28.5弧長和扇形面積的計算第1課時

情景導入如圖，某傳送帶的一個轉動輪的半徑為10cm.(1)轉動輪轉一周，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？(2)轉動輪轉1o，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？(3)轉動輪轉no，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？如何解決這個問題呢？學完本課你一定能很好的解決！探索新知1知識點弧長公式

一條弧和經過這條弧端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形(sector).

如圖，在⊙O中，由半徑OA，OB和

所組成的圖形為一個扇形

.

由半徑OA，OB和

所組成的圖形也是一個扇形

.

在同一個圓中，一個扇形對應一個圓心角，反過來，一個圓心角對應一個扇形

.探索新知半徑為r的⊙O，它的周長為2πr，圓心角為360°.按下表的圓心角，計算所對的弧長以及扇形的面積，填寫下表：探究：給定的圓心角1°90°n°所對的弧長1°圓心角所對弧的長為總結：若設n°圓心角所對弧的長為l，探索新知如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中弧CD，點O是弧CD的圓心)，其中CD＝600米，E為弧CD上一點，且OE⊥CD，垂足為F，OF＝300米，則這段彎路的長度為(

)A．200π米B．100π米C．400π米D．300π米例1A導引：設這段彎路的半徑為R米．∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×600＝300(米)．

根據勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(300)2.

解得R＝600.∴∠COF＝30°.∴∠COD＝60°.∴這段彎路的長度為

＝200π(米).探索新知總結求弧長需要兩個條件：(1)弧所在圓的半徑；(2)弧所對的圓心角．當題中沒有直接給出這兩個條件時，則需利用圓的相關知識：弦、弦心距、圓周角等求出圓的半徑或弧所對的圓心角．典題精講1已知扇形的圓心角為45°，半徑長為12，則該扇形的弧長為(

)A.

B．2π

C．3π

D．12π在半徑為6的⊙O中，60°圓心角所對的弧長是(

)A．πB．2πC．4πD．6πCB典題精講如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則

的長為(

)A.πB.πC.πD.πB探索新知2知識點扇形面積公式半徑為r的⊙O，面積為πr2，圓心角為360°.按下表的圓心角，計算所對的弧長以及扇形的面積，填寫下表：給定的圓心角1°90°n°扇形面積1°圓心角所扇形的面積為若設n°圓心角所對扇形的面積為S，則

這就是計算扇形面積的公式.因為所以扇形的面積公式還可以表示為探索新知

扇形面積公式：S扇形＝

；S扇形＝lr(l是扇形的弧長)．

應用方法：①當已知半徑r和圓心角的度數n°求扇形的面積時，選用公式S扇形＝

；②當已知半徑r和弧長l求扇形的面積時，選用公式S扇形＝lr.

特別注意：①已知S扇形，l，n，r四個量中的任意兩個量，可以求出另外兩個量．②在扇形面積公式S扇形＝

中，n，360不帶單位.探索新知例2如圖，⊙O的半徑為10cm.(1)如果∠AOB=100°，求的長及扇形AOB的面積.(結果保留一位小數)(2)已知=25cm，求∠BOC的度數.(結果精確到1°)探索新知解：(1)r=10cm，∠AOB=100°，由弧長和扇形面積公式，得

所以

的長約為17.4cm，扇形AOB的面積約為87.2cm2.(2)r=10cm，=25cm，由弧長公式，得所以∠BOC約為143°.探索新知

扇形的面積公式有兩個，若已知圓心角的度數和半徑，則用S扇形＝

；若已知扇形的弧長和半徑，則用S扇形＝lR(l是扇形的弧長)．總

結

若扇形的面積為3π，圓心角為60°，則該扇形的半徑為(

)A．3

B．9

C．2

D．3如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的頂點C是

的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當正方形CDEF的邊長為2時，則陰影部分的面積為(

)A．2π－4B．4π－8C．2π－8D．4π－4典題精講DA典題精講3如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中點D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在

上，設∠BDF＝α(0°＜α＜90°)．當α由小到大變化時，圖中陰影部分的面積(

)A．由小變大

B．由大變小C．不變

D．先由小變大，后由大變小C小試牛刀1．一個扇形的半徑為8cm，弧長為πcm，則扇形的圓心角為()A．60°

B．120°

C．150°

D．180°B2．如圖，圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD疊放在一起，OA＝3，

OC＝1，分別連接AC，BD，則圖中陰影部分的面積為()A.πB．πC．2π D．4πC小試牛刀3．

如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB長為25cm，貼紙部分的寬BD為15cm，若紙扇兩面

貼紙，則貼紙的面積為()A．175πcm2 B．350πcm2C.πcm2 D．150πcm2B5．如果一條弧長等于R，它的半徑是R，那么這條弧所對的圓心角

度數為_____，當圓心角增加30°時，這條弧長增加πR.6．如圖，點A，B，C在半徑為9的⊙O上，的長為2π，則∠ACB

的大小是_____.小試牛刀4．已知扇形的面積為240π，圓心角為150°，則扇形的半徑R＝____，

弧長l＝_____.2420π45°20°小試牛刀7．如圖所示，所在圓的半徑為R，的長為R，⊙O′和OA，OB分別相切于點C，E，且與⊙O內切于點D，求⊙O′的周長．解：如圖，連接OD，O′C，則O′在OD上．小試牛刀8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC＝

60°，OC＝2.(1)求OE和CD的長；小試牛刀8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC＝

60°，OC＝2.(2)求圓中陰影部分的面積．小試牛刀9.如圖1，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結果保留小數點后兩位）．O圖1⌒OABCD圖2解：如圖2，連接OA，OB，作弦AB的垂直平分線，

垂足為D，交AB于點C，連接AC.∵OC=0.6m，DC=0.3m，∴O