關于半群的刻畫

如果定義了半組s的元a，則a=a。當s的存在與a.a和xa相同時，a被認為是完全更正的。所有元都(完全)正則的半群稱為(完全)正則半群。x是半群S的正則元a的逆元,如果a=axa,同時有x=xax。定義2稱半群S的元a是(完全)Π-正則的,如果存在n∈N使得an(完全)正則,所有元都(完全)Π-正則的半群稱為(完全)Π-正則半群。定義3半群S中的元1S稱為幺元,如果對半群S的任意元a,有a1s=1sa=a。半群S中的元e稱為冪等元,如果e=e2。定義4設S、T是幺半群,End(T)表示T的自同態。令α∶End(T),α(s)是給定的半群同態映射。關于任意s∈S和t∈T,用ts表示t在α(s)下的象tα(s)。顯然有(t1t2)s=ts11sts22s,任意s∈S和t1,t2∈T,t(s1s2)=ts1ts2,t1s=t。半直積S×αT是關于以下乘法的一個半群,(s1,t1)(s2,t2)=(s1s2,ts2t2),(s1,t1),(s2,t2)∈S×αT。定義5半群S中的元b是a的σ-逆元,如果滿足a=aba,b=bab,且存在n∈N使得anb=bna。如果半群S中的任意元a存在唯一的σ-逆元,稱半群S是σ-逆半群。定義6正則半群中的冪等元乘積交換,且每個元的逆元唯一,則S是逆半群。注用E(S)表示S的冪等元。用Reg(S)表示S的正則元。用ts(m)表示tsm-1tsm-2…tst,其他未給出定義請見參考文獻。1σ-逆幺半群的半直積及結構引理1對半群S以下幾種情況等價:(1)S是σ-逆半群;(2)S逆且完全Π-正則;(3)S正則且任意元a存在e∈E(S),m∈N使(ae)m=(ea)m。引理2S,T是幺半群,如果半直積S×αT是σ-逆幺半群,則以下幾種情況成立:(1)S,T是σ-逆幺半群;(2)任意e∈E(S),如果tet=t則te=t;(3)任意e∈E(S),u∈E(T),則ue=u;(4)S,T是逆的且任意e∈E(S),te=t;(5)任意(s,t)∈S×αT,存在m∈N,(e,t1)∈E(S×αT)使(se)m=(es)m,(tet1)se(m)tet1=(ts11st)es(m)ts11st;(6)(e,t)∈E(S×αT)?e∈E(S),te=t∈E(T)。證明(1)任意s∈S,(s,t)∈S×αT,由引理1S×αT,正則,故存在(s1,t1)∈S×αT,使得(s,t)(s1,t1)(s,t)=(s,t),可知ss1s=s,即s正則,可知S正則。任意(s,t)∈S×αT,由引理1存在(e,t1)∈E(S×αT),存在m∈N,使((s,t)(e,t1))m=((e,t1)(s,t))m,即(se,tet1)m=(es,ts11st)m,可知(se)m=(es)m,由引理1,S是σ-逆幺半群。任意t∈T,(1s,t)∈S×αT,同理存在(1s,t1)∈S×αT,使得(1s,t)(1s,t1)(1s,t)=(1s,t),即(1s,t1st1s1t)=(1,t),所以tt1t=t,可知T正則。同理任意t∈T,(1s,t),存在(1s,t1)∈E(S×αT),t1∈E(T),使得((1s,t)(1s,t1))m=((1s,t1)(1s,t))m,即(1s,tt1)m=(t11s)m,(1s,(tt1)m),所以(tt1)m=(t1t)m,由引理1,T是σ-逆幺半群。(2)如果e∈E(S),t∈T,由tet=t知(e,te),(e,t)∈E(S×αT),te∈E(T)。所以,(e,tet)=(e,te)×(e,t)=(e,t)(e,te)=(e,tete)=(e,te),t=tet,故t=tet=te。(3)對任意e∈E(S),u∈E(T),知(1s,u),(e,1t)∈E(S×αT),所以(1s,u)(e,1t)=(e,1t)(1s,u),ue1t=11stu,即,ue=u。(4)S,T是σ-逆的,顯然是逆的。任意t∈T,由于T是σ-逆的,故存在唯一t1使t1=t1tt1,t=tt1t,用e作用亦有te=tetIe1t3,且tet1=(tet1)etet1,由(2)tet1=(tet1)e,tet1=tete11e。由于tt1∈E(T),由(3)tet1=(tt1)e=tt1。所以t1tt1=t1tet1=t1,tet1te=tete11ete=te,可見te是t逆元,有逆元唯一性知te=t。(5)由于S×αT是要σ-逆的,據引理1(3)對任意(s,t)∈S×αT,存在m∈N,(e,t1)∈E(S×αT)使((s,t)(e,t1))m=((e,t1)(s,t))m,(se,tet1)m=(es,ts11si)m,即((se)m,(tet1)se(m)tet1)=((es)m,(ts11st)es(m)ts11st),所以(se)m=(es)m,(tet1se(m)tet1=(ts11st)es(m)tts11st。(6)如果(e,t)∈E(S×αT),有(e,t)(e,t)=(e2,tet)=(e,t),所以e2=e∈E(s),tet=t。由(2)te=t∈E(T)。反之,顯然成立。定理1S,T是幺半群,則半直積S×αT是σ-逆幺半群當且僅當以下情況成立:(1)S,T是σ-逆幺半群;(2)任意e∈E(S),u∈E(T),則ue=u;(3)任意(s,t)∈S×αT,存在m∈N,(e,t1)∈E(S×αT)使(se)m=(es)m,(tet1)se(m)tet1=(ts11st)es(m)ts11st。證明必要性由引理2給出。下論充分性:顯然(1s,1t)是S×αT的幺元。任意(s,t)∈S×αT,由于S,T正則,故存在s1,t1使ss1s=s,tt1t=t。顯然s1s∈E(S),tt1∈E(T),由(2)(tt1)s1sss1=tt1。由(s,t)(s1,ts111s1)(s,t)=(ss1s,ts1sts1s11s1st)=(s,(tt1)s1st)=(s,tt1t)=(s