第第頁山西省太原市名校2023-2024學年高三上學期第一次月考數學試題（含答案）太原市名校2023-2024學年高三上學期第一次月考

數學試題

考查時間：120分鐘滿分：150分考查內容：高中數學全部內容

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1．已知復數，在復平面內對應的點分別為，，若是純虛數，則（）

A．B．C．D．2

2．已知，若是的必要條件，則實數的取值范圍是（）

A．B．C．D．

3．若函數在單調遞減，則a的取值范圍（）

A．B．C．D．

4．若向量和向量平行，則（）．

A．B．C．D．

5．若點是圓的弦的中點，則弦所在的直線方程為（）

A．B．

C．D．

6．等差數列的公差為，前項為，若數列的最大項是第20項和第21項，則（）

A．18B．20C．22D．24

7．已知，且，則的值為（）

A．B．C．D．

8．若正數滿足，則的最小值是（）

A．B．C．D．

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯得0分.

9．一組數據是公差為的等差數列，若去掉首末兩項，則（）

A．平均數變大B．中位數沒變C．方差變小D．極差沒變

10．已知函數為上的奇函數，且，當時，，則（）

A．B．

C．D．

11．已知是拋物線的焦點，，是拋物線上的兩點，為坐標原點，則（）

A．拋物線的準線方程為

B．若，則的面積為

C．若直線過焦點，且，則到直線的距離為

D．若，則

12．在圓錐SO中，C是母線SA上靠近點S的三等分點，，底面圓的半徑為r，圓錐SO的側面積為3π，則（）

A．當時，從點A繞圓錐側面一周到點C的最小長度為

B．當時，過頂點S和兩母線的截面三角形的最大面積為

C．當時，圓錐SO的外接球表面積為

D．當時，棱長為的正四面體在圓錐SO內可以任意轉動

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.

13．已知函數的圖象與直線相切，則.

14．的展開式中常數項為.（用數字作答）

15．已知函數的部分圖象如圖所示，其中，則．

16．已知雙曲線的左右焦點分別為，離心率為2，焦點到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點，若分別為與的內心，則的取值范圍為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17．（10分）已知，，分別為內角，，的對邊，且．

(1)求的值；

(2)若面積為，求邊上的高的最大值．

18．（12分）如圖，為圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不與點重合的點，連接，作于點于點.

(1)求證：是二面角的平面角；

(2)若，求二面角的正弦值.

19．（12分）已知一袋中裝有30個球，每個球上分別標有1，2，3，…，30的一個號碼，設號碼為n的球重為（單位：克），這些球等可能的從袋中被取出.

(1)現從中不放回地任意取出2球，試求它們重量相等的概率；

(2)現從中任意取出1球，若它的重量小于號碼數，則放回，攪拌均勻后重取一球；若它的重量不小于號碼數，則停止取球.按照以上規則，最多取球3次，設停止之前取球次數為，求的分布列和期望.

20．（12分）設等差數列的前n項和為，已知．

(1)求數列的通項公式；

(2)設，數列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數，例如．當時，求n的值．

21．（12分）橢圓的左、右頂點分別為，過左焦點的直線與橢圓交于兩點（其中點位于x軸上方），當垂直于軸時，．

(1)求橢圓的方程；

(2)記直線的斜率分別為，求的最小值．

22．（12分）已知函數．

(1)若，求的單調區間；

(2)若在上有兩個極值點（）．

（i）求實數a的取值范圍；

（ii）求證：．太原市名校2023-2024學年高三上學期第一次月考

數學試題評分細則

1-8AABCDCAB9.BC10.AC11.BD12.ACD

13．．14．84.15．2.16．

7．【詳解】由可得，

由可得，

兩式相加可得，所以，

因為，，所以，

所以，

故選：A

8.【詳解】由可得時等號成立，

所以，

所以時，的最小值是，

故選：B

9．【詳解】數據是公差為的等差數列，

對于A，原數據的平均數，

去掉首末兩項后的平均數，即平均數不變，A不正確；

對于B，原數據的中位數為，去掉首末兩項后的中位數為，即中位數不變，B正確；

對于C，原數據的方差，

去掉首末兩項后的方差，即方差變小，C正確；

對于D，原數據的極差，去掉首末兩項后的極差，即極差變小，D不正確.

故選：BC

10.

11.【詳解】對于A中，拋物線可得其準線方程為，所以A錯誤；

對于B中，設，因為，可得，解得，可得，

所以，所以B正確；

對于C中，拋物線，可得其焦點坐標為，

當直線的斜率不存在時，可得，不符合題意；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立方程組，整理得，

設，可得，

根據拋物線的定義，可得，解得，

所以直線的方程為，

不妨取，所以到直線的距離為，所以C錯誤；

對于D中，設直線的方程為（不妨設）

由，可得，則，

因為，此時直線的方程為，可得，

所以，

當且僅當時，即時，等號成立，所以D正確.

故選：BD.

12．【詳解】依題意，，

對于A，當時，，，圓錐的側面展開圖，如圖，

側面展開圖扇形弧長即為圓錐的底面圓周長，則，在中，由余弦定理得：

，即，A正確；

對于B，當時，有，令圓錐SO的軸截面等腰三角形頂角為，，

為鈍角，令P，Q是圓錐SO的底面圓周上任意的不同兩點，則，

則有的面積，當且僅當時取“=”，B不正確；

對于C，當時，，圓錐SO的外接球球心在直線SO上，圓錐的底面圓是球的截面小圓，而圓錐的高，

設外接球半徑為R，則有，即，解得，其表面積為，C正確；

對于D，棱長為的正四面體可以補形成正方體，如圖，

則正方體棱長，其外接球即正四面體的外接球直徑為，球半徑，

當時，，圓錐SO的內切球球心在線段SO上，圓錐的軸截面截內切球得大圓，是圓錐軸截面等腰三角形內切圓，

設其半徑為，由三角形面積得：，解得，，

因此，半徑為的球在圓錐SO內可以任意轉動，

而棱長為的正四面體的外接球的半徑為，

故棱長為的正四面體在半徑為的球內可以任意轉動，

所以當時，棱長為的正四面體在圓錐SO內可以任意轉動，D正確.

故選：ACD

15．【詳解】由圖可知，

因為，所以函數的圖象關于對稱且在處函數取得最大值，

所以，所以，，

解得，，

又，即，即且，所以，

所以或，

當時，此時，不符合題意，

當時，此時，符合題意，

所以.

故答案為：

16．【詳解】設半焦距為，

由題意知，

，

所以，

所以，

雙曲線.

記的內切圓與邊，，分別相切于點，

則橫坐標相等，

則，，，

由，

即，

得，

即，

記的橫坐標為，

則，

于是，得，

同理內心的橫坐標也為，則軸.

設直線的傾斜角為，

則，

在中，

，

由于直線與的右支有2個交點，且一條漸近線的斜率為，傾斜角為，

可得，

即，

可得的范圍是.

17．【詳解】（1）∵，∴，………….2分

，，

∴，………….4分

∵，

∴………….5分

（2）由面積為得：，而，

∴………….6分

∵邊上的高為，

∴，則，………….7分

∵，

∴，當且僅當時，取“=”，………….9分

即的最小值為2．此時最大為．………….10分

18．【詳解】（1）因為垂直于圓所在的平面，即平面，平面，所以，

又因為為圓的直徑，所以,

，平面，所以平面，

平面，所以，………….2分

又因為，，平面，所以平面，

平面，所以，………….4分

又因為，平面，所以平面，

平面，所以，………….6分

所以是二面角的平面角.

（2）設，因為，

所以，………….7分

過點作的平行線為軸，并以為軸建系如圖，

則，

設平面的法向量為，

所以令則，

所以，………….9分

設平面的法向量為，

所以令則，

所以，………….10分

設二面角的大小為，

則，………….11分

所以.………….12分

19．【詳解】（1）令，其對稱軸為且，

所以不放回地任意取出2球重量相等的號碼有、、、、，

故不放回地任意取出2球重量相等概率為.………….4分

（2）由（1），，即或且，

所以，取到共23個中的一個，即可停止取球，

故每次取到球后停止的概率為，而，………….7分

，，，………….10分

分布列如下：

123

所以.………….12分

20．【詳解】（1）設等差數列的公差為d，因為，則．

因為，則，得．

所以數列的通項公式是．………….4分

（2）因為，則………….6分

所以

．………….8分

當時，因為，則．

當時，因為，則．………….10分

因為，則，即，

即，即．因為，所以………….12分

21．【詳解】（1）因為橢圓的左焦點為，

所以，…………1分

將代入，得，

故，………….2分

解得，，

∴橢圓方程為．………….5分

（2）因為直線過點，且點位于x軸上方，

所以直線斜率不為0，設直線的方程為，…………6分

聯立

消去x得，．

方程的判別式，

設，，由已知，

于是，…………7分

所以，，………….8分

又橢圓的左頂點的坐標為，右頂點的坐標為，

所以，

因為，，，

所以，，

因為，………….9分

所以，即，………….10分

所以，當且僅當，即時等號成立，

所以當時，取最小值，最小值為．………….12分

22．【詳解】（1），………….1分

令，所以，

所以，當，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

所以，………….2分

所以當時，，當時，，

所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為．………….4分

（2）（i）因為，要使在上有兩個極值點，，

則在上有兩個變號的零點，………….5分

①時，則，由（1）知，，所以，所以在上沒有兩個變號的零點，不合題意，舍去.………….6分

②當時，因為，