投入產出分析的理論與實踐

投入產出分析是經濟分析和預測的重要方法之一。這是對經濟系統各部分的投資和產出比率的分析。這是經濟和數學的結合產物。投入是指產品生產所需的原材料、輔助材料、燃料、動力、固定資產折舊和勞動力的投入;產出是指產品生產的總量及其分配使用的方向和數量,如用于生產消費、生活消費、積累和凈出口等。投入產出表反映了生產與使用間的數量關系。在價值型投入產出分析表中,其基本平衡關系的數學表達式為:AX+Y=X。式中,A為一個n階直接消耗系數方陣,其元素aij是非負的,其含義是生產某種單位產品對另一種產品的消耗量。X為總產出向量,AX為中間產出向量,Y為最終產出向量。根據矩陣運算,由上式可推出:(I-A)X=Y,等式中的(I-A)同樣是n階方陣,從數學形式上看,是單位矩陣與-A矩陣的迭加,從經濟意義上講,則是單位產品中的投入產出關系。分布在矩陣主對角線的元素(1-aii),由于aii<1,故(1-aii)>0,元素均為正值,表示除去自身消耗的凈產出,主對角線以外元素均為負數或零,反映單位產品的投入。投入產出分析是應用型經濟預測模型。在模型的求解過程中,還需要具備一些滿足經濟意義的條件,才能得到合理的結果。要使投入產出模型得到合乎經濟意義的解釋,需要具備一些條件。首先是在抽象進出口的條件下,各部門的最終產品與總產品都不能出現負值;用價值量計算的直接消耗系數應是非負的,而且小于1,否則生產過程無法進行;各部門的直接消耗系數之和小于1,不然的話,生產也無意義。在數學上,要使得問題有解,需要滿足霍金斯—西蒙條件。這個條件的滿足,使得該投入產出模型在數學上有解,那么,從經濟的角度來講,霍金斯—西蒙條件又說明什么呢?霍金斯—西蒙條件說明,在投入產出分析中,對于非負的最終需求Y,具有正的均衡總產出X的充要條件是n階行列式|I-A|的各階主子式都大于零,即1-a11＞0,|1-a11-a12-a211-a22|＞0,?對于1-aii>0,其經濟解釋是任何部門生產一個單位的總產出所消耗的本部門產品必須小于1個單位,否則該部門的生產沒有任何意義,即如果消耗系數大于1,表示生產過程中的物質消耗要多于生產成果,這種生產過程無法進行。稱1-aii為凈產出系數,它是i部門生產1個單位的總產品能夠提供給中間需求部門使用的產出量。投入產出分析作為研究多部門經濟聯系的理論與方法,一般將國民經濟至少分為兩個以上的部門,對凈產出系數的經濟解釋只是部分地說明了霍金斯—西蒙條件的經濟內涵。一個國民經濟系統對于非負的最終需求,如何才具有正的均衡總產出呢?沿著凈產出系數大于0的思路,可以這樣設想一下:在不考慮基本生產要素投入的制約的情況下,如果國民經濟每一個部門生產的大于零的任意數量的總產出大于由此帶來的對該部門產品的直接和間接的消耗之和,國民經濟各部門就可以生產出適量的總產出(均衡解)來滿足非負的最終需求;反之,如果有的部門總產出小于由此帶來的對該部門產品直接和間接的消耗的總和,則該部門無論生產多少也無法提供最終產品。為了進一步說明這個問題,我們定義以下幾個概念:1.最少需求量:該部門任意數量的總產出所需要的直接消耗和間接消耗之和稱為對應某總產出量的最少需求量。2.完全總產出:總產出與最少需求量之差為對應該部門某總產出量的完全總產出。3.最少產出量:其他各部門的只滿足中間需求,最終產品為0總產出為對應該部門某總產出量的最少產出量。4.基準最少需求量:由于投入產出體系是線性體系,稱對應該部門1個單位總產出量的最少需求量為基準最少需求量。5.完全凈產出系數:對應該部門1個單位總產出量的完全凈產出為完全凈產出系數。6.基準最少產出量:對應該部門1個單位總產出量的最少產出量為基準最少產出量。根據投入產出分析的原理和上述定義,第i個部門生產1個單位總產出對本部門產品的直接消耗是aii,對本部門產品的間接消耗是由此誘發的其他部門生產基準最少產出量(Xlj)的過程中消耗的第i部門產品,其數量為n∑i≠iaijX′j,直接消耗加上間接消耗(aii+n∑i≠iaijX′j)是第i部門的基準最少需求量。1個單位總產出減去基準最少需求量[1-(aii+n∑i≠iaijX′j)=y′j]是第i部門的完全凈產出系數。相對凈產出系數(1-aii),只是站在部門的角度來反映該部門由生產技術決定的實物供給能力,完全凈產出系數y′j,則是站在整個國民經濟的角度來全面衡量該部門由生產技術決定的實物供給能力,因而能說明更深層次的問題。運用完全凈產出的概念,可以將前面所述的國民經濟運行的基本條件簡明地概括為:國民經濟每一部門對應(該部門)任意正的總產出的完全凈產出大于零,即國民經濟所有部門的完全凈產出恒大于零。為證明國民經濟各部門的完全凈產出恒大于零是霍金斯—西蒙條件的經濟內涵,我們設計一個特殊的投入產出體系。不失一般性,設第1部門任意正的總產出量為X′1,其他各部門的總產出只滿足中間需求,不提供最終產品,那么相應的投入產出表如表1:上表的平衡關系如下:a11X′1+n∑j=2a1jXj+t1=X′1(X′1＞0)(1)ai1X′1+n∑j=2aijXj=Xi(i=2,3,?,n)(2)通過這個投入產出體系,我們來證明霍金斯—西蒙條件是國民經濟各部門的完全凈產出恒大于零的充分必要條件。必要性證明:如果這個體系的所有部門的完全凈產出恒大于零,則a11X′1+n∑j=2a1jXj為第1部門對應總產出量X′1的最少需求量,t1為第1部門的完全凈產出且恒大于0,即X′1在正值空間取任何值,都有t0>0,X2,…,Xn為其他各部門對應第1部門總產出量X′1的最少產出量,且Xi>0,(i=2,3,…,n)。這就是霍金斯—西蒙條件中,由非負的最終需求和正的總產出組成的體系。由于能夠通過行和列的相同變換將任一部門調為第1部門,故上述體系具有一般性。這就證明了所有部門的完全凈產出恒大于零必然滿足霍金斯—西蒙條件。充分性證明:如果這個體系滿足霍金斯—西蒙條件,式(2)可以視為是n-1階的投入產出體系,對于非負的a11X′1,有Xi>0,(i=2,3,…,n),則t1為第1部門的凈產出。將式(2)改寫為{(1-a22)X2-a23X3-?-a2nXn=a21X′1-a23X2+(1-a33)X3-?-a3nXn=a31X′1???-an2X2-an3X3-?+(1-ann)Xn=an1X′1由克萊姆法則有Xj=Dj/D(j=2,3,…,n)(3)其中行列式D=|1-a22-a23?-a2n-a321-a33?-a2n????-an2-an3?1-ann|?D2=|a21X′1-a23?-a2na31X′11-a33?-a2n????an1X′1-an3?1-ann|將式(3)代入式(1),整理得y1=[(1-a11)D-(a12D′2+a13D′3+…+a1nD′n)]X′1/D(4)式(4)中括號里的值等于n階行列式|I-A|,將|I-A|按照第1行展開,得:t1=X′1|I-A|