安徽省蕪湖市普通高中2023-2024學年高二上數學期末學業水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，已知，則數列的前6項之和為（）A.12 B.32C.36 D.372．在等差數列中，，則（）A.6 B.3C.2 D.13．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實數m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)4．等差數列的通項公式，數列，其前項和為，則等于（）A. B.C. D.5．己知命題；命題，則下列命題中為假命題的是（）A. B.C. D.6．“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．設函數在上可導，則等于（）A. B.C. D.以上都不對8．設函數的圖象為C，則下面結論中正確的是（）A.函數的最小正周期是B.圖象C關于點對稱C.函數在區間上是增函數D.圖象C可由函數的圖象向右平移個單位得到9．函數，則的值為（）A B.C. D.10．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數之差或者高次差相等.對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現有一個高階等差數列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數列的第7項為（）A.101 B.99C.95 D.9111．對任意實數，在以下命題中，正確的個數有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A. B.C. D.12．“”是“直線與互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系中，已知向量，則的值為__________.14．拋物線的焦點坐標為___________.15．某人實施一項投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項目.已知2020年他的工資是10萬元，預計未來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結算一次，當年的投資收益自動轉入下一年的投資本金，若2031年1月1日結束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應有__________萬元.（參考數據：，，）16．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：對任意，都有；：存在，使得（1）若“且”為真，求實數的取值范圍；（2）若“或”為真，“且”為假，求實數的取值范圍18．（12分）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面，且，點是的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上(不含端點)是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作斜率為的弦.求：（1）弦的長；（2）△的周長.20．（12分）已知等比數列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）求.21．（12分）已知p：，q：（1）若p是q的必要不充分條件，求實數m的范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數m的范圍22．（10分）已知函數，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區間上有唯一的零點.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】直接按照等差數列項數性質求解即可.【詳解】數列的前6項之和為.故選：C.2、B【解析】根據等差數列下標性質進行求解即可.【詳解】因為是等差數列，所以，故選：B3、B【解析】應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件，再根據題設不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設，，當且僅當時等號成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.4、D【解析】根據裂項求和法求得，再計算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D5、A【解析】根據或且非命題的真假進行判斷即可.【詳解】當,故命題是真命題，，故命題是真命題.因此可知是假命題，是真命題，，均為真命題.故選:A6、B【解析】直線傾斜角的范圍是[0°,180°)，直線斜率為傾斜角(不為90°)的正切值，據此即可判斷求解.【詳解】直線的斜率不大于0，則直線l斜率可能等于零，此時直線傾斜角為0°，不為鈍角，故“直線的斜率不大于0”不是“直線的傾斜角為鈍角”充分條件；直線的傾斜角為鈍角時，直線的斜率為負，滿足直線的斜率不大于0，即“直線的傾斜角為鈍角”是“直線的斜率不大于0”的充分條件，“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要條件；綜上，“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.7、C【解析】根據目標式，結合導數的定義即可得結果.【詳解】.故選：C8、B【解析】化簡函數解析式，求解最小正周期，判斷選項A，利用整體法求解函數的對稱中心和單調遞增區間，判斷選項BC，再由圖象變換法則判斷選項D.【詳解】，所以函數的最小正周期為，A錯；令，得，所以函數圖象關于點對稱，B正確；由，得，所以函數在上為增函數，在上為減函數，C錯；函數的圖象向右平移個單位得，D錯.故選：B9、B【解析】求出函數的導數，代入求值即可.【詳解】函數,故，所以，故選：B10、C【解析】根據所給數列找到規律：兩次后項減前項所得數列為公差為2的數列，進而反向確定原數列的第7項.【詳解】根據所給定義，用數列的后一項減去前一項得到一個數列，得到的數列也用后一項減去前一項得到一個數列，即得到了一個等差數列，如圖：故選：C.11、B【解析】直接利用不等式的基本性質判斷.【詳解】①因為，則，根據不等式性質得，故正確；②當時，，而，故錯誤；③因為，所以，即，故正確；④當時，，故錯誤；故選：B12、A【解析】根據兩直線垂直的性質求出，再結合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因為直線與互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直線與互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題知，進而根據向量數量積運算的坐標表示求解即可.【詳解】解：因為向量，所以，所以故答案為：14、【解析】化成拋物線的標準方程即可.【詳解】由題意知，，則焦點坐標為.故答案為：15、24【解析】根據條件求得每一年投入在最終結算時的總收入，利用錯位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結算時的收入為，2022年的投入在結算時的收入為，，2030年的投入在結算時的收入為，則結算時的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則，故答案為：2416、【解析】先由勾股定理求圓錐的高，再結合圓錐的體積公式運算即可得解.【詳解】解：設圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為.【點睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了勾股定理，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得，均為真命題，分別求得為真命題，為真命題時，實數的取值范圍，再由集合的交集運算求得答案；（2）由已知得，一真一假，建立不等式組，求解即可.【小問1詳解】解：因為“且”為真命題，所以，均為真命題若為真命題，則，解得；若為真命題，則，當且僅當，即時，等號成立，此時故實數的取值范圍是；【小問2詳解】解：若“或”為真，“且”為假，則，一真一假當真，假時，則得；當假，真時，則得故實數的取值范圍為18、（1）見解析（2）存在，【解析】（1）連接交于點，由三角形中位線性質知，由線面平行判定定理證得結論；（2）以為原點建立空間直角坐標系，假設，可用表示出點坐標；根據二面角的向量求法可根據二面角的余弦值構造出關于的方程，從而解得結果.【詳解】（1）連接交于點，連接，四邊形為平行四邊形，為中點，又為中點，，平面，平面，平面；（2）平面，，兩兩互相垂直，則以為坐標原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：則，，，，，，設，且，則，，即，設平面的法向量，又，，則，令，則，，；設平面的一個法向量，又，，則，令，則，，；，解得：或，二面角的余弦值為，二面角為銳二面角，不滿足題意，舍去，即.在線段上存在點，時，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中的線面平行關系的證明、存在性問題的求解；求解存在性問題的關鍵是能夠利用共線向量的方式將所求點坐標表示出來，進而利用二面角的向量求法構造方程；易錯點是忽略二面角的范圍，造成參數值求解錯誤.19、（1）；（2）.【解析】（1）聯立直線方程與雙曲線方程，求得交點的坐標，再用兩點之間的距離公式即可求得；（2）根據（1）中所求，利用兩點之間的距離公式，即可求得三角形周長.【小問1詳解】設點的坐標分別為，由題意知雙曲線的左、右焦點坐標分別為、，直線的方程，與聯立得，解得，代入的方程為分別解得.所以.【小問2詳解】由（1）知，，，所以△的周長為.20、（1）（2）【解析】（1）設的公比為，根據題意求得的值，即可求得的通項公式；（2）由（1）求得，得到，利用等比數列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：設的公比為，因為，，則，又因為，解得，所以的通項公式為.【小問2詳解】解：由，可得，則，所以.21、（1），；（2），【解析】解不等式，(1)由題意得，從而求得；(2)由題意可轉化為是的充分不必要條件，從而得到，化簡即可【小問1詳解】解不等式得，是的必要不充分條件，，解得，，即實數的范圍為，；小問2詳解】是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，故，解得，，即實數的范圍為，22、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【解析】（1）求出，，利用導數的幾何意義即可求得切線方程；（2）（ⅰ）根據題意對參數分類討論，當時，等價轉化，且構造函數，利用零點存在定理，即可求得參數的取值范圍；（ⅱ）根據（ⅰ）中所求得到與的等量關系，求得并構造函數，利用導數研究其單調性和最值，則問題得證.【小問1詳解】當時，，則，故，，則曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】（ⅰ）因為，故