第第課數學模型初步（二）27數學模型初步（二數學模型初步（二）第課27PAGE2 PAGE2PAGE5 PAGE5數學模型初步（二數學模型初步（二）第課27

課題雙種群競爭的Lotka-Volterra模型、三種群的Gause-Lotka-Volterra模型和RPS博弈模型課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：掌握使用雙種群競爭的Lotka-Volterra模型、三種群的Gause-Lotka-Volterra模型和RPS博弈模型解決實際問題的方法思政育人目標：通過使用數學建模解決實際問題，引導學生運用所學知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認識，達到學以致用的目的；引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神教學重難點教學重點：理解雙種群競爭的Lotka-Volterra模型、三種群的Gause-Lotka-Volterra模型和RPS博弈模型教學難點：用雙種群競爭的Lotka-Volterra模型、三種群的Gause-Lotka-Volterra模型和RPS博弈模型解決實際問題教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節課：第2節課：知識講解（40min）課堂小結（5min）教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節課考勤

（2min）【教師】清點上課人數，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解

（43min）【教師】講解雙種群為競爭關系的Lotka-Volterra模型當兩個種群為了爭奪同一種有限的食物和生活空間而進行生存競爭時，最常見的結局是競爭力較弱的種群滅絕，競爭力較強的種群達到環境容許的最大容量．設和分別為時刻種群1和2的密度（或數量），，，，分別為兩個種群的環境最大容納量和固有增長率，假設兩個種群單獨生長時均符合邏輯斯蒂克方程，即，．可理解為尚未利用的“剩余資源項”，而為已利用資源項．當考慮兩個種群競爭或共同利用資源時，對于種群1，有，其中，為種群2對種群1的競爭系數，表示每個種群2個體所占的空間相當于個種群1個體所占的空間．例如，表示一個種群2個體消耗的食物相當于10個種群1個體消耗的食物．由此可見，可以表示為每個種群2個體對種群1產生的競爭抑制效應．表示每個種群2個體對種群1產生的競爭抑制效應與每個種群1個體對自身種群產生的競爭抑制效應相等；表示種群2對種群1產生的競爭抑制效應比種群1對自身種群產生的競爭抑制效應大；表示種群2對種群1產生的競爭抑制效應比種群1對自身種群產生的競爭抑制效應小．同樣，對于種群2，有，其中，為種群1對種群2的競爭系數．這樣，我們就得到了著名的洛特卡-沃爾泰拉（Lotka-Volterra）競爭系統，即從理論上講，兩個種群競爭的結局可能有三種：（1）種群1取勝，種群2被排擠；（2）種群1被排擠，種群2取勝；（3）兩個種群在競爭中獲得共存的局面．【學生】掌握雙種群為競爭關系的Lotka-Volterra模型【教師】講解雙種群為捕食關系的Lotka-Volterra模型一位意大利生物學家曾致力于魚類種群相互制約關系的研究．在研究過程中，他無意中發現了一些第一次世界大戰期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類數量占捕獲總量百分比的資料．從這些資料中，他發現軟骨魚（如鯊魚等食肉魚）占捕獲總量的百分比明顯增加，如表13-3所示，而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降．表13-3在研究這個問題的過程中，V.Volterra將魚劃分為食餌和捕食者兩類，其數量分別記為．在大海中，由于食餌有足夠的生存資源，它們之間不會因食物供應而發生劇烈競爭，因此，在沒有捕食者的情況下，可假設食餌數量按指數增長（馬爾薩斯（Malthus）模型），即，其中，為食餌獨立生存時（即在沒有捕食者的情況下）的繁殖率．實際上，因為捕食者存在，所以食餌的數量會減少，設其減少的速率與捕食者和食餌兩者數量的乘積成正比，即，其中，反映捕食者掠取食餌的能力．因此，在捕食者存在的情況下，食餌的增長方程為．類似地，當食餌不存在時，捕食者種群按指數衰減，即，其中，為捕食者獨立存在時（即在沒有食餌的情況下）的死亡率．由于食餌提供了食物，捕食者生命得以延續．采取同樣的分析，可知由捕食作用而導致捕食者的增長率為，其中，反映食餌對捕食者的供養能力．因此，在食餌存在的情況下，捕食者的增長方程為．綜上分析，在沒有捕魚的情況下，描述食用魚和軟骨魚相互作用關系的數學模型為（13-4）這就是所謂的捕食者—食餌系統．方程組（13-4）是非線性的，不易直接求解，但容易看出其有兩個平衡點，即，．運用常微分方程定性理論和穩定性的方法容易證明是不穩定的，是穩定的．下面介紹如何求的平均值．設是方程組（13-4）的一個周期解，周期為，和的平均值定義為，，則，，即和的平均值就是平衡值（證明略）．現在，我們考慮捕魚對捕食者—食餌系統的影響．引入捕撈能力系數，它表示單位時間內捕撈起來的魚占總量的百分比．因此，捕魚使食用魚的總數按的速度減少，軟骨魚總數按速度減少．這樣，真實的情況就可用修正的常微分方程組來描述．對于，由上面結果可知，和現在的平均值為，．因此，在的情況下，適當地增加捕獲強度可使食用魚的數量（按平均數來計算）增加，而使軟骨魚的數量（按平均數來計算）減少．相反，降低捕魚強度可使軟骨魚的數量增加，而使食用魚的數量減少，也就是說，捕獲強度的降低，將有利于捕食者（軟骨魚）種群的繁殖增長．【學生】掌握雙種群為捕食關系的Lotka-Volterra模型通過演示數學建模解決實際問題的過程，使學生了解數學在實際中的應用第二節課知識講解

（40min）【教師】講解蓋斯-洛特卡-沃爾泰拉模型Gause-Lotka-Volterra（GLV）方程組是一個描述生態系統中個物種相互競爭的非常簡單的模型，這三個名字分別代表了俄羅斯科學家GeorgiiFrantse-vitchGause、奧匈出生的美籍科學家AlfredJamesLotka以及意大利科學家VitoVolterra．這個系統有時也被人們稱為廣義的Lotka-Volterra系統，因為它最初源自于A.J.Lotka和V.Volterra分別獨立提出的二維捕食者與被捕食者模型，其退回到一維形式就是著名的Logistic模型．GLV系統由個一階微分方程描述，即，是物種和物種的種間競爭系數．特別要提到的是，表示物種的承載容量，其含義是在沒有其他物種競爭，也不考慮擴散、噪聲等其他因素影響的情況下，物種可以達到的最大的種群數量．這組方程是合理描述生態系統的最簡單方程，有著極其廣泛的應用．【學生】了解蓋斯-洛特卡-沃爾泰拉模型【教師】講解RPS博弈模型（詳見教材）【學生】了解RPS博弈模型通過演示數學建模解決實際問題的過程，使學生了解數學在實際中的應用課堂小結

（5min）【教師】簡要總結本節課的要點本節課主要介紹了利用數學建模解決實際問題的方法。課后要多加練習，鞏固認知。【學生】總結回顧知識點【教師】布置課后作業：用本章所學知識結合數