2024屆重慶八中數學高二上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，已知，，則使數列的前n項和成立時n的最小值為（）A.6 B.7C.9 D.102．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子研究數，他們根據沙粒和石子所排列的形狀把數分成許多類，若：三角形數、、、、，正方形數、、、、等等.如圖所示為正五邊形數，將五邊形數按從小到大的順序排列成數列，則此數列的第4項為（）A. B.C. D.3．已知直四棱柱的棱長均為，則直線與側面所成角的正切值為（）A. B.C. D.4．若某群體中成員只用現金支付的概率為，既用現金支付也用非現金支付的概率為，則不用現金支付的概率為（）A. B.C. D.5．《九章算術》與《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉.在《九章算術》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬，上寬，深，平面BDEC是水平面，末端寬，無深，長（直線到的距離），則該羨除的體積為（）A. B.C. D.6．已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.7．等差數列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.278．已知直線與直線垂直，則實數a為（）A. B.或C. D.或9．已知且，則下列不等式恒成立的是A. B.C. D.10．已知等比數列的前3項和為3，，則（）A. B.4C. D.111．已知平面的一個法向量為，且，則點A到平面的距離為（）A. B.C. D.112．f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設直線的方向向量分別為，若，則實數m等于___________.14．已知等比數列的前n和為，若成等差數列，且，，則的值為_______________15．將數列{n}按“第n組有n個數”的規則分組如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，則第22組中的第一個數是_________16．已知球的表面積是，則該球的體積為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）當時，討論的單調性；（2）當時，證明18．（12分）已知函數（e為自然對數的底數），（），.（1）若直線與函數，的圖象都相切，求a的值；（2）若方程有兩個不同的實數解，求a的取值范圍.19．（12分）在數列中，，是與的等差中項，（1）求證：數列是等差數列（2）令，求數列的前項的和20．（12分）已知以點為圓心的圓與直線相切，過點的動直線l與圓A相交于M，N兩點（1）求圓A的方程（2）當時，求直線l方程21．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）證明：；（2）若點E是棱的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，點在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為（1）求點的位置；（2）求點到平面的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據等差數列的性質及等差中項結合前項和公式求得，,從而得出結論.【詳解】，，，，，，,使數列的前n項和成立時n的最小值為10，故選：D.2、D【解析】根據前三個五邊形數可推斷出第四個五邊形數.【詳解】第一個五邊形數為，第二個五邊形數為，第三個五邊形數為，故第四個五邊形數為.故選：D.3、D【解析】根據題意把直線與側面所成角的正切值轉化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點設為點，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側面所成角的正切值為.故選：D.4、A【解析】利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現金支付的概率為.故選：A.5、C【解析】在，上分別取點，，使得，連接，，，把幾何體分割成一個三棱柱和一個四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計算【詳解】如圖，在，上分別取點，，使得，連接，，，則三棱柱是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選：C【點睛】思路點睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀察幾何體的結構特征，合理分割，將不規則幾何體體積的計算轉化為錐體、柱體體積的計算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力6、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個選項即可.【詳解】A選項：，錯誤；B選項：，錯誤；C選項：，，正確；D選項：，錯誤.故選：C.7、B【解析】根據等差數列的前項和為具有的性質，即成等差數列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因為為等差數列的前n項和，且，，所以成等差數列，所以，即，解得=18，故選：B.8、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.9、C【解析】∵且，∴∴選C10、D【解析】設等比數列公比為，由已知結合等比數列的通項公式可求得，，代入即可求得結果.【詳解】設等比數列的公比為，由，得即，又，即又，，解得又等比數列的前3項和為3，故，即，解得故選：D11、B【解析】直接由點面距離的向量公式就可求出【詳解】∵，∴，又平面的一個法向量為，∴點A到平面的距離為故選：B12、A【解析】構造函數h（x）＝f（x）g（x），由已知得當x＜0時，h（x）＜0，所以函數y＝h（x）在（﹣∞，0）單調遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，得函數y＝h（x）為R上的奇函數，所以函數y＝h（x）在（0，+∞）單調遞減，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集【詳解】設h（x）＝f（x）g（x），因為當x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以當x＜0時，h（x）＜0，所以函數y＝h（x）在（﹣∞，0）單調遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以函數y＝h（x）為R上的奇函數，所以函數y＝h（x）在（0，+∞）單調遞減，因為f（﹣1）＝0，所以函數y＝h（x）的大致圖象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）故選A【點睛】本題考查導數乘法法則、導數的符號與函數單調性的關系；奇函數的單調性在對稱區間上一致，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據向量垂直與數量積的等價關系，，計算即可.【詳解】因為，則其方向向量，，解得.故答案為：2.14、107【解析】根據等比數列和等差數列的通項公式，根據題意列方程可得，從而求出或，再根據，確定，進而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設等比數列的公比為，首項為，由成等差數列可得：，代入可得：，解得：或，又因為，易知，又因為，，所以，，故答案為：107.【點睛】本題考查了等差中項和等比數列的通項公式，考查了和的關系，同時考查了計算能力，屬于中檔題.15、【解析】由已知，第組中最后一個數即為前組數的個數和，由此可求得第21組的最后一個數，從而就可得第22組的第一個數.【詳解】由條件可知，第21組的最后一個數為，所以第22組的第1個數為.故答案為：16、【解析】設球的半徑為r，代入表面積公式，可解得，代入體積公式，即可得答案.【詳解】設球的半徑為r，則表面積，解得，所以體積，故答案為：【點睛】本題考查已知球的表面積求體積，關鍵是求出半徑，再進行求解，考查基礎知識掌握程度，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調遞減，在單調遞增；（2）見解析.【解析】(1)求f(x)導數，討論導數的正負即可求其單調性；(2)由于，則，只需證明，構造函數，證明其最小值大于0即可.【小問1詳解】時，，當時，，∴，當時，，∴，∴在單調遞減，在單調遞增；【小問2詳解】由于，∴，∴只需證明，令，則，∴在上為增函數，而，∴在上有唯一零點，且，當時，，g(x)單調遞減，當時，，g(x)單調遞增，∴的最小值為，由，得，則，∴，當且僅當時取等號，而，∴，∴，即，∴當時，.【點睛】本題考察了利用導數研究函數的單調性，也考察了利用導數研究函數的最值，解題過程中設計到隱零點的問題，需要掌握隱零點處理問題的常見思路和方法.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據導數的幾何意義進行求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構造新函數，由方程有兩個不同的實數解問題，轉化為兩個函數的圖象有兩個交點問題，利用導數進行求解即可.【小問1詳解】設曲線的切點坐標為，由，所以過該切點的切線的斜率為，因此該切線方程為：，因為直線與函數的圖象相切，所以，因為直線與函數的圖象相切，且函數過原點，所以曲線的切點為，于是有，即；【小問2詳解】由可得：，當時，顯然不成立，當時，由，設函數，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，因此當時，函數有最小值，最小值為，而，當時，，函數圖象如下圖所示：方程有兩個不同的實數解，轉化為函數和函數的圖象，在當時，有兩個不同的交點，由圖象可知：，故a的取值范圍為.【點睛】關鍵點睛：利用常變量分離法，結合轉化法進行求解是解題的關鍵.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）求得，利用等差數列的定義可證得結論成立；（2）求出，可計算得出，利用并項求和法可求得數列的前項的和.小問1詳解】解：由題意知是與的等差中項，可得，可得，則，可得，所以，，又由，可得，所以數列是首項和公差均為的等差數列.【小問2詳解】解：由（1）可得：，，對任意的，，因此，.20、（1）；（2）或.【解析】（1）利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；（2）根據相交弦長公式，求出圓心到直線的距離，設出直線方程，再根據點到直線的距離公式確定直線方程【詳解】（1）由題意知到直線的距離為圓A半徑r，所以，所以圓A的方程為（2）設的中點為Q，則由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知，設動直線l方程為：或，顯然符合題意由到直線l距離為1知得所以或為所求直線方程【點睛】本題考查圓的標準方程及直線與圓的相交弦長問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據線面垂直的判定定理證出平面，即可證得；（2）以A為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，根據二面角的向量公式即可求出【小問1詳解】如圖，連接，由已知可得四邊形是正方形，所以在直三棱柱中，平面平面，交線為，在中，可知，所以平面，于因為，所以平面，而平面，所以【小問2詳解】如圖所示，以A為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，于是設平面的法向量為，則，可取而平面的一個法向量為，所以故平面與平面所成銳二面角的余弦值為22、（1）為棱中點（2）【解析】（1）以點為坐標