2020年高考（6月份）數(shù)學供題試卷（理科）一、選擇題（共12小題）．，則滿足條件B?A集合B的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式，由確定出集合中元素個數(shù)，再由集合子集個數(shù)公式即可確定答案.【詳解】解：由解得：.，或.則，所以根據(jù)集合子集個數(shù)公式得滿足條件B?A的集合B的個數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查集合子集的個數(shù)，關(guān)鍵是解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的運算性質(zhì)將化簡，代入并化簡，再求即可.【詳解】，所以，所以故選：B【點睛】本題主要考查的運算性質(zhì)，復數(shù)的乘除運算及復數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝()A.2n－1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由把已知式轉(zhuǎn)化的遞推式，從而知是等比數(shù)列，可求得其通項公式．【詳解】由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，，而S1＝a1＝1，所以.故選：B.【點睛】本題考查由與的關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，解題關(guān)鍵是利用把已知式轉(zhuǎn)化的遞推式．的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二項式定理可知，令，解出再代入即可得到答案.【詳解】由二項式定理可知，令，得，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：C【點睛】本題主要考查求二項式展開式的通項公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.5.若0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，則x、y、z的大小關(guān)系為（A.x＜z＜y B.y＜x＜z C.y＜z＜x D.z＜y＜x【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，利用冪函數(shù)的單調(diào)性得到，即得解．【詳解】因為，故單調(diào)遞減；故，冪函數(shù)單調(diào)遞增；故，則、、的大小關(guān)系為：；故選：A【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6.某校有高中生1500人，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法抽取50人作問卷調(diào)查，將高一、高二、高三學生（高一、高二、高三分別有學生495人、490人、515人）按1，2，3，…，1500編號，若第一組用簡單隨機抽樣的方法抽取的號碼為23，則所抽樣本中高二學生的人數(shù)為（）A.15 B.16 C.17 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義進行求解判斷即可．【詳解】解：由系統(tǒng)抽樣法知，按編號依次每30個編號作為一組，共分50組，高二學生編號為496到985，在第17組到33組內(nèi)，第17組編號為，為高二學生，第33組編號為，為高二學生，故所抽樣本中高二學生的人數(shù)為．故選：C．【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應用，結(jié)合系統(tǒng)抽樣的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合、的正負可得正確的選項.【詳解】設(shè)，則，故為上的偶函數(shù)，故排除B.又，，排除C、D.故選：A.【點睛】本題考查圖象識別，注意從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和特殊點函數(shù)值的正負等方面去判斷，本題屬于中檔題.的邊長為2，，點、分別在直線、上，，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的線性運算將，用基底，表示，然后代入，即可求出的值.【詳解】由已知可得，，，所以，所以.故選：D【點睛】本題主要考查向量的線性運算，向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.9.將數(shù)字1，2，3，4，5這五個數(shù)隨機排成一列組成一個數(shù)列，則該數(shù)列為先減后增數(shù)列的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求出這五個數(shù)隨機排成一列組成一個數(shù)列的所有可能情況，該數(shù)列為先減后增，可知1一定是分界點，且前面的順序和后面的順序都只有一種，結(jié)合1前面的情況，分類討論求出滿足條件的情況數(shù)，最后根據(jù)古典概型求出概率即可．【詳解】解：將數(shù)字1，2，3，4，5這五個數(shù)隨機排成一列組成一個數(shù)列，則所有可能情況有種情況，由于該數(shù)列為先減后增，則1一定是分界點，且前面的順序和后面的順序都只有一種，當1前面只有一個數(shù)時，有4種情況，當1前面只有2個數(shù)時，有種情況，當1前面有3個數(shù)時，有4種情況，故一共有，故數(shù)列為先減后增數(shù)列的概率．故選：B．【點睛】本題考查數(shù)學排列問題，考查分類加法計數(shù)原理、排列和組合在實際問題中的應用，以及古典概型的概率的公式，考查分類討論思想和運算能力．：的左、右頂點分別為、，是上一點，且為等腰三角形，其外接圓的半徑為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)在雙曲線的左支上，由雙曲線的性質(zhì)和等腰三角的性質(zhì)得出，設(shè)，則，結(jié)合條件利用正弦定理求出，再由同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式求出，根據(jù)直角三角形中任意角的三角函數(shù)可求出的坐標，代入雙曲線方程，再由離心率公式即可得到所求值．【詳解】解：由題可知，為等腰三角形，設(shè)在雙曲線的左支上，在軸上投影為，則，設(shè)，則，的外接圓的半徑為，，解得：，則，，，在中，，則的坐標為，，即，，代入雙曲線方程可得，由，可得，即有．故選：C．【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，涉及到正弦定理的應用、同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角以及任意角的三角函數(shù)等知識，考查化簡計算能力.11.已知函數(shù)，對任意，，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A.， B.， C.， D.【答案】A【解析】【分析】對函數(shù)求導數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)在，上的單調(diào)性，把不等式恒成立化為，再解含有的不等式，從而求出的取值范圍．【詳解】解：結(jié)合題意，顯然，，由，，，得，，，故，在，遞增，故（1），，對任意，，，不等式恒成立，即，，即，解得：，故選：A．【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，也考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，以及利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于中檔題．12.已知一圓錐底面圓的直徑為3，圓錐的高為，在該圓錐內(nèi)放置一個棱長為a的正四面體，并且正四面體在該幾何體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則a的最大值為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，通過內(nèi)切球即可得到的最大值．【詳解】解：依題意，四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，設(shè)球心為，球的半徑為，下底面半徑為，軸截面上球與圓錐母線的切點為，圓錐的軸截面如圖：則，因為，故可得：；所以：三角形為等邊三角形，故是的中心，連接，則平分，；所以，即，即四面體的外接球的半徑為．另正四面體可以從正方體中截得，如圖：從圖中可以得到，當正四面體的棱長為時，截得它的正方體的棱長為，而正四面體的四個頂點都在正方體上，故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，所以，所以．即的最大值為．故選：B．【點睛】本題考查了正四面體的外接球，將正四面體的外接球轉(zhuǎn)化為正方體的外接球，是一種比較好的方法，本題屬于難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．(其中)的圖象在處的切線方程是_____．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)在處的導數(shù)值，即切線的斜率，由點斜式即可得切線方程.【詳解】由，得，所以切線的斜率，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題主要考查在一點處的切線方程的求法，同時考查常見函數(shù)的導數(shù)及兩個函數(shù)積的導數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14.觀察如圖數(shù)表：設(shè)數(shù)100為該數(shù)表中的第n行，第m列，則＝_____．【答案】114【解析】【分析】根據(jù)數(shù)表中每行第一個數(shù)的特征，結(jié)合底數(shù)為2指數(shù)冪的特征進行求解即可.【詳解】由數(shù)表可知：第一行第一個數(shù)為，第二行第一個數(shù)為：，第三行第一個數(shù)為：，第四行第一個數(shù)為：因此可以歸納得到，第行第一個數(shù)為：，因為，所以100是在第6行，因此，第6行第一個數(shù)為：，，所以100是第19個數(shù)，因此，因此故答案為：114【點睛】本題考查了歸納推理的應用，屬于基礎(chǔ)題.的最大值為3，的圖象與y軸的交點坐標為，其相鄰兩條對稱軸間的距離為，則_____．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式可得，由函數(shù)的最大值可求出，由相鄰兩條對稱軸間的距離可求出周期，再利用周期公式可求出，將點代入解析式可求出，從而可得函數(shù)的解析式，即可求出的值.【詳解】，因為函數(shù)的最大值為，所以，所以，由函數(shù)相鄰兩條對稱軸間的距離為，可得周期，所以，所以,所以，又的圖象與y軸的交點坐標為，所以，所以，又，所以，所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查求三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角的余弦公式，誘導公式，屬于中檔題.焦點的直線交拋物線于，兩點，交圓于，兩點，其中，位于第一象限，則的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立可求出，結(jié)合圖形及拋物線的焦半徑公式可得，再利用基本不等式，即可求出的最小值.【詳解】圓可化為，圓心坐標為，半徑為，拋物線的焦點，可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，得，所以，又，，所以，因為，所以，當且僅當時，等號成立.所以的最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，基本不等式求最值，考查基本運算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，其面積S．（1）若a，b，求cosB．（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)面積S結(jié)合面積公式和余弦定理化簡可得，解得，然后根據(jù)a，b，由正弦定理求得，再利用平方關(guān)系求解.（2）由（1）知，sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A），可化為，令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.【詳解】（1）因為三角形面積為S，所以，解得，因a，b，由正弦定理得：，所以，因為，所以，所以為銳角，所以（2）由（1）知，所以sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A），，，，令，因為，所以，所以，原式，當時，原式取得最大值.【點睛】本題主要考查三角形面積公式余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.18.如圖所示，多面體是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中，，，．(1)求的長；(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)由面面平行的性質(zhì)定理可知，四邊形為平行四邊形，以菱形對角線的交點為原點建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出向量坐標，再求即可；(2)分別求出平面與底面的法向量，利用向量的夾角公式求出法向量的夾角余弦值，進而可求出平面與底面所成銳二面角的余弦值．【詳解】因為多面體是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，所以平面平面，又平面平面,平面平面,所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，連結(jié),交于，以為原點，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以,所以的長為.(2)根據(jù)題意可取平面的一個法向量為，由(1)知，，設(shè)平面的法向量為，則由，得，即，令，則，，所以，所以，所以平面與底面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查面面平行的性質(zhì)定理，線段長的求法及二面角的余弦值的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.19.已知，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．（1）若，點在橢圓上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時直線斜率；若不能，說明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得焦點坐標，設(shè)，運用向量數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合橢圓的范圍，可得所求范圍；（2）設(shè)，的坐標分別為，，，，運用中點坐標公式和點差法，直線的斜率公式，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，即可得到所求斜率．【詳解】解：（1）時，橢圓，兩個焦點，，，，設(shè)，可得，即，，，，，，因為，所以的范圍是；（2）設(shè)，的坐標分別為，，，，可得，，則，兩式相減可得，，即，故，又設(shè)，，直線，即直線的方程為，從而，代入橢圓方程可得，，由與，聯(lián)立得，若四邊形為平行四邊形，那么也是的中點，所以，即，整理可得，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，所以當時，四邊形為平行四邊形．【點睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，注意運用點差法，考查向量數(shù)量積的坐標表示，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．20.某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案．方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次．方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次．假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立．（1）設(shè)方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為，求的分布列；（2）設(shè)，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）【答案】（1）詳解見解析；（2）690，604，594；406.【解析】【分析】（1）設(shè)每個人的血呈陰性反應的概率為，依題意知的可能取值，計算分布列即可；（2）方案②中計算每個人的平均化驗次數(shù)，分別求出、3、4時的值，再與方案①比較，即可得出所求．【詳解】解：（1）由題可知，每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，設(shè)每個人的血呈陰性反應的概率為，則，所以個人的混合后呈陰性的概率為，呈陽性反應的概率為，依題意知的可能取值為，，所以的分布列為；（2）方案②中，結(jié)合（1）知每個人的平均化驗次數(shù)為：；所以當時，，此時1000人需要化驗的總次數(shù)為690次；當時，，此時1000人需要化驗的總次數(shù)為604次；當時，，此時1000人需要化驗的總次數(shù)為594次；即時化驗次數(shù)最多，時化驗次數(shù)居中，時化驗次數(shù)最少，而采用方案①需要化驗1000次，所以在這三種分組情況下，相比方案①，時化驗次數(shù)最多可以平均減少（次．【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的計算問題，考查運算求解能力，是中檔題．滿足，，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當且時，求證：．【答案】（1）；（2）當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）詳見解析.【解析】【分析】（1）由已知中，可得，進而可得，，進而得到函數(shù)的解析式；（2）由（1）得：，即，，對a進行分類討論，可得不同情況下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）令，，然后利用導數(shù)研究各自單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分類去掉和的絕對值，再構(gòu)造差函數(shù)，利用導數(shù)證明大小.【詳解】（1）∵，∴，∴，即，又∵，所以，所以；（2）∵，

∴，∴，①當時，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；②當時，由得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）令，，當且時，由得在上單調(diào)遞減，所以當時，，當時，，而，，所以在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，，①當時，，，所以上單調(diào)遞減，，，②當時，，，，所以，所以遞減，，，綜上，．【點睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)證明不等式，考查邏輯思維能力和運算求解能力