2024屆北師大萬寧附中數學高二上期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（）A.－23 B.－3C.－12 D.－132．已知實數x，y滿足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.13．執行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.4．若直線與互相平行，且過點，則直線的方程為（）A. B.C. D.5．已知拋物線的焦點坐標是，則拋物線的標準方程為A. B.C. D.6．在空間直角坐標系下，點關于平面的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.7．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.8．已知點到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或159．丹麥數學家琴生（Jensen）是世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設函數在上的導函數為，在上的導函數為，在上恒成立，則稱函數在上為“凹函數”.則下列函數在上是“凹函數”的是（）A. B.C. D.10．如圖，是函數的部分圖象，且關于直線對稱，則（）A. B.C. D.11．已知正實數x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.12．已知直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是“l1平行于l2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下列說法中，正確的有_________（填序號）.①“”是“方程表示橢圓”的必要而不充分條件；②若：，則：；③“，”的否定是“，”；④若命題“”為假命題，則命題一定是假命題；⑤是直線：和直線：垂直的充要條件.14．已知銳角的內角，，的對邊分別為，，，且．若，則外接圓面積的最小值為______15．設等差數列，前項和分別為，，若對任意自然數都有，則的值為______.16．若橢圓W：的離心率是，則m=___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l過定點（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程18．（12分）某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，出現故障時需1名工人進行維修，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，每臺機器出現故障的概率為（1）若出現故障的機器臺數為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障時能及時維修，都產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？19．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中語文、數學、外語三科為必考科目，另外考生根據自己實際需要在政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術7門科目中自選3門參加考試．下面是某校高一200名學生在一次檢測中的物理、化學、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，畫出頻率分布直方圖如下圖所示（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖，求物理、化學、生物三科總分成績的第60百分位數；（3）若小明決定從“物理、化學、生物、政治、技術”五門學科中選擇三門作為自己的選考科目，求小明選中“技術”的概率20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，圓O以原點為圓心，且經過點.（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O交于兩點A，B，求弦長.21．（12分）2017年5月27日當今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機大戰中中盤棄子認輸，至此柯潔與的三場比賽全部結束，柯潔三戰全負，這次人機大戰再次引發全民對圍棋的關注，某學校社團為調查學生學習圍棋的情況，隨機抽取了100名學生進行調查，根據調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.（1）請根據已知條件完成下面列聯表，并據此資料你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關？非圍棋迷圍棋迷合計男女1055合計（2）為了進一步了解“圍棋迷”的圍棋水平，從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學生組隊參加校際交流賽，首輪該校需派兩名學生出賽，若從5名學生中隨機抽取2人出賽，求2人恰好一男一女的概率.參考數據:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）近年來，我國電子商務蓬勃發展.2016年“618”期間，某網購平臺的銷售業績高達516億元人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對該網購平臺的商品和服務的評價系統.從該評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計，網購者對商品的滿意率為0.6，對服務的滿意率為0.75，其中對商品和服務都滿意的交易為80次.（1）根據已知條件完成下面的列聯表，并回答能否有的把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”?對服務滿意對服務不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該網購平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務都滿意的次數為隨機變量，求的分布列和數學期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測值：（其中）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內切，從而可求出結果.【詳解】因為圓，圓心為，半徑為；圓可化為，圓心為，半徑，又圓與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓內切，因此，即，解得.故選：A.2、A【解析】作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求出的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，由可知，此直線可用由直線平移得到，求的最大值，即直線的截距最大，當直線過直線的交點時取最大值，即故選：3、C【解析】按照程序框圖的流程進行計算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C4、D【解析】由題意設直線的方程為，然后將點代入直線中，可求出的值，從而可得直線的方程【詳解】因為直線與互相平行，所以設直線的方程為，因為直線過點，所以，得，所以直線的方程為，故選：D5、D【解析】根據拋物線的焦點坐標得到2p=4,進而得到方程.【詳解】拋物線的焦點坐標是,即p=2,2p=4,故得到方程為.故答案為D.【點睛】這個題目考查了拋物線的標準方程的求法，題目較為簡單.6、C【解析】根據空間坐標系中點的對稱關系求解【詳解】點關于平面的對稱點的坐標為，故選：C7、C【解析】根據題意得，進而根據投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C8、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.9、B【解析】根據“凹函數”的定義逐項驗證即可解出【詳解】對A，，當時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤故選：B10、C【解析】先根據條件確定為函數的極大值點，得到的值，再根據圖像的單調性和導數幾何意義得到和的正負即可判斷.【詳解】根據題意得，為函數部分函數的極大值點，所以，又因為函數在單調遞增，由圖像可知處切線斜率為銳角，根據導數的幾何意義，所以，又因為函數在單調遞增，由圖像可知處切線斜率為鈍角，根據導數的幾何意義所以.即.故選：C.11、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實數x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當且僅當時取等號，∴的最小值為.故選：A12、C【解析】利用兩直線平行的等價條件求得m，再結合充分必要條件進行判斷即可.【詳解】由直線l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經驗證，當m＝－1時，直線l1與l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要條件，故選C.【點睛】本題考查兩直線平行的條件，準確計算是關鍵，注意充分必要條件的判斷是基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解析】根據橢圓方程的結構特征可判斷①；注意到分式不等式分母不等于0可判斷②；由全稱命題的否定可判斷③；根據復合命題的真假可判斷④；由直線垂直的充要條件可判斷⑤.【詳解】①中，當時，方程為，表示圓，若方程表示橢圓，則，解得或，故①正確；②中，，故為：，而，故②不正確；③中，“，”的否定應為“，”，故③不正確；④中，若命題“”為假命題，有可能為真或為假，故④不正確；⑤中，，解得或，故是直線：和直線：垂直的充分不必要條件，故⑤不正確.故答案為：①14、【解析】利用二倍角公式求出，即可得到，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即可求出外接圓的面積；【詳解】解：因為，所以，解得或（舍去）．又為銳角三角形，所以．因為，當且僅當時等號成立，所以．外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為故答案為：15、【解析】由等差數列的性質可得：．再利用已知即可得出【詳解】由等差數列的性質可得：對于任意的都有，則故答案為：【點睛】本題考查了等差數列的性質，求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題16、或【解析】按照橢圓的焦點在軸和在軸上兩種情況分別求解，可得所求結果【詳解】①當橢圓的焦點在軸上時，則有，由題意得，解得②當橢圓的焦點在軸上時，則有，由題意得，解得綜上可得或故答案為或【點睛】解答本題的關鍵有兩個：一個是注意分類討論思想方法的運用，注意橢圓焦點所在的位置；二是解題時要分清橢圓方程中各個參數的幾何意義，然后再根據離心率的定義求解三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)求出直線的斜率可得l的斜率，再借助直線點斜式方程即可得解.(2)按直線l是否過原點分類討論計算作答.【小問1詳解】直線的斜率為，于是得直線l的斜率，則，即，所以直線l的方程是：.【小問2詳解】因直線l在兩坐標軸上的截距相等，則當直線l過原點時，直線l的方程為：，即，當直線l不過原點時，設其方程為：，則有，解得，此時，直線l的方程為：，所以直線l的方程為：或.18、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設出現故障的機器臺數為X，由題意知，即可由二項分布求解；（2）設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機器運行是否出現故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障的概率為，4臺機器相當于4次獨立試驗設出現故障的機器臺數為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設“在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修”的概率為，則：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保證在任何時刻多臺機器同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于90%當該廠雇傭3名工人時，設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為17，12，，，∴Y的分布列為：Y1712P∴，∴該廠獲利的均值為16.9萬元當該廠雇傭4名工人時，4臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率為100%，該廠獲利的均值為萬元∴若該廠要保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%時，雇傭3名工人使該廠每月獲利最大19、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由頻率和為1列方程求解即可，（2）由于前3組的頻率和小于0.6，前4組的頻率和大于0.6，所以三科總分成績的第60百分位數在第4組內，設第60百分位數為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，從而可求得結果，（3）利用列舉法求解即可【小問1詳解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小問2詳解】因為(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科總分成績的第60百分位數在[220，240)內，設第60百分位數為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，解得=232，即第60百分位數為232【小問3詳解】將物理、化學、生物、政治、技術5門學科分別記作．則事件A表示小明選中“技術”，則，所以P(A)=20、（1）（2）【解析】（1）根據兩點距離公式即可求半徑，進而得圓方程；（2）根據直線與圓的弦長公式即可求解【小問1詳解】由，所以圓O的方程為；【小問2詳解】由點O到直線的距離為所以弦長21、(1)沒有95%把握認為“圍棋迷”與性別有關.(2).【解析】（1）由頻率分布直方圖求得頻率與頻數，填寫列聯表，計