2023-2024學年四川省仁壽一中南校區高二數學第一學期期末監測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線過橢圓內一點，若點為弦的中點，設為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（）A. B.C. D.2．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.3．已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.4．120°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知，，，則CD的長為()A. B.C. D.5．執行如圖所示的程序框圖，若輸入t的取值范圍為，則輸出s的取值范圍為（）A. B.C. D.6．雙曲線：的左、右焦點分別為、，過的直線與y軸交于點A、與雙曲線右支交于點B，若為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.7．國際冬奧會和殘奧會兩個奧運會將于2022年在北京召開，這是我國在2008年成功舉辦夏季奧運會之后的又一奧運盛事.某電視臺計劃在奧運會期間某段時間連續播放5個廣告，其中3個不同的商業廣告和2個不同的奧運宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告，且2個奧運宣傳廣告不能相鄰播放，則不同的播放方式有（）A.120種 B.48種C.36種 D.18種8．下列命題錯誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件9．方程所表示的曲線為（）A.射線 B.直線C.射線或直線 D.無法確定10．設函數，若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.11．已知點為雙曲線的左頂點，點和點在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.12．七巧板是中國古代勞動人民發明的一種傳統智力玩具，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機地取一點，則該點恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點是橢圓上任意一點，則點到直線距離的最小值為______14．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點是圓上一個動點，且線段的中點在的一條漸近線上，若，則的離心率的取值范圍是________15．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是__________16．在空間直角坐標系Oxyz中，點在x，y，z軸上的射影分別為A，B，C，則四面體PABC的體積為______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）若，，，求邊長c；（2），，，求角C.18．（12分）已知拋物線的焦點F，C上一點到焦點的距離為5（1）求C的方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標為-1，求直線l的方程19．（12分）已知橢圓C：的焦距為，點在C上（1）求C的方程；（2）過點的直線與C交于M，N兩點，點R是直線：上任意一點，設直線RM，RQ，RN的斜率分別為，，，若，，成等差數列，求的方程.20．（12分）已知動圓過點且動圓內切于定圓：記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）若、是曲線上兩點，點滿足求直線的方程.21．（12分）已知數列的前n項和為，且（1）證明數列是等比數列，并求出數列的通項公式；（2）在與之間插入n個數，使得包括與在內的這個數成等差數列，其公差為，求數列的前n項和22．（10分）已知圓與直線相切（1）求圓O的標準方程；（2）若線段AB的端點A在圓O上運動，端點B的坐標是，求線段AB的中點M的軌跡方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設點與的坐標，進而可表示與，再結合兩點在橢圓上，可得的值.【詳解】設點與，則，，所以，，又點與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.2、C【解析】取中點，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數計算的正弦值.【詳解】取中點，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C3、D【解析】根據圓的割線定理，結合圓的性質進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因為，所以，于是有，因為，所以，而，或，所以，故選：D4、B【解析】由，把展開整理求解【詳解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B5、A【解析】由程序圖可得，，再分段求解函數的值域，即可求解【詳解】由程序圖可得，當時，，，當時，，，綜上所述，的取值范圍為，故選：A6、B【解析】由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對稱性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，從而即可求解.【詳解】解：由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對稱性有，所以，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理有，所以，解得，所以雙曲線C的離心率，故選：B.7、C【解析】先考慮最后位置必為奧運宣傳廣告，再將另一奧運廣告插入3個商業廣告之間，最后對三個商業廣告全排列，即可求解.【詳解】先考慮最后位置必為奧運宣傳廣告，有種，另一奧運廣告插入3個商業廣告之間，有種；再考慮3個商業廣告的順序，有種，故共有種.故選：C.8、C【解析】根據逆否命題的定義可判斷A；根據否命題的定義可判斷B；求出、，根據充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.9、C【解析】將方程化為或，由此可得所求曲線.【詳解】由得：或，即或，方程所表示的曲線為射線或直線.故選：C.10、C【解析】利用函數的奇偶性求出，求出函數的導數，根據導數的幾何意義，利用點斜式即可求出結果【詳解】函數的定義域為，若為奇函數，則則，即，所以，所以函數，可得；所以曲線在點處的切線的斜率為，則曲線在點處的切線方程為，即故選：C11、C【解析】設點在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點，故方程為.代入雙曲線方程，得點的坐標為.同理可得，點的坐標為.故的面積為,選C.12、A【解析】設七巧板正方形邊長為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計算作答.【詳解】設七巧板正方形邊長為4，則大陰影等腰三角形底邊長為4，底邊上的高為2，可得小正方形對角線長為2，小正方形邊長為，小陰影等腰直角三角形腰長為，小白色等腰直角三角形底邊長為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機地取一點，則該點恰好取自白色部分的概率為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求橢圓上平行于的直線方程，利用平行線的距離公式求橢圓上點到直線的最小值.【詳解】設與橢圓相切，且平行于的直線為，聯立橢圓整理可得：，則，∴，又兩平行線的距離，∴到直線距離的最小值為.故答案為：.14、【解析】設，，因為點是線段中點，所以有，代入坐標求出點的軌跡為圓，因為點在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點，利用點到直線的距離求出臨界狀態下漸近線的斜率，數形結合求出有公共點時漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍.【詳解】解：設，，因為點是線段的中點，所以有，即有，因為點在圓上，所以滿足：，代入可得：，即，所以點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示：因為點在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點，當兩條漸近線與圓恰好相切時為臨界點，則：圓心到漸近線的距離為，因為，所以，即，且，所以，此時，，當時，漸近線與圓有公共點，.故答案為：.15、1【解析】根據三視圖可得如圖所示的幾何體，從而可求其體積.【詳解】據三視圖分析知，該幾何體為直三棱柱，且底面為直角邊為1的等腰直角三角形，高為2，所以其體積故答案為：116、2【解析】將物體放入長方體中，切割處理求得體積.【詳解】如圖所示：四面體PABC可以看成以1,2,3為棱長的長方體切去四個全等的三棱錐，所以四面體PABC的體積為.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據余弦定理可求得答案；（2）根據正弦定理和三角形的內角和可求得答案.【小問1詳解】解：由余弦定理得：，所以.【小問2詳解】解：由正弦定理得：得，所以或120°，又因為，所以，所以或即或.18、（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線的定義，結合已知有求p，寫出拋物線方程.（2）由題意設直線l為，聯立拋物線方程，應用韋達定理可得，由中點公式有，進而求k值，寫出直線方程.【詳解】（1）由題意知：拋物線的準線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯立拋物線方程，得：，，若，則，而線段AB中點的縱坐標為-1，∴，即，得，∴直線l的方程為.【點睛】關鍵點點睛：（1）利用拋物線定義求參數，寫出拋物線方程；（2）由直線與拋物線相交，以及相交弦的中點坐標值，應用韋達定理、中點公式求直線斜率，并寫出直線方程.19、（1）（2）【解析】（1）根據橢圓的焦距為，點在C上，由求解；（2）設，，，的斜率不存在時，則的方程為，與橢圓的方程聯立求得M，N的坐標，由，，成等差數列求解；的斜率存在時，設的方程為，與橢圓的方程聯立，然后由，，成等差數列，結合韋達定理求解；【小問1詳解】解：由題意得，解得，，所以C的方程為.【小問2詳解】設，，，當的斜率不存在時，則的方程為，將代入，得.因為，，成等差數列，所以，即，顯然當時，方程恒成立.當的斜率存在時，設的方程為，聯立得，則，.，.因為，，成等差數列，所以，即恒成立.則，解得.綜上所述，的方程為.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據兩圓內切，以及圓過定點列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標公式可知，，再設直線的方程為與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因為，則點是的重心，易得直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【點睛】本題考查直線與橢圓的問題關系，本題的關鍵是根據求得，.21、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據公式得到，得到，再根據等比數列公式得到答案.（2）根據等差數列定義得到，再利用錯位相減法計算得到答案.【小