應力強度因子數值計算方法綜述《斷裂與損傷力學》大作業一應力強度因子數值計算方法綜述目錄TOC\o"1-3"\h\z\u36971邊界元法 應力強度因子數值計算方法綜述應力強度因子分析是斷裂力學的重要內容之一。一方面要根據構件的幾何形狀、裂紋尺寸、結構的材料和受載方式去計算構件的、和值。另一方面，當用標準試樣測定材料斷裂韌性時，先要確定試件應力強度因子標定公式。過去四十年內，已經發展了很多有效的確定應力強度因子方法。這些方法總體上可以分為三類：解析法、數值解法和實驗方法。對于三維裂紋問題和幾何形狀比較復雜的二維裂紋問題，往往要用數值解法。本文將介紹裂紋尖端應力強度因子的一些主要數值計算方法，并闡述了每種數值算法的原理、適用范圍以及優缺點等。1邊界元法通過適當方法（變分法、功的互等定理與加權余量法），可將彈性力學平面問題歸結為求解如下積分方程（無體力情況）：（1-1）（1-2）式（1-2）是無限域內平面問題的基本解。他們的物理意義是：表示在P點沿x方向作用一單位集中力，在R點沿y方向產生的位移；表示在P點沿x方向作用一單位集中力，在R點沿y方向引起的位移；其他帶“*”號的符號有類似的物理意義。式（1-2）中的r是P與R之間的距離（1-3）式中，（x,y）是P點的坐標；是R點的坐標見圖。在式中，P點在邊界上，R點在邊界C內；但是在式（1-1）中，R點趨于邊界上的點，即，。需要注意，式（1-1）中是無體積力情況下的邊界積分方程；當存在體積力時，積分方程要加一項面積分。邊界積分方程（1-1）的精確解很難得到，必須進行數值計算。數值計算的方法是將邊界積分方程離散化，劃分邊界C為M個單元，用各單元上的節點參數（位移和力）來表示單元上的相應量。例如，邊界C被劃為個單元，單元的節點取為，如圖1-2所示。最簡單的情況是講各單元上節點的位移和力近似為常數，則邊界積分方程（1-1）寫成（1-4）類似地得到的表達式。圖1.1圖1.2由式（1-4）看出，對于每個節點可得兩個線性代數方程，如果有M個節點，就得到2M個方程的代數方程組。若要有解，在邊界上只能有2M個未知量。事實上，對于平面問題，無論在位移邊界上或在力的邊界上，邊界上每個節點只有兩個未知數；或者是兩個位移分量，或者是兩個力的分量。因此，在M個節點上恰好有2M個未知量，問題可解。有時為了用較少的單元得到較精確的數值解，不一定設單元的力和位移是常量，可以通過等參變換，將各單元的位移和力用形狀函數和各節點值表示。在用邊界元法求裂縫尖端應力強度因子時，為了保持應力具有的奇異性和位移具有的量級，在裂紋尖端可用如圖1-3所示的點作為中間節點的裂紋元。在進行計算時，可以將含裂紋表面的裂紋體劃出內部邊界進行計算，但是在內部邊界上必須滿足位移的連續性和表面力的平衡，即（1-5）圖1.3舉例說明，帶斜裂紋的一塊有限寬板受拉伸應力的作用，裂紋長度是2a，斜角為，板寬為3W，如圖1-4所示。內部邊界與外部邊界的單元劃分見圖1-5。其計算結果以及同一問題用邊界配置法和有限元法所得的無量綱應力強度因子列于表1-1。圖1.4表1.1無量綱應力強度因子表邊界配置法有限元法邊界元法0.7300.7280.7250.6000.5900.598誤差—-0.27-0.68誤差—-1.67-0.33—4819邊界元法的優越性在于縮小工作量，減少計算機的計算量。2邊界配位解法若要獲得含裂紋有限大板應力場的解析解，通常在數學上有很大困難。因此，許多研究者正在探索有限尺寸板裂紋問題的半解析、半數值解。邊界配位法就是一種求解有限大板應力強度因子的一種半解析、半數值方法。這種方法在求解含邊緣裂紋的單連通板問題時還是比較方便的。用于材料斷裂性能測試的三點彎曲試樣與緊湊拉伸試樣的應力強度因子就是由這種方法求得的。邊界配位解法是建立在平面問題極坐標分離變量解法原理之上的。為了根據邊界條件與附加的簡化條件確定應力函數A中與應力強度因子直接相關的待定系數c1和d1，列出應力函數及其一階偏導數的表達式。（2-1）式中（2-2）利用復合函數求導法則和，，，，，（2-3）可將應力函數A對x，y和的三個偏導數函數寫成如下形式：（2-4）（2-5）式中（2-6）（2-7）同時，應力函數A本身亦可寫成如下簡單形式：（2-8）式中，（2-9）現在，共有2N+3個特定常數，即以及。為了確定這些常數，在裂紋以外的邊界上選取N+1個點，他們是定點P與動點。這些點的極坐標分別為。從點至點,主向量分量與主矩分別為與。于是，考慮到與式子，可將附加簡化條件式子與式子寫成如下形式：（2-10）進一步考慮到式子和式子，可將主向量與主矩形式的邊界條件寫成如下形式：(2-11)這樣，共有2N+3個方程，以確定2N+3個特定常數。在此基礎上，即可由式子確定應力強度因子和。3J積分求解裂紋尖端的應力強度因子傳統的有限元在計算裂紋尖端的應力強度因子的時候，無可避免地遇到裂尖復雜應力場和位移場的計算，J積分則可以完全避免這種復雜的處理過程。1968年由Rice和Cherepanov提出了一個圍繞裂紋尖端的圍線積分，該積分與路徑無關，保持為一個常數，并且可以反映出裂紋尖端的應力應變場。（3-1）圖3.1J積分的定義（3-2）從（3-2）式中可以得出，Ⅰ型裂紋裂尖應力強度因子KⅠ與J積分具有一一對應的關系，所以可以通過求解J積分得到裂尖的應力強度因子。對于Ⅰ型和Ⅱ型復合型裂紋，如下。在Ⅰ型和Ⅱ型復合裂紋情況下，求解出來的J積分是KⅠ和KⅡ的函數，可以通過J積分求解出Ⅰ型和Ⅱ型裂紋的應力強度因子KⅠ和KⅡ。但是只求解出一個J積分是無法得到兩個應力強度因子的，Ishikawa將Ⅰ型和Ⅱ型復合型裂紋的J積分進行了如下分解（圖3.2）：（i＝1，2）在計算出和后，就可以求解出Ⅰ型和Ⅱ型復合裂紋的應力強度因子和。圖3.2復合型裂紋J積分的分解4裂紋尖端應力強度因子的能量差率解法能量差率又稱能量釋放率。能量差率方法可以用于求解含裂紋構件應力強度因子，不僅適用于二維情況，而且適用于三維情況；不僅適用于線彈性情況，而且適用于彈塑性情況。此外，能量差率方法還可以用于建立含裂紋構件的起裂判據。下面以均勻受載含內部裂紋無限大板為例闡述能量差率解法圖4.1表示一塊含中心裂紋無限大板受到均勻拉力的作用。現在，用總勢能差率方法確定該板Ⅰ型應力強度因子。為此，采用疊加原理，將圖4.1（a）所示的情況視作由該圖（b）與（c）兩種情況疊加而成。于是，（4-1）顯然，情況二等價于無裂紋情況。從而有，（4-2）圖4.1均勻受載含中心裂紋無限大板現在，假定在情況三中裂紋表面張開位移（）服從橢圓分布規律，如圖4.2所示。圖4.2含中心裂紋無限大板裂紋表面張開位移因此，有（4-3）式中，為x=0點的裂紋張開位移，即位移的幅值。引入（4-4）式子改寫為（4-5）在裂紋尖端附近，。保留一階小量，上式可簡化成（4-6）這表明，在裂尖附近，位移呈拋物線分布。在裂尖附近，對于平面應力情況，有（4-7）對比式子（4-6）和（4-7）式子，可得（4-8）進一步還知道，另一方面，為了確定與，給出情況三的總勢能的表達式。（4-9）將式子（4-5）代入式子（4-9），積分可得（4-10）那么（4-11）將式子（4-10）代入式子（4-11），可知（4-12）比較式子和式子，可得關于的微分方程如下：（4-13）應力強度因子的求解式子（4-13）是伯努利方程的特例。伯努利方程的一般形式為（4-14）它的一般解為）（4-15）對比式子（4-13）與式子（4-14），可知（4-16）將式子（4-16）代入式子（4-15），有（4-17）當時，。于是由式子，可知；將式子代入（4-8）式子，可得（4-18）由式子給出的均勻受載含中心裂紋無限大板型應力強度因子與由解析法所得到的結果完全相同。這一方面說明能量差率解法的正確性，另一方面也說明給出的裂紋表面張開位移模態是正確的。最后，應當指出的是，能量差率方法亦可用于求解均勻受剪含中心裂紋無限大板型應力強度因子。5裂紋尖端應力強度因子的解析變分解法應力強度因子的邊界配位法優點在于容易形成線性代數方程組的系數矩陣。但是，這個方法具有以下缺點，首先，在邊界節點配位方面，缺少理論基礎，即不能根據外力分布狀況調整節點布局；其次，在由分離變量方法獲得通解的基礎上，無法解決復連通域的問題，因此在求解緊湊拉伸試件應力強度因子時，只能極其粗糙地將復連通域簡化為單連通域。基于以上原因，我們有引出來二維應力強度因子的解析變分解法。由式子（5-1）和式子（5-2）給出的應力分量表達式已經滿足了平衡方程與裂紋表面靜力邊界條件。因此，變分方程式（5-3）可簡化成（5-4）為了利用以上方程確定應力強度因子，現根據式子（5-2）和式子給出應力分量與位移分量的一般表達式：（5-5）（5-6）應當指出，由于是的齊次線性函數，如式子故在式子（5-5）、式子（5-6）中不出現。另外，代表總體剛度轉動，應令（5-7）將式子與式子代入式子，可得關于求解待定系數的線性方程組（5-8）式中，,,，，,,，