河南省濮陽市華龍區濮陽一中2023年數學高二上期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，則等于（）A.2 B.C. D.2．若，則與的大小關系是（）A. B.C. D.不能確定3．若橢圓的弦恰好被點平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.4．“”是“直線與互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.6．“，”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.8．我國古代數學論著中有如下敘述：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈二百五十四．”思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數是上一層所掛燈數的2倍．下列結論不正確的是（）A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數比最上面3層塔所掛燈的總盞數多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數是最上面3層塔所掛燈的總盞數的16倍9．過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，，拋物線的準線與軸交于點，則的面積為（）A. B.C. D.10．已知，若，是第二象限角，則=（）A. B.5C. D.1011．已知為等差數列，且，，則（）A. B.C. D.12．設雙曲線與冪函數的圖象相交于，且過雙曲線的左焦點的直線與函數的圖象相切于，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，分別是橢圓C：左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為___________14．定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”.（1）設，則在上的“新駐點”為___________；（2）如果函數與的“新駐點”分別為、，那么和的大小關系是___________.15．以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是__________16．過點作斜率為的直線與橢圓相交于、兩個不同點，若是的中點，則該橢圓的離心率___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經過點.（1）求的方程；（2）設的右焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線AB和DE，其中A，B，D，E都在橢圓上，求的取值范圍.18．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個作為：，使為真命題，求出實數a取值范圍.①關于x的方程有兩個不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個解答計分.）19．（12分）已知圓M經過原點和點，且它的圓心M在直線上.（1）求圓M的方程；（2）若點D為圓M上的動點，定點，求線段CD的中點P的軌跡方程.20．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值21．（12分）已知數列的前n項和（1）求的通項公式；（2）若數列的前n項和，求數列的前n項和22．（10分）已知等比數列的前項和為，，．數列的前項和為，且，（1）分別求數列和的通項公式；（2）若，為數列的前項和，是否存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用兩角和的正切公式計算出正確答案.【詳解】.故選：D2、B【解析】由題知，進而研究的符號即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B3、D【解析】判斷點M與橢圓的位置關系，再借助點差法求出直線AB的斜率即可計算作答.【詳解】顯然點橢圓內，設點，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D4、A【解析】根據兩直線垂直的性質求出，再結合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因為直線與互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直線與互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.5、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因為，所以所以，所以，所以.故選：D6、A【解析】根據雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】由，可知方程表示焦點在軸上的雙曲線；反之，若表示雙曲線，則，即，或，所以“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件故選：A7、C【解析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則根據題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.8、C【解析】由題設易知是公比為2的等比數列，應用等比數列前n項和公式求，結合各選項的描述及等比數列通項公式、前n項和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數為，則數列是公比為2的等比數列，且，解得，所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了盞燈，A正確最上面3層塔所掛燈總盞數為14，最下面3層塔所掛燈的總盞數為224，C不正確，D正確故選：C.9、B【解析】畫出圖形，利用已知條件結合拋物線的定義求解邊長CF，BK，然后求解三角形的面積即可【詳解】如圖，設拋物線的準線為，過作于，過作于，過作于，設，則根據拋物線的定義可得，，，的面積為，故選：.10、D【解析】先由誘導公式及同角函數關系得到，再根據誘導公式化簡，最后由二倍角公式化簡求值即可.【詳解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，∴故選：D11、B【解析】由已知條件求出等差數列的公差，從而可求出【詳解】設等差數列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B12、B【解析】設直線方程為，聯立，利用判別式可得，進而可求，再結合雙曲線的定義可求，即得.【詳解】可設直線方程為，聯立，得，由題意得,∴，，∴，即，由雙曲線定義得，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先計算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標為.故答案為：14、①.②.【解析】（1）根據“新駐點”的定義求得，結合可得出結果；（2）求出的值，利用零點存在定理判斷所在的區間，進而可得出與的大小關系.詳解】（1），，根據“新駐點”的定義得，即，可得，，解得，所以，函數在上的“新駐點”為；（2），則，根據“新駐點”的定義得，即.，則，由“新駐點”的定義得，即，構造函數，則函數在定義域上為增函數，，，，由零點存在定理可知，，.故答案為：（1）；（2）.【點睛】本題考查導數的計算，是新定義的題型，關鍵是理解“新駐點”的定義.15、；【解析】根據相切可得圓心到直線距離即為圓的半徑,利用點到直線距離公式解出半徑,即可得到圓的方程【詳解】由題,設圓心到直線的距離為,所以,因為圓與直線相切,則,所以圓的方程為,故答案為：【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關系求圓的方程,考查點到直線距離公式的應用16、【解析】利用點差法可求得的值，利用離心率公式的值.【詳解】設點、，則，由已知可得，由題意可得，將兩個等式相減得，所以，，因此，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據橢圓的離心率為，及經過點建立等式可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種情況進行討論，當斜率存在時，計算與后再求范圍即可.【小問1詳解】由題意知的離心率為，整理得，又因為經過點，所以，解得，所以，因此，的方程為.小問2詳解】由已知可得，當直線AB或DE有一條的斜率不存在時，可得，或，，此時有或.當AB和DE的斜率都存在時且不為0時，設直線：，直線：，，，，由得，所以，，所以，用替換可得.所以，綜上所述，的取值范圍為.18、答案見解析【解析】根據題意，分析、為真時的取值范圍，又由復合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據此分析可得答案.【詳解】解：選①時由知在上恒成立，∴，即又由q：關于x的方程有兩個不等正根，知解得，由為真命題知,解得.實數a的取值范圍.選②時由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，當且僅當時取“=”號，∴，由為真命題知，解得.實數a的取值范圍.19、（1）.（2）.【解析】（1）設圓M的方程為，由已知條件建立方程組，求解即可；（2）設，，依題意得.代入圓M的方程可得點P的軌跡方程.【小問1詳解】解：設圓M的方程為，則圓心依題意得，解得.所以圓M的方程為.【小問2詳解】解：設，，依題意得，得.點為圓M上的動點，得，化簡得P的軌跡方程為.20、（1）證明見解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質，證得平面，進而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內過點A作Ax⊥AB，以A為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量而得解.【詳解】（1）因為，為中點，所以，因為是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC內過點A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點A為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因為二面角為銳角，則二面角的余弦值為.【點睛】思路點睛：二面角大小求解時要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角21、（1），；（2），.【解析】（1）根據的關系可得，根據等比數列的定義寫出的通項公式，進而可得的通項公式；（2）利用的關系求的通項公式，結合（1）結論可得，再應用分組求和、錯位相消法求的前n項和【小問1詳解】．①當時，，可得當時，．②①－②得，則，而a1-1=1不為零，故是首項為1，公比為2的等比數列，則∴數列的通項公式為，【小問2詳解】∵，∴當時，，當時，，又也適合上式，∴，∴，令，，則，又，∴22、（1），；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）利用數列為等比數列，將已知的等式利用首項和公比表示，得到一個方程組，求解即可得到首項和公比，結合等比數列的通項公式即可求出；將已知的等式變形，得到數列為等差數列，利用等差數列通項公式求出，再結合數列的第項與前項和之間的關系進行求解，即可得到；（2）先利用等比數列求和公式求出，從而得到的表達式，然后利用裂項相消求和法求出，假設存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列，利用等比中項、等差中項以及進行化簡變形，得到假設不成立，故可得到答案【詳解】（1）因為數列為等比數列，設首項為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因為，所以，所以，所以，由，可得，所以數列為等差數列，首項為，公差為1，故，則，當時，，當時