第四節直線、平面垂直的判定與性質第八章內容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養1.從定義和基本事實出發,借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系,并加以證明.2.能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題.1.空間中垂直關系的判定2.線面垂直的判定與性質3.面面垂直的判定與性質4.平行、垂直關系的綜合問題直觀想象邏輯推理強基礎增分策略知識梳理1.直線與平面垂直(1)定義:一般地,如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.直線l叫做平面α的

,平面α叫做直線l的

.直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做垂足.

與“所有直線”是同義的,但與“無數條”不同

垂線

垂面

(2)判定定理與性質定理

平行

a⊥α微思考空間中任意一直線m,在平面α內是否存在無數條直線與m垂直?提示

存在,如圖.2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交,如果它們所成的二面角是

,就說這兩個平面互相垂直.

直二面角

(2)判定定理與性質定理

垂線

b⊥α微點撥面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據.我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可.微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直線m⊥l,則m與平面β一定垂直嗎?提示

不一定.當m?α時,m⊥β.常用結論直線與平面垂直的五個結論(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這條直線與另一個平面也垂直.(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.對點演練1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)已知直線a,b,c,若a⊥b,b⊥c,則a∥c.(

)(2)設m,n是兩條不同的直線,α是一個平面,若m∥n,m⊥α,則n⊥α.(

)(3)若兩平面垂直,則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.(

)(4)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線,則α⊥β.(

)√×××2.(2022山東煙臺三模)若a和α分別為空間中的直線和平面,則“a⊥α”是“a垂直α內無數條直線”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案

A解析

若a⊥α,則a垂直α內所有直線,因此,命題“若a⊥α,則a垂直α內無數條直線”正確.a垂直α內無數條直線,若這無數條直線中無任何兩條直線相交,此時直線a可以在平面α內,即不能推出a⊥α,所以“a⊥α”是“a垂直α內無數條直線”的充分不必要條件.3.已知直線a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,則a與α的位置關系為

.

答案

a∥α或a?α

解析

當a?α且a垂直于α,β的交線時,滿足已知條件;當a∥α時也滿足已知條件增素能精準突破考點一空間中垂直關系的判定典例突破例1.(1)(多選)已知a,b表示兩條不同的直線,α,β表示兩個不同的平面,下列說法正確的是(

)A.若a⊥α,b⊥β,α∥β,則a∥bB.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,則α⊥βC.若a⊥α,a⊥b,α∥β,則b∥βD.若α∩β=a,a∥b,則b∥α或b∥β(2)(多選)(2022湖南懷化模擬)如圖所示,已知四邊形ABCD是由一個等腰直角三角形ABC和一個有一內角為30°的直角三角形ACD拼接而成,將△ACD繞AC邊旋轉的過程中,下列結論可能成立的是(

)A.CD⊥AB B.BC⊥ADC.BD⊥AB D.BC⊥CD答案

(1)ABD

(2)ACD

解析

(1)對于A,若a⊥α,α∥β,則a⊥β.又b⊥β,所以a∥b,故A正確;對于B,若a⊥α,a⊥b,則b?α或b∥α,所以存在直線m?α,使得m∥b.又b⊥β,所以m⊥β,所以α⊥β.故B正確;對于C,若a⊥α,a⊥b,則b?α或b∥α.又α∥β,所以b?β或b∥β,故C錯誤;對于D,若α∩β=a,a∥b,則b∥α或b∥β,故D正確.故選ABD.(2)當將△ACD繞AC邊旋轉到CD⊥BC時,因為CD⊥AC,AC∩BC=C,此時CD⊥平面ABC,而AB,BC?平面ABC,則CD⊥AB,CD⊥BC,A,D正確;此時AB⊥平面BCD,DB?平面BCD,所以AB⊥DB,C正確;若BC⊥AD,而AB⊥BC,AB∩AD=A,故必有BC⊥平面ABD,由圖形可知,D點在B點正上方,而CD<BC,所以顯然BC⊥AD不可能.故選ACD.方法總結

對點訓練1下列說法中錯誤的是(

)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α內所有直線都垂直于平面β答案

D

解析

如圖1所示,在正方體中,平面APCF⊥平面PBDC,AF∥平面PBDC,故A正確;如果平面α內存在直線垂直于平面β,則平面α垂直于平面β,故B正確;如圖2所示,在平面γ內取一點Q,作QM⊥CP,QN⊥CD,因為平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,所以QM⊥平面α,QN⊥平面β.又因為α∩β=l,所以QM⊥l,QN⊥l.又QM∩QN=Q,則l⊥平面γ,故C正確;圖1圖2考點二線面垂直的判定與性質典例突破例2.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.求證:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.證明

(1)在四棱錐P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中點,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又AB⊥AD,且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.方法總結證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應用,其思維流程為:對點訓練2(2022黑龍江哈爾濱九中三模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=4,點D,E分別在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=3,M為棱A1B1的中點.(1)求證:C1M⊥B1D;(2)求三棱錐A1-DEB1的體積.

(1)證明∵A1C1=B1C1,MA1=MB1,∴C1M⊥A1B1.∵CC1⊥平面A1B1C1,C1M?平面A1B1C1,∴CC1⊥C1M.∵BB1∥CC1,∴BB1⊥C1M.∵BB1∩A1B1=B1,BB1,A1B1?平面ABB1A1,∴C1M⊥平面AA1B1B,又B1D?平面ABB1A1,∴C1M⊥B1D.(2)解∵CC1⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴CC1⊥BC.又BC⊥AC,AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC1A1.考點三面面垂直的判定與性質典例突破例3.如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點.(1)證明:OA⊥CD;(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形,點E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.(1)證明在△ABD中,∵AB=AD,O為BD的中點,∴AO⊥BD.∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO?平面ABD,∴AO⊥平面BCD.∵CD?平面BCD,∴AO⊥CD.(2)如圖,過點E作EN∥AO交BD于N,過點N作NM∥CD交BC于M.∵AO⊥平面BCD,EN∥AO,∴EN⊥平面BCD.∴EN⊥BC.在△BCD中,∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.∵NM∥CD,∴NM⊥BC.又EN∩NM=N,∴BC⊥平面EMN,∴BC⊥ME.∴二面角E-BC-D的平面角是∠EMN=45°,即△EMN是等腰直角三角形.方法總結利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法

對點訓練3(2022全國乙,文18)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當△AFC的面積最小時,求三棱錐F-ABC的體積.(1)證明∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E為AC的中點,∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E為AC的中點,∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.∵AC?平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.

考點四平行、垂直關系的綜合問題典例突破例4.(2022北京潞河中學三模)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AB=AA1=2,∠AA1B1=60°,E,F分別為棱A1B1,BC的中點.(1)求證:AC⊥AE;(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的體積;(3)在直線AA1上是否存在一點P,使得CP∥平面AEF?若存在,求出AP的長;若不存在,請說明理由.(1)證明三棱柱ABC-A1B1C1中,側面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,又因為側面ABB1A1∩底面ABC=AB,AC?底面ABC,所以AC⊥平面ABB1A1.又因為AE?平面ABB1A1,所以AC⊥AE.(2)解連接AB1,因為A1B1=AB,AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因為∠AA1B1=60°,所以△AA1B1是邊長為2的正三角形.因為E是棱A1B1的中點,所以AE⊥A1B1.又因為AE⊥AC,A1C1∥AC,所以AE⊥A1C1.因為A1C1∩A1B1=A1,A1C1,A1B1?底面A1B1C1,所以AE⊥底面A1B1C1.所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積為(3)解在直線AA1上存在點P,使得CP∥平面AEF.證明如下:連接BE并延長,與AA1的延長線相交,設交點為P,連接CP.因為BB1∥AA1,所以△A1PE∽△B1BE,由于E為棱A1B1的中點,所以EA1=EB1,故有PE=EB.又F為棱BC的中點,故EF為△BCP的中位線,所以EF∥CP.又EF?平面AEF,CP?平面AEF,所以CP∥平面AEF,故在直線AA1上存在點P,使得CP∥平面AEF.此時A1P=BB1