建立以0點為原點的平面坐標系其中"廣0dE建立以0點為原點的平面坐標系其中"廣0dEx4兀￡Ro產XdB八人J6cos6=4兀￡R0■n-6n4n&R—6 0靜電學計算題127、一個半徑為R的均勻帶電圓弧，弧心角為a=60°，電荷線密度為入求環心0處的電場強度和電勢.則dE=言-4脆R20兀4兀￡R124兀￡R12sn6128、將一無限長帶電細線彎成圖示形狀，設電荷均勻分布，電荷線密度為人，四分之一圓弧AB的半徑為R，試求圓心0點的場強.取電量元dq取電量元dq=%Rd6，其電場強度元為dE=dE=人Rd64nsR20建立如圖所示的坐標系’因為Ey=o建立如圖所示的坐標系’因為Ey=odEXdO 八 cos64nsR0弭入d6 "2故E=—J4 cos6= n4nsR 4nsR129、帶電細線彎成半徑為R的半圓形，電荷線密度為人=扁sin。，式中扁為一常數，。為半徑R與乂軸所成的夾角，如圖所示.試求環心。處的電場強度和電勢.dE Xdl 入sin中d中4nsR2 4nsR0 0dE/dEcosp 考慮到電荷分布的對稱性 Ex=0dE=dEsinp e=jdEsin?」兀氣加抑何=方向沿>軸負向y y 0 4nsR 8sR130、真空中兩條無限長直的相互平行的均勻帶電線，相距為,、電荷線密度均為久。建立適當的坐標系，求（1）兩線構成的平面上任一點的電場強度；（2）單位長度帶電線所受的電場力。入r-2x在兩線外電場強度為:入入r-2x在兩線外電場強度為:入r+2x———i)￡x(r+x)單位長度帶電線所受的電場力F=（說明力的方向）設場點距帶電線面，則在兩線內電場強崢E=云e/；131、一無限長直均勻帶電線，單位長度的帶電量為人，求在帶電線同側與該帶電線距離分別為R1,R2的兩點A、B之間的電勢差。（A、B與帶電線共面）。解：因為場強分布E=久，所以u=jEdr=“圣匚=上ln鳥_2花0r r2兀％r2兀％R1132、面積為S的平行板電容器，兩板間距為也求：（1）插入厚度為d/3，相對介電常數為r的電介質，其電容量變為原來的多少倍？（2）插入厚度為d/3的導電板，其電容量又變為原來的多少倍？解：（1）真空電容器c=￡/，內部場強E=Q，電介質內部場強廠 _Q則c=Q=3￡則c=Q=3￡0￡rS=3￡rcU 2d￡+d1+2￡ 0插入電介質兩極電勢差u=Q.2d+-^.d￡S3 ￡￡S30 0r（2）插入厚度為g■的導電板，可看成是兩個電容的串聯，則c=c=3￡點，得c=cCi3 1 2d c1+c2133、三平行金屬板A.B、和C，面積都是200cm2,AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，B、C兩板都接地，如圖所示。若A板帶正電3.0X10-7C，略去邊緣效應，求B板和C板上感應電荷。若以地的電勢為零，求A板電勢。(1) uc=UB，解：如題圖示,令5左側面電荷面密度加1(1) uc=UB，即…Eacdac=EabdAB；，，￡r==、=2，

氣 Eabdac得°=qA,°=~^~a。而q=-°S=-2q=-2x10-7C。q=~°S=TxUC2 3S 1 3S c13a B2(2)UA=EcdAc=^TdAc=2.3x103V0

134、計算如圖所示長和寬均遠大于間距的平行板電容器的電容.134與132題重復，建議更改為下題134、圖示一球形電容器，在外球殼的半徑b及內外導體間的電勢差U維持恒定的條件下，內球半徑a為多大時才能使內球表面附近的電場強度最小？求這個最小電場強度的大小.解：E= 4nsr2U=jbE?dr=a\ba4旋r204ns0abU=jbE?dr=a\ba4旋r204ns0ab八4nsUabQ—~b—arUab所以E— (b一a)r2要使內球表面附近的電場強度最小必須滿足一—0

da此時E=4U

b135、圖示為一個均勻帶電的球殼，其電荷體密度為p,球殼內表面半徑為R1無窮遠處為電勢零點，求空腔內任一點的電勢.解：空腔內任一點的場強E]=0rYRt帶電球殼上的一點4/ 。、p兀(r3—R3)3' /p(r3—R3)E= 2 4兀8r20 T38r20R1YrYR2外表面半徑為R2.設帶電球殼外部空間“E4P一兀(R3—R3)3 4兀8r20p(R3—R3)2 138r2

03—R3) pdr=?(R2—R2)28 2 10則空腔內任一點的電勢u=&.drJE?dr3—R3) pdr=?(R2—R2)28 2 101 2 r1 0 2 0136、一電量為q的點電荷位于導體球殼中心，殼的內外半徑分別為R1、R2.求球殼內外和球殼上場強和電勢的分布并畫出E⑴和W）曲線.

當r>R2時:137、半徑為人〔的導體球，被一與其同心的導體球殼包圍著，其內外半徑分別為R2、R3，使內球帶電量q,球殼帶電量Q,試求：1）電勢分布的表示式；2）用導體連接球和球殼后的電勢分布；3）外球殼接地后的電勢分布。137與142題重復，建議更改為138、如圖所示，在半經分別為R1^R2的兩個同心球面上，分別均勻地分布著電荷Q和-Q,求兩球面間的電勢差。139、一半徑為R的半球面，均勻地帶有電荷，電荷面密度為e求：球心0處的電場強度。將半球面看做無數帶電圓環組成，每個圓環對場點產生dE,則E=jEscos0=Ej?sin0cos0d0=^-"匕" ％0 %運用高斯定理，得rYR140、半徑為R的球體內，分布著電荷體密度p=kr，式中r是徑向距離，k運用高斯定理，得rYRrARErARE=-kR338r0380141、在半徑為人〔的金屬球之外包有一層均勻介質層（見圖），外半徑為R2。設電介質的相對電容率為8r，金屬球的電荷量為Q。求：（1）介質層內、外的場強分布；（2）介質層內、外的電勢分布；（3）金屬球的電勢。解：利用有介質時的高斯定理J解：利用有介質時的高斯定理Jd.d,=Z(1) 介質內(R1VrVR「場強：d=Qre= Qr ;4nr3內4n88r3介質外(rVR「場強： d=Qr君=Qr4nr3'外4n8r3o(2)介質外(r>R)電勢U=”E.dr=_Q_，介質內(RVrVR)電勢2 廣外4兀80r 1 2U="E.dr+"E.dr =q(1_1)+Q=Q仁+^^^r內 r外 4兀88rR 4兀8R 4n88rR(3)金屬球的電勢 °r2 °2 °r2

U=“E-dr+"E-dr=JR —+卜Qd=Q（1+'『1）r內r外 R4兀￡￡r2R4兀￡r2 4兀88RR1 2 0r 2 0 0r1 2142、半徑為人〔的導體球，被一與其同心的導體球殼包圍著，其內外半徑分別為R2、R3，使內球帶電量q,球殼帶電量Q,試求：電勢分布的表示式；用導體連接球和球殼后的電勢分布；外球殼接地后的電勢分布。143、有兩個無限長同心金屬圓筒，內圓筒入的半徑為R1，外圓筒B的半徑為R2，在內圓筒上每單位長度有正電荷人，在外圓筒單位長度上有等量的負電荷，試求兩圓筒間的電勢差Uar和電容C。AB解：兩金屬圓筒間場強分布E=二，則U=jR2-^dr=土lnR—2礎r AB R12兀￡0r 2兀￡0 R1。一一RC=之=2兀￡ln「U0R2穩恒磁場計算題穩恒磁學計算題144、如下圖所示，AB、CD為長直導線BC為圓心在。點的一段圓弧形導線，其半徑為R.若通以電流［，求。點的磁感應強度. 144如下圖所示，ABCD為長導線，8仁段為圓心在。點的一段圓弧形導線，其半徑為R若通以電流I，求（1）。點的磁感應強度?（2）若在。點放置一充分小平面單匝閉合線圈，面積為S，通以I/2的電流，計算該線圈所受的安培力和最大安培力矩。解：將載流導線分成三段，標號如圖。則解：將載流導線分成三段，標號如圖。則（1）B1=（1）B1=0（1分），向外。（2分）~0—，向外（2分）122R 24R向外分K1（sin1-sin蘭）=M

4s3R/2 2 4 12兀RB=B+B+B=-^X（2、；3+兀）（3分）1 2 3 24兀R

(2)F=0(1分)Mm廣蜻Q容+兀）（加145、如圖所示，一載流導線中間部分被彎成半圓弧狀，其圓心點為0,圓弧半徑為R。若導線的流過電流/，求圓心。處的磁感應強度。146、載流體如圖所示，求兩半圓的圓心點？處的磁感應強度。取定方向垂直紙面向里，根據畢奧薩法爾定律，有取定方向垂直紙面向里，根據畢奧薩法爾定律，有147、在真空中，有兩根互相平行的無限長直導線相距0.1m，通有方向相反的電流，I]=20A,I2=10A，如圖所示.試求空間磁感應強度分布，指明方向和磁感應強度為零的點的位置.148、圖中所示是一根很長的長直圓管形導體的橫截面，內、外半徑分別為Q、b，導體內載有沿軸線方向的電流I，電流均勻地分布在管的橫截面上?設導體的磁導率R0,試計算導體空間各點的磁感應強度。149、如圖所示，一根無限長直導線，通有電流I，中部一段彎成圓弧形，求圖中。點磁感應強度的大小。150、一根同軸電纜由半徑為R1的長圓柱形導線和套在它外面的內半徑為R2、外半徑為^3的同軸導體圓筒組成，如圖所示，傳導電流沿導線向上流去，由圓筒向下流回，在它們的截面上電流都是均勻分布的，求同軸電纜內外各處的磁感應強度的大小。151、有電流Z的無限長導線折成如圖的形狀，已知圓弧部分的半徑為R，試求導線在圓心。處的磁感應強度矢量B的大小和方向？152、長直載流導線通以電流I，其旁置一長為m、寬為n的導體矩形線圈。矩形線圈與載流導線共面，且其長邊與載流導線平行（兩者相距為a），（1）求該線圈所包圍面積內的磁通量；（2）若線圈中也通以電流I，求此載流線圈所受的合力。153、無限長載流導線七與直線電流&共面，幾何位置如圖所示.試求載流導線&受到電流七磁場的作用力.153如圖3-3，無限長直線電流I與直線電流I共面，幾何位置如圖所示.試求直線電流I受到電流I磁場的作用力.1 2 2 1日I1 解：磁場分布B（尸）=布，電流兀受力dF=IdlB（r）=%Adl2nr i 2兀r而dl=dr/COS60=2dr則dF=IdlB（r）=Wrdr2 兀r結果bu11u11b結果F=JIdlB(r)=Jb0ftdr=0rTln(—)2 a兀r 兀a154、無限長載流導線七與直線電流&共面且垂直，幾何位置如圖所示.計算載流導線&受到電流七磁場的作用力和關于

。點的力矩;試分析&施加到11上的作用力.解：在ab上取dr，它受力dF1ab向上，大小為dF=Idr。點的力矩;試分析&施加到11上的作用力.ddF對O點力矩dM=rxFdM方向垂直紙面向外，大小為dM=*=蚪dr兀bu11bu11M=JbdM=^2i2Jbdr=，^12(b-a)施加到I]上的作用力不等于11施加到72上的作用力。解： FB=IAIdxB方向垂直AB向左F=jCIdrxB方向垂直解： FB=IAIdxB方向垂直AB向左F=jCIdrxB方向垂直AC向下，大小為ACA2F=j*IdrU4=%44In5AC22nr 2兀d同理F方向垂直BC向上，大小F=jd+a[⑴異1BC BLd22兀rdl=dr

cos450F=jd+auoI2I1drBCa2兀rcos450uIId+a='()T「2In ■-2兀 d線圈平面與磁場方向平行.如圖所示，使線(3)從所在位置轉到線圈平面與磁場垂直時156、邊長為Z=0.1m的正三角形線圈放在磁感應強度B=1T的均勻磁場中，圈通以電流7=10A，求：線圈每邊所受的安培力；對O。/軸的磁力矩大小;線圈平面與磁場方向平行.如圖所示，使線(3)從所在位置轉到線圈平面與磁場垂直時磁力所作的功.TOC\o"1-5"\h\z、解：(1)Fbc=IlxB=0r 、 rF=IlxB方向1紙面向外，大小為F=IlBsin1200=0.866Nr 、 rF=IlxB方向1紙面向里，大小F=IlBsin1200=0.866N一― ■,..... 一-⑵Pm=ISM=P^xB沿OO方向，大小為M=ISB=^~~~B=4.33x10-2 N*m(3)磁力功A=I(①2-也) ?.?①]=0 %=f12BAA=12B=4.33x10-2J157、一平面塑料圓盤，半徑為R，表面帶有面密度為^剩余電荷.假定圓盤繞其軸線AA'以角速度①(rad?s-】轉M_兀b?R4B動，磁場B的方向垂直于轉軸AA'.試證磁場作用于圓盤的力矩的大小為=4 .（提示：將圓盤分成許多同心圓環來考慮.）—解：取圓環dS=2兀rdr，它等效電流dI=皿=4dq_^ES-grdrT2兀一2兀等效磁矩dP=nr2dI=兀們63dr

m、 、 、受到磁力矩dM=dpxB，方向上紙面向內，大小為dM=dPxB=兀3。r3drBM=jdM=nwoBjRr3dr=0158、在磁感應強度為B的均勻磁場中，垂直于磁場方向的平面內有一段載流彎曲導線，電流為I，如圖所示.建立適當的坐標系，求其所受的安培力.159、如圖所示，在長直導線內通以電流I1=20A，在矩形線圈中通有電流I2=10A，兩者共面，且矩形線圈之縱邊與長直導線平行.已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0cm，求：（1）長直導線的磁場對矩形線圈每邊所作用的力；（2）矩形線圈所受合力和合力矩.電磁感應計算題160、兩相互平行無限長的直導線，流有大小和方向如圖所示的電流，金屬桿CD與兩導線保持共面，相對位置如圖。桿以速度。沿著平行于直載流導線的方向運動，求：桿中的感應電動勢，并判斷兩端哪端電勢較高？「八一一「「U3/u u2Iv ] 3uIaUIb解.e=JD(VxB)-dl=Ja—% + % dr="0In-^oInCDC a 2兀r 2兀(a+b+c—r) 2兀 a+c兀b+c161、如圖所示，AB、CD為兩均勻金屬棒，有效長度均為1m，放在B=4T、方向垂直紙面向里的均勻磁場中.AB、CD可以在平行導軌上自由滑動.當兩棒在導軌上分別以％=4m/s,々=2m/s的速度向右作勻速運動時，求：ABCD導體框中，電動勢的大小及感應電流的方向.解：e=vBL=16(V)eba=v2BL=8(V)e=e+e=16—8=8(V) 方向順時針XXXXXXXX專XXXXXXXXXXXXXXX專XXXXXXXX—X*X1XXXXX162、如圖所示，長直導線中通有電流1=0.3A，在與其相距6=0.6cm處放有一矩形線圈，共1000匝，設線圈長l=3cm，寬a=3cm。不計線圈自感，若線圈以速度。=5m/s沿垂直于長導線的方向向右運動，線圈中的感生電動勢多大？解：e=jVxb)dl=NvBl=Nvl~ode2=jVxB)dl=Nvl2"/弓)e=ef=NvlU。' a =1，25x10-5(V) 方向順時針1 2 2兀d(a+d)

163、真空中的兩條無限長直導線平行放置，一載流導體環（半徑為R）與兩導線共面放置，如圖所示。（1）求。點之磁感應強度（2）若圓環以勻速率。鉛直向上運動，求其上的動生電動勢。c日I日I解⑴B=2X況方R=茄方向垂直紙面向夕卜（2）根據法拉第電磁感應定律，因為磁通量不變，所以￡=0由于磁場分布規律B（r）=164、電流為/的無限長直導線旁有一弧形導線，圓心角為120O幾何尺寸及位置如圖所示。求當圓弧形導線以速度。平行于長直導線方向運動時，弧形導線中的動生電動勢。由于磁場分布規律B（r）=解：構造閉合回路ABCDA，依據電磁感應定律，閉合回路動生電動勢為0,因而口I,口I 口/口Iv201，貝ijd8-v■^^―dr，得到8 =J^v20-dr=—ln(2.5)說明電勢指向165、導線AB長為Z，繞過。點的垂直軸以勻角速①轉動，AO=l/3,磁感應強度B