貴州省遵義航天高中2024屆高二數學第一學期期末復習檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數是偶函數且在上單調遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.2．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件4．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.5．如圖，P是橢圓第一象限上一點，A，B，C是橢圓與坐標軸的交點，O為坐標原點，過A作AN平行于直線BP交y軸于N，直線CP交x軸于M，直線BP交x軸于E.現有下列三個式子：①；②；③.其中為定值的所有編號是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，過點作軸的垂線與橢圓相交，其中一個交點為點(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.7．下列命題中的假命題是()A.若log2x<2,則0<x<4B.若與共線,則與的夾角為0°C.已知各項都不為零的數列{an}滿足an+1-2an=0,則該數列為等比數列D.點(π,0)是函數y=sinx圖象上一點8．五行學說是中華民族創造的哲學思想.古代先民認為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關系的概率是（）A. B.C. D.9．已知分別是雙曲線的左、右焦點，動點P在雙曲線的左支上，點Q為圓上一動點，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.510．隨機抽取甲乙兩位同學連續9次成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關于這9次成績，則下列說法正確的是（）A.甲成績的中位數為33 B.乙成績的極差為40C.甲乙兩人成績的眾數相等 D.甲成績的平均數低于乙成績的平均數11．已知△的頂點B，C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在BC邊上，則△的周長是（）A. B.C.8 D.1612．直線過點且與雙曲線僅有一個公共點，則這樣的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓x2+=1上的點到直線x+y-4=0的距離的最小值為_________.14．如圖，將一個正方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的體對角線長為___________.15．已知向量，，若與垂直，則___________.16．圓錐的母線長為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的側面積大小為____________.(結果保留)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正方體中，為的中點，點在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值18．（12分）已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，點在拋物線C上（1）求拋物線C的方程；（2）過拋物線C焦點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若求直線l的方程19．（12分）已知函數圖像在點處的切線方程為.（1）求實數、的值；（2）求函數在上的最值.20．（12分）已知圓的圓心在第一象限內，圓關于直線對稱，與軸相切，被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若點，求過點的圓的切線方程.21．（12分）已知圓，點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線交直線于點，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點，動圓，且點在圓外，過點作圓的兩條切線分別交曲線于點，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點，且時，求直線的方程.22．（10分）設等差數列的前項和為，已知.（1）求數列的通項公式;（2）當為何值時，最大，并求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析可知函數在上為增函數，且有，將所求不等式變形為，可得出關于實數的不等式，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】因為函數是偶函數且在上單調遞減，則該函數在上為增函數，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.2、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C3、D【解析】根據充分條件、必要條件的判定方法，結合不等式的性質，即可求解.【詳解】由，可得，即，當時，，但的符號不確定，所以充分性不成立；反之當時，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.4、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B5、D【解析】根據斜率的公式，可以得到的值是定值，然后結合已知逐一判斷即可.【詳解】設，所以有，，因此，所以有，，，，，，故，，.故選：D【點睛】關鍵點睛：利用斜率公式得到之間的關系是解題的關鍵.6、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A7、B【解析】四個選項中需要分別利用對數函數的性質，向量共線的定義，等比數列的定義以及三角函數圖像判斷，根據題意結合知識點，即可得出結果.【詳解】選項A，由于此對數函數單調遞增，并且結合對數函數定義域，即可求得結果，所以是真命題；選項B，向量共線，夾角可能是或，所以是假命題；選項C，將式子變形可得，符合等比數列定義，所以是真命題；選項D，將點代入解析式，等號成立，所以是真命題；故選B.【點睛】本題考查命題真假的判定，根據題意結合各知識點即可判斷真假，需要熟練掌握對數函數、等比數列、向量夾角以及三角函數的基本性質.8、C【解析】先計算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數，再計算其中兩種元素恰是相生關系的基本事件數，利用古典概型概率公式，即得解【詳解】由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個基本事件，其中兩種元素恰是相生關系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個基本事件，所以所求概率.故選：C9、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當，，三點共線時，最小，最小值為，而，所以故選：A10、D【解析】按照莖葉圖所給的數據計算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績為：11，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數為32，眾數為32，平均數為；乙的成績為：10，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數為42，平均數為；由以上數據可知，A錯誤，B錯誤，C錯誤，D正確；故選：D.11、D【解析】根據橢圓定義求解【詳解】由橢圓定義得△的周長是，故選：D.12、C【解析】根據直線的斜率存在與不存在，分類討論，結合雙曲線的漸近線的性質，即可求解.【詳解】當直線的斜率不存在時，直線過雙曲線的右頂點，方程為，滿足題意；當直線的斜率存在時，若直線與兩漸近線平行，也能滿足與雙曲線有且僅有一個公共點.綜上可得，滿足條件的直線共有3條.故選：C.【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系，以及雙曲線的漸近線的性質，其中解答中忽視斜率不存在的情況是解答的一個易錯點，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想的應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設與直線x+y-4=0平行的直線方程為,求出即得解.【詳解】解：設與直線x+y-4=0平行的直線方程為,所以，代入橢圓方程得，令或.當時，平行線間的距離為；當時，平行線間的距離為.所以最小距離為.故答案為：.14、.【解析】先根據棱錐的體積求出正方體的棱長，進而求出正方體的體對角線長.【詳解】如圖，連接，設正方體棱長為，則.所以，體對角線.故答案為：.15、【解析】根據與垂直，可知，根據空間向量的數量積運算可求出的值，結合向量坐標求向量模的求法，即可得出結果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.16、【解析】由題設知：圓錐的軸截面為等邊三角形，進而求圓錐的底面周長，由扇形面積公式求圓錐的側面積大小.【詳解】由題設，圓錐的軸截面為等邊三角形，又圓錐的母線長為2，∴底面半徑為1，則底面周長為，∴圓錐的側面積大小為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出，即可證得結論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則、、、，由得點的坐標為，，，因為，所以與不垂直，所以與平面不垂直【小問2詳解】解：設，則，，因為平面，所以，所以，得，且，即，所以，，設平面的法向量為，由，取，可得，因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為18、（1）（2）或【解析】(1)把點的坐標代入方程即可；(2)設直線方程，解聯立方程組，消未知數，得到一元二次方程，再利用韋達定理和已知條件求斜率.【小問1詳解】因為拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，所以設拋物線方程為又因為點在拋物線C上，所以，解得，所以拋物線的方程為；【小問2詳解】拋物線C的焦點為，當直線l的斜率不存在時，，不符合題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，設直線l交拋物線的兩點坐標為，，由得，，，，由拋物線得定義可知，所以，解得，即，所以直線l的方程為或19、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲線在的值以及切線斜率容易確定a與b的值；根據導數很容易確定函數單調區間以及極值點.【小問1詳解】，，，由于切線方程是，當x=1時，y=-8，即，即=-8……①；又切線的斜率為-12，∴……②；聯立①②得.【小問2詳解】由（1）得：，；當時，，導函數圖像如下：在時，單調遞增，時，單調遞減，時單調遞增；∴在x=-1有極大值，x=3有極小值；在區間內：在x=-1有最大值；在x=3有最小值.20、（1）（2）或【解析】（1）結合點到直線的距離公式、弦長公式求得，由此求得圓的方程.（2）根據過的圓的切線的斜率是否存在進行分類討論，結合點到直線的距離公式求得切線方程.【小問1詳解】由題意，設圓的標準方程為：，圓關于直線對稱，圓與軸相切：…①點到的距離為：，圓被直線截得的弦長為，，結合①有：，，又，，，圓的標準方程為：.【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，滿足題意當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，則方程為.又圓C的圓心為，半徑，由，解得.所以直線方程為，即即直線的方程為或.21、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解析】（1）通過幾何關系可知，且,由此可知點的軌跡是以點、為焦點，且實軸長為的雙曲線，通過雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設點，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯立利用韋達定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線方程.【小問1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據雙曲線的定義可知，點的軌跡是以點、為焦點，且實軸長為的雙曲線，即，，，則點的軌跡方程為；【小問2詳解】（i）設點，，直線的方程為，聯立得，其中，且，，，∵曲線上