第五章

一元一次方程5.3

應用一元一次方程——水箱變高了第1課時

1課堂講解列一元一次方程解實際問題的步驟

設未知數的方法

一元一次方程設未知數方法的應用2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升解一元一次方程的一般步驟有哪些？復習回顧1知識點列一元一次方程解實際問題的步驟列方程解應用題的一般步驟：

設未知數、列方程、解方程、檢驗所得結果、確定答案；可簡要地概括為“設、列、解、檢、答”．知1－講

例13月12日是植樹節，七年級170名學生參加

義務植樹活動，如果平均一名男生一天能

挖樹坑3個，平均一名女生一天能種樹7棵，

要正好使每個樹坑種一棵樹，則該年級的

男生、女生各有多少人？(1)審題：審清題意，找出已知量和未知量；知1－講（來自《典中點》）知1－講(2)設未知數：設該年級的男生有x人，那么女生有__________人；(3)列方程：根據相等關系，列方程為_____________；(4)解方程，得x＝________，則女生有________人；(5)檢驗：將解得的未知數的值放入實際問題中進行

驗證；(6)作答：答：該年級有男生____人，女生____人．(170－x)3x=7(170－x)1195111951（來自《典中點》）總

結知1－講列方程解應用題注意事項：(1)列方程解實際問題的關鍵是找相等關系．(2)列方程時，方程兩邊所表示的量必須相等，并

且各項的單位一定要統一．(3)解出方程的解還要檢驗其是否符合實際意義．（來自《典中點》）知1－練（來自《典中點》）1用一元一次方程解決實際問題，關鍵在于抓住

問題中的____________，列出__________，求

得方程的解后，經過__________，得到實際問

題的解答．這一過程也可以簡單地表述為：問題

相等關系方程檢驗方程解答2知識點設未知數的方法知2－講設未知數的方法：(1)直接設未知數：即題目求什么就設什么為未知數；(2)間接設未知數：直接設所求的量為未知數，不便列方程時，可設與所求量有關系的量作為未知數，進而求出所求的量．知2－講

例2某商場甲、乙兩個柜臺12月份營業額共計64萬元，1月份甲增長了20%，乙增長了15%，營業額達到75萬元，求兩個柜臺各

增長了多少萬元．分析：從題中已知有如下相等關系：（來自《典中點》）知2－講（來自《典中點》）12月份甲柜臺的營業額＋12月份乙柜臺的營業額＝________萬元，1月份甲柜臺的營業額＋1月份乙柜臺的營業額＝________萬元．

↓

↓甲柜臺12月份的營業額×(1＋20%)乙柜臺12月份的營業額×(1＋15%)6475知2－講（來自《典中點》）解：方法1：設1月份甲柜臺的營業額增長了x萬元，則1月份乙柜臺的營業額增長了____________萬元，依題意，列方程可得解之得x＝________．75－64－x＝________________＝________．方法2：設12月份甲柜臺的營業額是y萬元，則乙柜臺的營業額是(64－y)萬元．(75－64－x)75－64－x5.675－64－5.65.4知2－講（來自《典中點》）依據題意，列方程得______________________________________，

解得y＝________．所以甲柜臺增長了______×20%＝______(萬元)，乙柜臺增長了__________×15%＝_______(萬元)．答：甲柜臺的營業額增長了________萬元，乙柜臺的營業額增長了________萬元．(1＋20%)y＋(1＋15%)(64－y)＝7528285.6(64－28)5.45.65.43知識點一元一次方程解法的應用知3－講例3一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字少3，

兩個數字之和等于這個兩位數的，求這個兩

位數．解：設十位上的數字為x，則個位上的數字為(x＋3)．由題意，得x＋(x＋3)＝[10x＋(x＋3)]．解得x＝3，所以x＋3＝6.答：這個兩位數為36.（來自《典中點》）例4現有菜地975公頃，要種植白菜、西紅柿和

芹菜，其中種白菜與種西紅柿的面積比是3:2，種西紅柿與種芹菜的面積比是5:7，則

三種蔬菜各種多少公頃？解：因為3:2＝15:10，5:7＝10:14，所以白菜、西

紅柿、芹菜的種植面積之比為15:10:14.知3－講（來自《典中點》）設白菜的種植面積為15x公頃，則西紅柿的種植面積為10x公頃，芹菜的種植面積為14x公頃．根據題意，得15x＋10x＋14x＝975，解得x＝25.則15x＝375，10x＝250，14x＝350.答：種白菜的面積為375公頃，種西紅柿的面積為250公頃，種芹菜的面積為350公頃．知3－講（來自《典中點》）例5甲種貨車和乙種貨車的裝載量及每輛車的

運費如下表所示，現有貨物130t，要求一

次裝完，并且每輛要滿載，探究怎樣安排

運費最省？需多少元？知3－講（來自《典中點》）甲乙每輛車裝載量30t20t每輛車的運費500元400元解：設甲種貨車為x輛，則乙種貨車為且x是自然數，當x＝1時，

運費為1×500＋5×400＝2500(元)；當x＝3時，運費為3×500＋2×400＝2300(元)＜2500(元)．故安排3輛甲種貨車和2輛乙種貨車，運費最省，

需2300元．知3－講（來自《典中點》）總

結知3－講此題關鍵是審清表格，利用車輛數為自然數這一特殊情況進行嘗試，直到符合條件為止，將所有的可能都列舉出來，進行比較．（來自《典中點》）

例6

(中考·佛山)某景點的門票價格如表：某校七年級(1)、(2)兩班計劃去游覽該景點，

其中(1)班人數少于50人，(2)班人數多于50

人且少于100人，如果兩班都以班為單位單

獨購票，則一共支付1118；如果兩班聯合

起來作為一個團體購票，則只需花費816元．知3－講（來自《典中點》）購票人數/人1～5051～100100以上每人門票價/元12108(1)兩個班各有多少名學生？(2)團體購票與單獨購票相比較，兩個班各節約了

多少錢？解：(1)設七年級(1)班有x人，則七年級(2)班有由題意，得8×解得x＝49.則知3－講（來自《典中點》）答：七年級(1)班有49人，七年級(2)班有53人．(2)七年級(1)班節省的費用為(12－8)×49＝196(元)；七年級(2)班節省的費用為(12－10)×53＝106(元)．答：七年級(1)班節省了196元，七年級(2)班節

省了106元．知3－講（來自《典中點》）1墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如下圖實線所示(單位：cm).小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個長方形，如下圖虛線所示.小穎所釘長方形的長、寬各為多少厘米？知3－練（來自教材）長14cm，寬10cm.2(中考·河池)聯華商場以150元/臺的價格購進某款

電風扇若干臺，很快售完．商場用相同的貨款再次購進這款電風扇，因價格提高30元，進貨量減少了10臺．(1)這兩次各購進電風扇多少臺？(2)商場以250元/臺的售價賣完這兩批電風扇，

商場獲利多少元？知3－練（來自《典中點》）解：(1)設第一次購進電風扇x臺，則第二次購進電風扇(x－10)臺．由題意可得150x＝180(x－10)，解得x＝60.則x－10＝60－10＝50.所以第一次購進電風扇60臺，第二次購進電風扇50臺．

知3－練

(2)商場獲利為(250－150)×60＋(250－180)×50＝9500(元)．所以商場以250元/臺的售價賣完這兩批電風扇，商場獲利9500元．知3－練（來自《典中點》）3洗衣機廠今年計劃生產洗衣機25500臺，其中A型，B型，C型三種洗衣機的產量之比為1:2:14，這三種洗衣機分別計劃生產多少臺？

知3－練（來自《典中點》）解：設A型、B型、C型這三種洗衣機分別計劃生產

x臺、2x臺、14x臺．由題意得x＋2x＋14x＝25500.解得x＝1500.所以2x＝2×1500＝3000，14x＝14×1500＝21000.

答：這三種洗衣機分別計劃生產1500臺、3000臺、

21000臺．知3－練（來自《典中點》）設未知數，列方程用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下:實際問題一元一次方程實際問題的答案一元一次方程的解（x＝a）解方程檢驗補充:請完成《典中點》剩余部分習題第五章

一元一次方程5.3

應用一元一次方程——水箱變高了第2課時

1課堂講解長度關系等積變形2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升列一元一次方程解實際問題的步驟有哪些？復習回顧

1知識點長度關系預習準備1、長方形的周長=_____________；面積=________.

2、長方體的體積=___________；正方體的體積=

________.

3、圓的周長=_________；面積=_________.

4、圓柱的體積=____________.

知1－導（長＋寬）×2長×寬長×寬×高棱長32π×半徑π×半徑2底面積×高知1－講1.等長變形是指圖形或物體的形狀發生變化，但變

化前后的物體的周長不變．2.一般用固定長度的線段圍成不同形狀的圖形，關

鍵是根據周長這一固定值列方程求解．

例1

用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長方形．使長方形的寬是長的，求這個長方形的長、寬．(按長、寬的順序填寫)解：設長方形的長為x厘米，則寬為厘米．根據題意，得．解得x=18，．答：長和寬分別為18厘米，12厘米．知1－講總

結知1－講本題中總量是周長，各部分量是長方形的四條邊長；按照“總量＝各部分量的和”的思路列出方程.

知1－練（來自《典中點》）1一個長方形的周長是16cm，長比寬多2cm，

那么這個長方形的長與寬分別是(

)A．9cm，7cm

B．5cm，3cmC．7cm，5cmD．10cm，6cmB知1－練（來自《典中點》）2一個長方形的周長是40cm，若將長減少8cm，

寬增加2cm，長方形就變成了正方形，則正方形的邊長為(

)A．6cm

B．7cm

C．8cm

D．9cm3一個三角形的三條邊的長度之比為2:4:5，最

長的邊比最短的邊長6cm，求該三角形的周長．B設該三角形的邊長分別為2x，4x，5x5x－2x＝6，即x＝2.該三角形的周長為2x＋4x＋5x＝22cm.2知識點等積變形知2－講“等積變形”是以形狀改變而體積不變為前提，常用的關系有：（1）形狀變了，體積沒變；（2）原材料體積=成品體積.知2－講

某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4m的圓柱形儲水箱.現該樓進行維修改造，為減少樓頂原有儲水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4m減少為3.2m.那么在容積不變的前提下，水箱的高度將由原先的4m變為多少米？知2－講在這個問題中有如下的等量關系：舊水箱的容積=新水箱的容積.設水箱的高變為xm，填寫下表：舊水箱新水箱底面半徑/m高/m容積/m3根據等量關系，列出方程：_____________.解得x=________.因此，水箱的高變成了_______m.列方程時，關鍵是找出問題中的等量關系.知2－講

等積變形指圖形或物體的形狀發生變化，但變化前后的體積或面積不變．等積變形問題中的等量關系是：變化前圖形或物體的體積(面積)＝變化后圖形或物體的體積(面積)．知2－講例2用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形.(1)使得該長方形的長比寬多1.4m，此時長方形的

長、寬各為多少米？(2)使得該長方形的長比寬多0.8m，此時長方形的

長、寬各為多少米?它所圍成的長方形與(1)中

所圍長方形相比，面積有什么變化？(3)使得該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方

形，此時正方形的邊長是多少米？它所圍成的

面積與(2)中相比又有什么變化？（來自教材）知2－講分析：由題意可知，長方形的周長始終是不變的，

即長與寬的和為：10×個問題的過程中，要抓住這個等量關系.解：(1)設此時長方形的寬為xm，則它的長為(x＋1.4)m.根據題意，得x

＋

x

＋1.4=10×解這個方程，得

x=1.8.1.8＋1.4=3.2.此時長方形的長為3.2m,寬為1.8m.（來自教材）知2－講(2)設此時長方形的寬為xm，則它的長為(x

＋0.8)m.根據題意，得x

＋

x

＋0.8=10×解這個方程，得 x=2.1.2.1＋0.8=2.9.此時長方形的長為2.9m,寬為2.1m，面積為2.9×2.1=6.09(m2)，(1)中長方形的面積為3.2×1.8=5.76(m2).此時長方形的面積比(1)中長方形的面積

增大6.09－5.76=0.33(m2).（來自教材）知2－講(3)設正方形的邊長為xm.根據題意，得x＋x=10×

解這個方程，得

x=2.5.正方形的邊長為2.5m,正方形的面積為2.5×2.5=6.25(m2),比(2)中面積增大6.25－6.09=0.16(m2).

（來自教材）同樣長的鐵絲可以圍更大的地方.知2－講例3將裝滿水的底面直徑為40cm，高為60cm

的圓柱形水桶里的水全部灌于另一個底面

直徑為50cm的圓柱形水桶里，這時水面的

高度是多少厘米？導引：本題中的等量關系為：底面直徑為40cm，

高為60cm的圓柱形水桶中水的體積＝底面

直徑為50cm的圓柱形水桶中水的體積，故

可設這時水面的高度為xcm，用含x的式子

表示出水的體積即可．（來自《點撥》）知2－講解：設這時水面的高度為xcm，

根據題意可得：解得x＝38.4.答：這時水面的高度為38.4cm.（來自《點撥》）總

結知2－講此類題目要熟記體積公式，如V圓柱＝πR2h，V長方體＝abh，V正方體＝a3.（來自《點撥》）知2－講

例4在長為10m，寬為8m的長方形空地中，沿

平行于長方形各邊的方向分割出三個完全

相同的小長方形花圃，其示意圖如圖所示．

求小長方形花圃的長和寬．（來自《典中點》）知2－講解：設小長方形的長為xm，則寬為(10－2x)m.由題意得x＋2(10－2x)＝8，

x＋20－4x＝8，－3x＝－12，