](3)下面分別考慮三種定常狀態的穩定性:(1)對于(N0,0,0),其物理意義對應于初始水平、藻類和浮游動物密度均為零,此時的Jacobin矩陣為:Κ=[-k-aΝ0b(e+Ν0)00-(s+k)+ε1aΝ0b(e+Ν0)0000]由穩定性理論,定常狀態的穩定性取決于所對應的Jacobin矩陣的特征值。對應于(N0,0,0),其三個特征值分別為:-k,Φ=-(s+k)+ε1aΝ0b(e+Ν0),0由于對應矩陣的特征值有一個為零,所以要利用中心流形定理對原方程進行降維處理。經過分析得到,當Φ=-(s+k)+ε1aΝ0b(e+Ν0)<0時,此狀態是穩定的,當Φ=-(s+k)+ε1aΝ0b(e+Ν0)>0時,此狀態是不穩定的。當Φ=-(s+k)+ε1aΝ0b(e+Ν0)=0時,此狀態對應的矩陣有兩個為零的特征值,此時將會發生余維2的跨臨界分岔。而對于所給定的所有參數在其變化范圍內。總有Φ>0,也就是說,定常狀態(N0,0,0)總是不穩定的,任何一個微小的擾動都會讓它偏離(N0,0,0)這個平衡位置,所以在實際的海域中,此種狀態是不可能穩定的存在。(2)對于(N*i,P*i,0),有兩種情況:(N*1,P*1,0)和(N*2,P*2,0):其中N*1,P*2由方程ckε1N2+[ε1a-b(s+k)+ckε1(e-N0)]N-[b(s+k)+ckε1N0]e=0求得:P*1,P*2由Ρ*1=bε1(Ν0-Νi*)s+k(i=1,2)求得。因為Ν*1Ν*2=-[b(s+k)+ckε1Ν0]eckε1<0所以兩根必異號,設N*1>0,N*2<0。對于N*2無實際意義,因此只考慮N*1。對應于(N*1,P*1,0),此時其Jacobin矩陣為式(4)。[-aeΡ*1(e+Ν*1)2(b+cΡ*1)-k-abΝ*1(e+Ν*1)(b+cΡ*1)20ε1aeΡ*1(e+Ν*1)2(b+cΡ*1)-(s+k)+ε1abΝ*1(e+Ν*1)(b+cΡ*1)2-λ(1-e-αΡ*)00ε2λ(1-e-αΡ*)](4)考慮其第三行,矩陣必有一特征值為ε2λ(1-e-αP*1)且定大于零,所以此狀態不穩定。(3)對于第三種定常狀態(N*,P*,Z*),也就是食物鏈中的三種主體都存在的情況,也是赤潮發生的基礎條件。此時,其Jacobin矩陣為式(5)。[-aeΡ*(e+Ν*)2(b+cΡ*)-k-abΝ*(e+Ν*)(b+cΡ*)20ε1aeΡ*(e+Ν*)2(b+cΡ*)-(s+k)+ε1abΝ*(e+Ν*)(b+cΡ*)2-aλΖ*e-αΡ*-λ(1-e-αΡ*)0ε2αλΖ*e-αΡ*-2dΖ*+ε2λ(1-e-αΡ*)](5)其中Ζ*=ε2λ(1-eαΡ*)d代入式(1)中的第一式和第二式可求得關于N*、P*的兩個高次方程,但是無法解出具體的表達式,因此下面借助于數值的方法對其穩定性和分岔情況進行探討。4n0中的混沌行為利用現代非線性分岔與混沌理論可以較好地解決復雜情況下系統狀態出現的失穩及突變現象,這與赤潮的產生密切相關。各參數采用表1中的默認值,可以算出初始條件(N,P,Z)=(0.4,0.1,0.05)。選取參數初始濃度N0作為分岔參數對系統進行研究,分別讓N0取不同的值進行分析。如圖2中(a)、(b)所示。對于圖2(a),當N0=0.8時,系統經過輕微的振蕩過程趨于穩定。對于圖2(b),當N0=2.0時,系統發生劇烈振蕩并且持久進行。由Hopf分岔理論可知,當N0在這個區間變化時,導致系統發生了Hopf分岔,系統從趨于一個穩定解變化為趨于一個極限環。當N0繼續變大時,系統將會出現更加復雜的情況以至于混沌的產生,此時,N0=6.0,其他參數取默認值,如圖3所示。導致混沌產生的途徑很多,可以通過倍周期分岔、切分岔以及有名的周期3意味著分岔。本系統混沌行為的產生途徑還有待去研究,這對于了解赤潮產生以至于最后控制赤潮都很有意義。至于赤潮的產生是因為分岔導致還是混沌的行為,至今尚無定論,有待于進一步研究。但有一點可以肯定,赤潮的爆發性增值肯定與系統的分岔和混沌行為有關,這是我們今后著重研究的方向。5對藻類