遼寧高考高中數學基礎知識歸納第一部分集合１.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵：元素是函數關系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點？…２數形結合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數軸、直角坐標系或韋恩圖等工具，將抽象的代數問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數形結合的思想方法解決３.（１）元素與集合的關系：,.（２）德摩根公式：.（３）注意：討論的時候不要遺忘了的情況.（４）集合的子集個數共有個；真子集有–１個；非空子集有–１個；非空真子集有–２個.４．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分函數與導數１．映射：注意:１第一個集合中的元素必須有象；２一對一或多對一.２．函數值域的求法：１分析法；２配方法；３判別式法；４利用函數單調性；５換元法；⑥利用均值不等式；⑦利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數有界性（、、等）；⑨平方法；=１0\*GB３⑩導數法３．復合函數的有關問題:（１）復合函數定義域求法：１若f（x）的定義域為［a，b］,則復合函數f[g（x）]的定義域由不等式a≤g（x）≤b解出２若f[g（x）]的定義域為[a,b],求f（x）的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g（x）的值域.（２）復合函數單調性的判定：１首先將原函數分解為基本函數：內函數與外函數２分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性３根據“同性則增，異性則減”來判斷原函數在其定義域內的單調性.４．分段函數：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。５．函數的奇偶性:⑴函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件⑵是奇函數；是偶函數.⑶奇函數在0處有定義，則⑷在關于原點對稱的單調區間內：奇函數有相同的單調性，偶函數有相反的單調性⑸若所給函數的解析式較為復雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性6．函數的單調性:⑴單調性的定義：１在區間上是增函數當時有；２在區間上是減函數當時有；⑵單調性的判定：=１\*GB３１定義法：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；２導數法（見導數部分）；３復合函數法；４圖像法注：證明單調性主要用定義法和導數法。7．函數的周期性：（１）周期性的定義：對定義域內的任意，若有（其中為非零常數），則稱函數為周期函數，為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（２）三角函數的周期：１；２；３；４；５（３）與周期有關的結論：或的周期為8．基本初等函數的圖像與性質：㈠.⑴指數函數：；⑵對數函數:；⑶冪函數：（；⑷正弦函數:；⑸余弦函數：；（6）正切函數：；⑺一元二次函數：（a≠0）；⑻其它常用函數：正比例函數：；２反比例函數：；３函數㈡.⑴分數指數冪：；（以上，且）.⑵.１；２；３；４.⑶.對數的換底公式:.對數恒等式:.9．二次函數：⑴解析式：１一般式：；２頂點式：，為頂點；３零點式：（a≠0）.⑵二次函數問題解決需考慮的因素：１開口方向；２對稱軸；３端點值；４與坐標軸交點；５判別式；⑥兩根符號。二次函數的圖象的對稱軸方程是，頂點坐標是。１0．函數圖象：⑴圖象作法：１描點法（特別注意三角函數的五點作圖）２圖象變換法３導數法⑵圖象變換：平移變換：ⅰ），———左“+”右“—”；ⅱ）———上“+”下“—”；對稱變換：ⅰ）；ⅱ）；ⅲ）；ⅳ）；翻折變換：ⅰ）———（去左翻右）y軸右不動，右向左翻（在左側圖象去掉）；ⅱ）———（留上翻下）x軸上不動，下向上翻（||在下面無圖象）；１１．函數圖象（曲線）對稱性的證明：（１）證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（２）證明函數與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然。注：１曲線C１:f（x,y）=0關于原點（0,0）的對稱曲線C２方程為：f（—x,—y）=0;曲線C１:f（x,y）=0關于直線x=0的對稱曲線C２方程為：f（—x,y）=0;曲線C１:f（x,y）=0關于直線y=0的對稱曲線C２方程為：f（x,—y）=0;曲線C１:f（x,y）=0關于直線y=x的對稱曲線C２方程為：f（y,x）=0２f（a+x）=f（b—x）（x∈R）y=f（x）圖像關于直線x=對稱；特別地：f（a+x）=f（a—x）（x∈R）y=f（x）圖像關于直線x=a對稱.３的圖象關于點對稱.特別地：的圖象關于點對稱.=４\*GB３４函數與函數的圖象關于直線對稱;函數與函數的圖象關于直線對稱。１２．函數零點的求法：⑴直接法（求的根）；⑵圖象法；⑶二分法.（４）零點定理：若y=f（x）在[a,b]上滿足f（a）·f（b）<0,則y=f（x）在（a,b）內至少有一個零點。１３．導數：⑴導數定義：f（x）在點x0處的導數記作⑵常見函數的導數公式：１；２；３；４；５；⑥；⑦；⑧。⑶導數的四則運算法則：⑷（理科）復合函數的導數：⑸導數的應用：１利用導數求切線：注意：ⅰ）所給點是切點嗎？ⅱ）所求的是“在”還是“過”該點的切線？２利用導數判斷函數單調性：=１\*romani）是增函數；=２\*romanii）為減函數；=３\*romaniii）為常數；３利用導數求極值：ⅰ）求導數；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得極值。４利用導數求最大值與最小值：ⅰ）求極值；ⅱ）求區間端點值（如果有）；ⅲ）比較得最值。第三部分三角函數、三角恒等變換與解三角形１．⑴角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度⑵弧長公式：；扇形面積公式：。２．三角函數定義:角終邊上任一點（非原點）P,設則：３．三角函數符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（簡記為“全stc”）４．誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符號看象限”５．⑴對稱軸：令，得對稱中心：；⑵對稱軸：令，得；對稱中心：；⑶周期公式:１函數及的周期（A、ω、為常數，且A≠0）.２函數的周期（A、ω、為常數，且A≠0）.6．同角三角函數的基本關系：7．三角函數的單調區間及對稱性：⑴的單調遞增區間為,單調遞減區間為，對稱軸為,對稱中心為.⑵的單調遞增區間為,單調遞減區間為，對稱軸為,對稱中心為.⑶的單調遞增區間為，對稱中心為.8．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：１；；.２；.３=（其中,輔助角所在象限由點所在的象限決定,）.9．二倍角公式：１.２（升冪公式）.（降冪公式）.１0．正、余弦定理：⑴正弦定理：（是外接圓直徑 ）注：１；２；３。⑵余弦定理：等三個；等三個。１１．幾個公式:⑴三角形面積公式：１（分別表示a、b、c邊上的高）；２.=３\*GB３３⑵內切圓半徑r=；外接圓直徑２R=第四部分立體幾何１．三視圖與直觀圖：=１\*GB２⑴畫三視圖要求：正視圖與俯視圖長對正；正視圖與側視圖高平齊；側視圖與俯視圖寬相等。=２\*GB２⑵斜二測畫法畫水平放置幾何體的直觀圖的要領。２．表（側）面積與體積公式：⑴柱體：１表面積：S=S側+２S底；２側面積：S側=；３體積：V=S底h⑵錐體：１表面積：S=S側+S底；２側面積：S側=；３體積：V=S底h：⑶臺體：１表面積：S=S側+S下底;２側面積：S側=;３體積：V=（S+）h；⑷球體：１表面積：S=；２體積：V=.３．位置關系的證明（主要方法）：⑴直線與直線平行：１公理４；２線面平行的性質定理；３面面平行的性質定理。⑵直線與平面平行：１線面平行的判定定理；２面面平行線面平行。⑶平面與平面平行：１面面平行的判定定理及推論；２垂直于同一直線的兩平面平行。⑷直線與平面垂直：１直線與平面垂直的判定定理；２面面垂直的性質定理。⑸平面與平面垂直：１定義————兩平面所成二面角為直角；２面面垂直的判定定理。注：以上理科還可用向量法。４．求角：（步驟———————Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）⑴異面直線所成角的求法：１平移法：平移直線，構造三角形；２用向量法⑵直線與平面所成的角：１直接法（利用線面角定義）；２用向量法５．求距離：（步驟———————Ⅰ.找或作垂線段；Ⅱ.求距離）點到平面的距離：１等體積法；２向量法6．結論：⑴棱錐的平行截面的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．⑵長方體從一個頂點出發的三條棱長分別為a，b，c，則體對角線長為，全面積為２ab+２bc+２ca，體積V=abc。⑶正方體的棱長為a，則體對角線長為，全面積為，體積V=。⑷球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.⑷正四面體的性質：設棱長為，則正四面體的：高：；２對棱間距離：；３內切球半徑：；４外接球半徑：。第五部分直線與圓１．斜率公式：，其中、.直線的方向向量，則直線的斜率為=.２．直線方程的五種形式：（１）點斜式：（直線過點，且斜率為）．（２）斜截式：（為直線在軸上的截距）.（３）兩點式：（、，）.（４）截距式：（其中、分別為直線在軸、軸上的截距，且）.（５）一般式：（其中A、B不同時為0）.３．兩條直線的位置關系：（１）若，,則：１∥,；２.（２）若,,則：１且；２.４．求解線性規劃問題的步驟是：（１）列約束條件；（２）作可行域，寫目標函數；（３）確定目標函數的最優解。５．兩個公式:⑴點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離：；⑵兩條平行線Ax+By+C１=0與Ax+By+C２=0的距離6．圓的方程：⑴標準方程：１；２。⑵一般方程：（注：Ax２+Bxy+Cy２+Dx+Ey+F=0表示圓A=C≠0且B=0且D２+E２—４AF>07．圓的方程的求法：⑴待定系數法；⑵幾何法。8．點、直線與圓的位置關系：（主要掌握幾何法）⑴點與圓的位置關系：（表示點到圓心的距離）１點在圓上；２點在圓內；３點在圓外。⑵直線與圓的位置關系：（表示圓心到直線的距離）１相切；２相交；３相離。⑶圓與圓的位置關系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）１相離；２外切；３相交；４內切；５內含。9．直線與圓相交所得弦長第六部分圓錐曲線１．定義：⑴橢圓：；⑵雙曲線：；⑶拋物線：|MF|=d２．結論：⑴直線與圓錐曲線相交的弦長公式:若弦端點為,則,或,或.注：１拋物線：＝x１+x２+p；２通徑（最短弦）：ⅰ）橢圓、雙曲線：；ⅱ）拋物線：２p.⑵過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設為：（同時大于0時表示橢圓；時表示雙曲線）；當點與橢圓短軸頂點重合時最大；⑶雙曲線中的結論：１雙曲線（a>0,b>0）的漸近線：；２共漸進線的雙曲線標準方程可設為為參數，≠0）；３雙曲線為等軸雙曲線漸近線互相垂直；⑷焦點三角形問題求解：利用圓錐曲線定義和余弦定理聯立求解。３．直線與圓錐曲線問題解法：⑴直接法（通法）：聯立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解。注意以下問題：１聯立的關于“”還是關于“”的一元二次方程？２直線斜率不存在時考慮了嗎？３判別式驗證了嗎？⑵設而不求（點差法—————代點作差法）：————————處理弦中點問題步驟如下：１設點A（x１，y１）、B（x２,y２）；２作差得；３解決問題。４．求軌跡的常用方法：（１）定義法：利用圓錐曲線的定義；（２）直接法（列等式）；（３）代入法（又稱相關點法或坐標轉移法）；⑷待定系數法；（５）消參法；（6）交軌法；（7）幾何法。第七部分平面向量１．平面上兩點間的距離公式:，其中A，B.２．向量的平行與垂直：設=,=，且，則：１∥=λ；２（）·=0.３．a·b=|a||b|cos<a,b>=xx２+y１y２；注：１|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；=２\*GB３２a·b的幾何意義：a·b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積。４．cos<a,b>=；５．三點共線的充要條件：P，A，B三點共線。第八部分數列１．定義：⑵等比數列２．等差、等比數列性質：等差數列等比數列通項公式前n項和性質１an=am+（n—m）d,１an=amqn—m;２m+n=p+q時am+an=ap+aq２m+n=p+q時aman=apaq３成AP３成GP４成AP,４成GP,３．常見數列通項的求法：an=San=S1(n=1)Sn－Sn-1(n≥2)⑷累乘法（型）；⑸待定系數法（型）轉化為（6）間接法（例如：）；（7）（理科）數學歸納法。４．前項和的求法：⑴分組求和法；⑵錯位相減法；⑶裂項法。５．等差數列前n項和最值的求法：⑴最大值；⑵利用二次函數的圖象與性質。第九部分不等式１．均值不等式：注意：１一正二定三相等；２變形：。２．極值定理：已知都是正數，則有：（１）如果積是定值，那么當時和有最小值；（２）如果和是定值，那么當時積有最大值.３．解一元二次不等式:若,則對于解集不是全集或空集時,對應的解集為“大兩邊，小中間”.如:當,；.４．含有絕對值的不等式：當時，有：１；２或.５．分式不等式：（１）；（２）；（３）；（４）.6．指數不等式與對數不等式（１）當時,；.（２）當時,；３．不等式的性質：⑴；⑵；⑶；；⑷；；;⑸;⑹第十部分復數１．概念：⑴z=a+bi∈Rb=0（a,b∈R）z=z２≥0；⑵z=a+bi是虛數b≠0（a,b∈R）；⑶z=a+bi是純虛數a=0且b≠0（a,b∈R）z＋＝0（z≠0）z２<0；⑷a+bi=c+dia=c且c=d（a,b,c,d∈R）；２．復數的代數形式及其運算：設z１=a+bi,z２=c+di（a,b,c,d∈R），則：（１）z１±z２=（a+b）±（c+d）i；⑵z１.z２=（a+bi）·（c+di）＝（ac—bd）+（ad+bc）i；⑶=（z２≠0）;３．幾個重要的結論：；⑶；⑷⑸性質：T=４；；４．模的性質：⑴；⑵；⑶。５．實系數一元二次方程的解：１若,則;２若,則;３若，它在實數集內沒有實數根；在復數集內有且僅有兩個共軛復數根.第十一部分概率１．事件的關系：⑴事件B包含事件A：事件A發生，事件B一定發生，記作；⑵事件A與事件B相等：若，則事件A與B相等，記作A=B；⑶并（和）事件：某事件發生，當且僅當事件A發生或B發生，記作（或）；⑷并（積）事件：某事件發生，當且僅當事件A發生且B發生，記作（或）；⑸事件A與事件B互斥：若為不可能事件（），則事件A與互斥；=6\*GB２⑹對立事件：為不可能事件，為必然事件，則A與B互為對立事件。２．概率公式：⑴互斥事件（有一個發生）概率公式：P（A+B）=P（A）+P（B）；⑵古典概型：；⑶幾何概型：；第十二部分統計與統計案例１．抽樣方法：⑴簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體的個數為N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本，且每個個體被抽到的機會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣。注：１每個個體被抽到的概率為；２常用的簡單隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數表法。⑵系統抽樣：當總體個數較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然后按照預先制定的規則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統抽樣。注：步驟：１編號；２分段；３在第一段采用簡單隨機抽樣方法確定起始的個體編號；４按預先制定的規則抽取樣本。⑶分層抽樣：當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。注：每個部分所抽取的樣本個體數=該部分個體數注:以上三種抽樣的共同特點是：在抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等２．頻率分布直方圖與莖葉圖：=１\*GB２⑴用直方圖反映樣本的頻率分布規律的直方圖稱為頻率分布直方圖。=２\*GB２⑵當數據是兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數，即第二個有效數字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數據的圖叫做莖葉圖。３．總體特征數的估計：⑴樣本平均數；⑵樣本方差；⑶樣本標準差=３．相關系數（判定兩個變量線性相關性）：注：⑴>0時，變量正相關；<0時，變量負相關；⑵當越接近于１，兩個變量的線性相關性越強；當越接近于0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系。４．回歸直線方程，其中第十三部分算法初步１．程序框圖：⑴圖形符號：１終端框（起止框）；２輸入、輸出框；３處理框（執行框）；４判斷框；５流程線；⑵程序框圖分類:１順序結構：２條件結構：３循環結構：r=0？否求n除以i的余數輸入n是n不是質數n是質數i=i+１i=２in或r=0？否是注：循環結構分為：Ⅰ．當型（while型）——先判斷條件，再執行循環體；Ⅱ．直到型（until型）——先執行一次循環體，再判斷條件。２．基本算法語句：⑴輸入語句INPUT“提示內容”；變量；輸出語句：PRINT“提示內容”；表達式賦值語句：變量=表達式⑵條件語句：１２IF條件THENIF條件THEN語句體語句體１ENDIFELSE語句體２ENDIF⑶循環語句：１當型：２直到型：WHILE條件DO循環體循環體WENDLOOPUNTIL條件第十四部分常用邏輯用語與推理證明１．充要條件的判斷：（１）定義法————正、反方向推理注意區分：“甲是乙的充分條件（甲乙）”與“甲的充分條件是乙（乙甲）”（２）利用集合間的包含關系：例如：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件。２．邏輯聯結詞：⑴且（and）：命題形式pq；pqpqpqp⑵或（or）：命題形式pq；真真真真假⑶非（not）：命題形式p.真假假真假假真假真真假假假假真３．四種命題的相互關系原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題