2022學年高一數(shù)學上學期期中測試試卷120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】因為，所以.故選：D.2.命題：，的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題即可求解.【詳解】，的否定為：，，故選：D3.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A，由函數(shù)定義域求集合B，最后應(yīng)用集合交運算求結(jié)果.【詳解】由，，所以.故選：C4.如果，那么下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】A.當時滿足，但此時，故A選項錯誤；B.當時滿足，但此時，故B選項錯誤；C.當時滿足，但此時，故C選項錯誤；D.由得：，即，故D選項正確.故選：D.5.若函數(shù)的定義域為，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再分類討論求解作答.【詳解】依題意，，成立，當時，成立，即，當時，，解得，因此得，所以的范圍是.故選：A6.若函數(shù)，（，且）的圖像經(jīng)過第一，第三和第四象限，則一定有（）A.且 B.且C.且 D.且【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可確定a，b的取值范圍．【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，要使函數(shù)y＝ax﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則函數(shù)為增函數(shù)，∴a＞1，且f（0）＜0，即f（0）＝1﹣b＜0，解得b＞1，故選：B．【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．7.十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若不相等的兩個正實數(shù)a，b滿足，且恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用基本不等式，求出的最小值即可.【詳解】，當且僅當時等號成立，正實數(shù)a，b不相等，，，；故選：A.8.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推得其函數(shù)值的正負情況，由可得到相應(yīng)的不等式組，即可求得答案.【詳解】因為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，，故，所以當或時，，當時，．所以等價于或，解得或，所以不等式的解集為，故選：B．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.圖中陰影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)交并補的計算和韋恩圖判斷即可.【詳解】A選項：，則，故A正確；B選項：，則，故B錯；C選項：，故C正確；D選項：，故D錯.故選：AC.10.已知冪函數(shù)，則（）A. B.定義域為C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)為冪函數(shù)得可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)的解析式可判斷B；利用單調(diào)性可判斷C；計算可判斷D.【詳解】為冪函數(shù)，，得，A對；函數(shù)的定義域為，B錯誤；由于在上為增函數(shù)，，C對；，，D錯誤，故選：AC.11.若“，”真命題，“，”為假命題，則集合M可以是（）A B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)假命題的否定為真命題可知“，”是真命題，又“，是真命題，求出命題成立的條件，進而求交集即可知M滿足的條件．【詳解】∵“，”為假命題，∴“，”為真命題，可得，又“，”為真命題，可得，所以，故選：AB．12.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知結(jié)合基本不等式對各選項分別進行判斷。【詳解】對于A，因為，且，由，得，當且僅當時，等號成立，所以A正確；對于B，因為，且，所以，當且僅當時，等號成立，所以B錯誤；對于C，因為，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以C正確；對于D，因為，且，所以，即，當且僅當時，等號成立，所以D正確．故選：ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.13.寫出一個同時具有性質(zhì)①對任意，都有；②的函數(shù)___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)在為減函數(shù)，且再寫出即可.【詳解】因為對任意，都有，所以函數(shù)在上減函數(shù).又，故函數(shù)可以為.（注：滿足題目條件的函數(shù)表達式均可.）故答案為：（答案不唯一）14.化簡________．【答案】2【解析】【分析】利用指數(shù)冪的計算公式化簡即可.【詳解】原式.故答案為：2.15.已知，則函數(shù)的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】換元，，化簡得到二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】設(shè)，，則，，故當，即時，函數(shù)有最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)的最值，意在考查學生的計算能力，換元是解題的關(guān)鍵.16.已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的兩段都單調(diào)遞增，時最大值小于或等于時的下界列不等式組，解不等式組即可求解.【詳解】當時，對稱軸為，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，則，解得，故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，17題共10分，其余各題每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）具體見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義進行即可證明；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義即可證明.【小問1詳解】函數(shù)為奇函數(shù).函數(shù)定義域為，，即函數(shù)為奇函數(shù).【小問2詳解】設(shè)是上的任意兩個取值，且，所以，因為，所以，則，于是，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.18.已知集合，，（1）求，；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先求出集合B，進而根據(jù)交并補的定義求得答案；（2）根據(jù)題意，C是B的子集，進而討論集合C是否是空集，進而根據(jù)端點位置得到答案.【小問1詳解】由題意，，所以，，則【小問2詳解】根據(jù)題意，C是B的子集，若，，滿足題意；若，則.綜上：.19.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，已知當時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）畫出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的值域.【答案】（1）；（2）見解析；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)x＞0，則﹣x＜0，利用當x≤0時，f（x）=x2+4x+3，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，即可求得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖象，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）確定函數(shù)在區(qū)間[﹣1，2]上的單調(diào)性，從而可得函數(shù)在區(qū)間[﹣1，2]上的值域．【詳解】（1）∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)∴對任意的都有成立∴當時，即∴（2）圖象如右圖所示函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.（寫成開區(qū)間也可以）（3）由圖象，得函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解不等式：.【答案】（1）；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得的值，再結(jié)合已知條件可求得實數(shù)的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）判斷出函數(shù)在上是增函數(shù)，任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，即可證得結(jié)論成立；（3）由得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，可得，則，所以，，則，因此，.【小問2詳解】證明：函數(shù)在上是增函數(shù)，證明如下：任取、且，則，因為，則，，故，即.因此，函數(shù)在上是增函數(shù).【小問3詳解】解：因為函數(shù)是上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，由得，由已知可得，解得.因此，不等式的解集為.21.武清政府為增加農(nóng)民收入，根據(jù)本區(qū)區(qū)域特點，積極發(fā)展農(nóng)產(chǎn)品加工業(yè).經(jīng)過市場調(diào)查，加工某農(nóng)產(chǎn)品需投入固定成本3萬元.因人工投入和儀器維修等原因，每加工噸該農(nóng)產(chǎn)品，需另投入成本萬元，且已知加工后的該農(nóng)產(chǎn)品每噸售價為10萬元，且加工后的該農(nóng)產(chǎn)品能全部銷售完.（1）求加工后該農(nóng)產(chǎn)品的利潤（萬元）與加工量（噸）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求加工多少噸該農(nóng)產(chǎn)品，使加工后的該農(nóng)產(chǎn)品利潤達到最大？并求出利潤的最大值.【答案】（1）；（2）加工（噸），利潤的最大值6萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及投入成本函數(shù)，討論、對應(yīng)利潤函數(shù)式，即可得其分段函數(shù)形式；（2）分別求出不同分段上的最值，并比較大小，即可得結(jié)果.【小問1詳解】當時，.當時，.故加工后該農(nóng)產(chǎn)品的利潤（萬元）與加工量（噸）的函數(shù)關(guān)系式為：【小問2詳解】當時，，所以時，取得最大值5萬元；當時，因為，當且僅當時，等號成立，所以當時，取得最大值6萬元，因為，故當時，取得最大值6萬元.22.函數(shù)的定義域為R，若存在常數(shù)，使得對一切實數(shù)x均成立，則稱為“圓錐托底型”函數(shù).（1）判斷函數(shù)，是否為“圓錐托底型”函數(shù)？并說明理由；（2）若是“圓錐托底型”函數(shù)，求出M的最大值；（3）問實數(shù)k?b滿足什么條件，是“圓錐托底型”函數(shù).【答案】（1）是，不是，理由見解析（2）2（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)“圓錐托底型”函數(shù)的定義，分別代入，判斷即可；（2）代入可得對一切實數(shù)x均成立，當時顯然成立，再根據(jù)基本不等式求解時的情況即可；（3）分和兩種情況，結(jié)合“圓錐托底型”函數(shù)定義分析即可【小問1詳解】由題意，當時，恒成立，故