福建省龍巖市龍巖一中2023-2024學年數學高二上期末學業水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（）A.-5 B.-3C.1 D.72．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，過點作軸的垂線與橢圓相交，其中一個交點為點(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.3．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓的蒙日圓的半徑為（）A.3 B.4C.5 D.64．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則5．已知雙曲線左右焦點為，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，若線段的中垂線過點，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.6．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3C.4 D.57．已知圓M的圓心在直線上，且點，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.8．函數的圖像大致是（）A B.C. D.9．記Sn為等差數列{an}的前n項和，給出下列4個條件：①a1=1；②a4=4；③S3=9；④S5=25，若只有一個條件不成立，則該條件為（）A.① B.②C.③ D.④10．在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線11．某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校男教師的人數為（）A.167 B.137C.123 D.11312．圓與圓的位置關系是（）A.相交 B.相離C.內切 D.外切二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……．設各層球數構成一個數列，其中，，，則______14．設正項等比數列的公比為，前項和為，若，則_______________.15．在中，若面積，則______16．已知圓，以點為中點的弦所在的直線的方程是___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數列的前n項和為，，（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入n個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這n個數之和為，求數列的前n項和18．（12分）已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點分別為、，橢圓上的點到左焦點最近的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）若經過點的直線與橢圓C交于M，N兩點，當的面積取得最大值時，求直線的方程.19．（12分）如圖，在三棱柱中，點在底面內的射影恰好是點，是的中點，且滿足（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小20．（12分）已知數列中，，.（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.21．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數列，求的通項公式；（2）若，的前項和是，求證：.22．（10分）已知函數的圖象在點處的切線與直線平行（是自然對數的底數）.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據，可知向量建立方程求解即可.【詳解】由題意根據，可知向量，則有，解得.故選：C2、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A3、A【解析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點即可求出圓的半徑.【詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓的兩條切線的交點在圓上，所以，故選：A4、D【解析】根據空間里面直線與平面、平面與平面位置關系的相關定理逐項判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項錯誤；B，若，則或相交，故該選項錯誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項錯誤；D，若，則利用面面垂直的性質可得，故該選項正確.故選：D.5、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關系式，變形后可得離心率【詳解】由題意又則有：可得：，，中，中．可得：解得：則有：故選：C6、D【解析】拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質在解題時經常用到，可以簡化運算.7、C【解析】由題設寫出的中垂線，求其與的交點即得圓心坐標，再應用兩點距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因為點，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C8、B【解析】由函數有兩個零點排除選項A，C；再借助導數探討函數的單調性與極值情況即可判斷作答.【詳解】由得，或，選項A，C不滿足；由求導得，當或時，，當時，，于是得在和上都單調遞增，在上單調遞減，在處取極大值，在處取極小值，D不滿足，B滿足.故選：B9、B【解析】根據等差數列通項公式及求和公式的基本量計算，對比即可得出結果.【詳解】設等差數列{an}的公差為，，，，即，即.當，時，①③④均成立，②不成立.故選：B10、A【解析】首先建立平面直角坐標系，然后結合數量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設，以AB中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，設，可得：，從而：，結合題意可得：，整理可得：，即點C的軌跡是以AB中點為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數量積的坐標運算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.11、C【解析】根據圖形分別求出初中部和高中部男教師的人數，最后相加即可.【詳解】初中部男教師的人數為110×(170%)=33；高中部男教師的人數為150×60%=90，∴該校男教師的人數為33+90=123.故選：C.12、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因為，所以兩圓相交.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】由分析可知每次小球數量剛好是等差數列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，故答案為：1514、【解析】由可知公比，所以直接利用等比數列前項和公式化簡，即可求出【詳解】解：因為，所以，所以，所以，化簡得，因為等比數列的各項為正數，所以，所以，故答案為：【點睛】此題考查等比數列前項和公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題15、##【解析】結合三角形面積公式與余弦定理得，進而得答案.【詳解】解：由三角形的面積公式得，所以，因為，所以，即，因為，所以故答案為：16、【解析】設，利用以為中點的弦所在的直線即為經過點且垂直于AC的直線求得直線斜率，由點斜式可求得直線方程【詳解】圓的方程可化為，可知圓心為設，則以為中點的弦所在的直線即為經過點且垂直于的直線．又知，所以，所以直線的方程為，即故答案為：【點睛】本題考查圓的幾何性質，考查直線方程求解，是基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)設等比數列公比為q，利用與關系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據等差數列前n項和公式可求，分析{}的通項公式，利用錯位相減法求其前n項和.【小問1詳解】設等比數列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數列的通項公式為；【小問2詳解】由題意知在與之間插入n個數，這個數組成以為首項的等差數列，∴，設{}前n項和為，①①×3：②①－②：18、（1）（2）【解析】（1）根據題意得，，進而解方程即可得答案；（2）根據題意設直線的方程，，，進而，再聯立方程，結合韋達定理求解即可.【小問1詳解】解：因為橢圓C：的離心率為，所以，因為橢圓上的點到左焦點最近的距離為，所以所以，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】解：根據題意，設直線的方程，，設，聯立方程得，所以，解得或.，所以的面積為令，則,當且僅當，即時，等號成立.所以當的面積取得最大值時，直線的方程為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因為點在底面內的射影恰好是點，所以面.因為面,所以.因為是的中點，且滿足．所以，所以.因為，所以，即,所以.因為,面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因為，所以由（1）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.則,,,,所以，設，由得，，即.則.設平面BDC1的一個法向量為，則，不妨令，則.因為面，所以面的一個法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.20、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）由，取倒數得到，再利用等差數列的定義求解；（2）由（1）得到，利用錯位相減法求解.【小問1詳解】證明：由，以及，顯然，所以，即，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以，所以；【小問2詳解】由（1）可得，，所以數列的前項和①所以②則由②-①可得：，所以數列的前項和.21、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）在等式兩邊同時除以，結合等差數列的定義可證得數列為等差數列，確定該數列的首項和公差，可求得的表達式；（2）求得，利用裂項相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：在等式兩邊同時除以可得且，所以，數列是以為首