2023-2024學年浙江省麗水市四校聯考數學高二上期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．平行六面體的各棱長均相等，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點，弦長為整數且不超過2022的直線的條數是（）A.4037 B.4044C.2019 D.20223．已知拋物線的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若，則當最大時，（）A. B.1C. D.24．已知圓M的圓心在直線上，且點，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.5．直線關于直線對稱的直線方程為（）A. B.C. D.6．直線（t為參數）被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.7．已知拋物線，過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有（）條A.0 B.1C.2 D.38．已知，，則等于（）A.2 B.C. D.9．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.410．甲、乙兩組數的數據如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數、方差、極差及中位數中相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數 D.中位數11．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則（）A. B.C. D.12．已知直線與直線平行，且直線在軸上的截距比在軸上的截距大，則直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將全體正整數排成一個三角形數陣（如圖）：按照以上排列的規律，第9行從左向右的第2個數為__________.14．已知數列滿足，且，則______，數列的通項_____15．希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發現：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點P是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為___________________；若點Q為拋物線E：y2=4x上的動點，Q在直線x=-1上的射影為H，則的最小值為___________.16．在報名的3名男教師和3名女教師中，選取3人參加義務獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方法數為__________.(結果用數值表示)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區間上有唯一的零點.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：.18．（12分）已知一張紙上畫有半徑為4的圓O，在圓O內有一個定點A，且，折疊紙片，使圓上某一點剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點在軸上的標準方程；（2）過曲線C的右焦點（左焦點為）的直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.19．（12分）在中，，，為邊上一點，且（1）求；（2）若，求20．（12分）已知橢圓的離心率為，且經過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，經過點的直線與橢圓交于、兩點，若原點到直線的距離為，且，求直線的方程.21．（12分）已知是等差數列，是等比數列，且，，，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.22．（10分）已知函數，其中為實數.（1）若函數的圖像在處的切線與直線平行，求函數的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根據向量夾角公式求出【詳解】如圖所示：不妨設棱長為1，，，所以＝＝，，，即，故異面直線與所成角的余弦值為故選：B注意事項：1.將答案寫在答題卡上2.本卷共10小題，共80分.2、A【解析】根據已知條件，結合拋物線的性質，先求出過焦點的最短弦長，再結合拋物線的對稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質可得，過拋物線焦點中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點，長度最短的弦的長為，由拋物線的對稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有條，故弦長為整數且不超過2022的直線的條數是故選：A3、B【解析】根據拋物線的定義，結合換元法、配方法進行求解即可.【詳解】因為點P為該拋物線上的動點，所以點P的坐標設為，拋物線的焦點為F，所以，拋物線的準線方程為：，因此，令，，當時，即當時，有最大值，最大值為1，此時.故選：B4、C【解析】由題設寫出的中垂線，求其與的交點即得圓心坐標，再應用兩點距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因為點，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C5、C【解析】先聯立方程得，再求得直線的點關于直線對稱點的坐標為，進而根據題意得所求直線過點，，進而得直線方程.【詳解】解：聯立方程得，即直線與直線的交點為設直線的點關于直線對稱點的坐標為，所以，解得所以直線關于直線對稱的直線過點，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C6、C【解析】求得直線普通方程以及圓的直角坐標方程，利用弦長公式即可求得結果.【詳解】因為直線的參數方程為：（t為參數），故其普通方程為，又，根據，故可得，其表示圓心為，半徑的圓，則圓心到直線的距離，則該直線截圓所得弦長為.故選：C.7、D【解析】設出過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程，再與的方程聯立借助判別式計算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸，直線過點P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點，設過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過點與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點的直線有一條，所以過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有3條.故選：D8、D【解析】利用兩角和的正切公式計算出正確答案.【詳解】.故選：D9、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結果【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A10、C【解析】根據莖葉圖中數據的波動情況，可直接判斷方差不同；根據莖葉圖中的數據，分別計算極差、中位數、平均數，即可得出結果.【詳解】由莖葉圖可得：甲的數據更集中，乙的數據較分散，所以甲與乙的方差不同；甲的極差為；乙的極差為，所以甲與乙的極差不同；甲的中位數為，乙的中位數為，所以中位數不同；甲的平均數為，乙的平均數為，所以甲、乙的平均數相同；故選：C.11、C【解析】根據橢圓的定義可得，由即可求解.【詳解】由，可得根據橢圓的定義，所以.故選：C12、A【解析】分析可知直線不過原點，可設直線的方程為，其中且，利用斜率關系可求得實數的值，化簡可得直線的方程.【詳解】若直線過原點，則直線在兩坐標軸上的截距相等，不合乎題意，設直線的方程為，其中且，則直線的斜率為，解得，所以，直線的方程為，即.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、38【解析】根據數陣的規律求得正確答案.【詳解】數陣第行有個數，第行有個數，并且數字從開始，每次遞增.前行共有個數，第行從左向右的最后一個數是，所以第行從左向右的第個數為.故答案為：14、①.②.【解析】判斷出是等差數列，由此求得，利用累加法求得.【詳解】依題意，則，所以數列是以為首項，公差為的等差數列，所以，，當時，，，也符合上式，所以.故答案為：；15、①.②.【解析】（1）利用直譯法直接求出P點的軌跡（2）先利用阿氏圓的定義將轉化為P點到另一個定點的距離，然后結合拋物線的定義容易求得的最小值【詳解】設P（x，y），由阿氏圓的定義可得即化簡得則設則由拋物線的定義可得當且僅當四點共線時取等號，的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了拋物線的定義及幾何性質，同時考查了阿氏圓定義的應用．還考查了學生利用轉化思想、方程思想等思想方法解題的能力．難度較大16、18【解析】由題設，選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師，應用組合數求出選取方法數.【詳解】選取方式有：選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師，∴不同的選取方法有：種.故答案為：18.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【解析】（1）求出，，利用導數的幾何意義即可求得切線方程；（2）（ⅰ）根據題意對參數分類討論，當時，等價轉化，且構造函數，利用零點存在定理，即可求得參數的取值范圍；（ⅱ）根據（ⅰ）中所求得到與的等量關系，求得并構造函數，利用導數研究其單調性和最值，則問題得證.【小問1詳解】當時，，則，故，，則曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】（ⅰ）因為，故可得，因為，則當時，，則，無零點，不滿足題意；當時，若在有一個零點，即在有一個零點，也即在有一個零點，又，則單調遞增，則只需，解得.綜上所述，若在區間上有唯一的零點，則；（ⅱ）由（ⅰ）可知，若在區間上有唯一的零點，則，也即，則，令，則，又在都是單調增函數，故是單調增函數，又，故，則在單調遞增，則，故，即證.【點睛】本題考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的零點以及最值；處理問題的關鍵是合理轉化函數零點問題，以及充分利用零點存在定理，熟練掌握構造函數法，屬綜合困難題.18、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O、A為焦點的橢圓；(2)分為l斜率存在和不存在時討論，斜率存在時，直線方程和橢圓方程聯立，用韋達定理表示的面積，根據變量范圍可求面積的最大值﹒【小問1詳解】以OA中點G坐標原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖：∴可知，，設折痕與和分別交于M，N兩點，則MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的軌跡是以O，A為焦點，4為長軸的橢圓．∴M的軌跡方程C為；【小問2詳解】設，，則的周長為當軸時，l的方程為，，，當l與x軸不垂直時，設，由得，∵＞0，∴，，，令，則，，∵，∴，∴.綜上可知，S的取值范圍是19、（1）；（2）【解析】（1）在△中，由余弦定理，即可求.（2）在中，由正弦定理，即可求.【詳解】（1）在△中，，，，由余弦定理得：，∴（2）在中，，，，由正弦定理得：，即，∴20、（1）；（2）.【解析】（1）由已知條件可得出關于、、的方程組，求出這三個量的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）分析可知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，由點到直線的距離公式可得出，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由可得出，代入韋達定理求出、的值，由此可得出直線的方程.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則，解得，因此，橢圓的標準方程為；（2）若直線斜率不存在，則直線過原點，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設斜率為，設直線方程為，設、，原點到直線的距離為，，即①.聯立直線與橢圓方程可得，則，則，由韋達定理可得，.，則為線段的中點，所以，，，得，，所以，，整理可得，解得，即，，因此，直線的方程為或.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.21、（1）（2）【解析】（1）設是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列，運用通項公式可得，，進而得到所求通項公式；（2）求得，再由數列的求和方法：分