高思愛(ài)提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名初一1班 年級(jí)初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師車(chē)勝男上課時(shí)間01-1412:00:00-12:30:00 知識(shí)圖譜角度綜合計(jì)算知識(shí)精講一、角度綜合計(jì)算（一）時(shí)鐘問(wèn)題通過(guò)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，時(shí)鐘表盤(pán)上的刻度線(xiàn)分為12個(gè)大格，每個(gè)大格里有5個(gè)小格，一共60個(gè)小格。分鐘走過(guò)1個(gè)小格表示時(shí)間過(guò)了1分鐘；時(shí)針走過(guò)1個(gè)大格表示時(shí)間過(guò)了1個(gè)小時(shí)，同時(shí)分針走完一整圈。探究任意時(shí)刻時(shí)分時(shí)的兩針位置,設(shè)12時(shí)的刻度線(xiàn)為,作為角度起始線(xiàn),時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)，則每分鐘轉(zhuǎn)；分針每分鐘轉(zhuǎn),在時(shí)分時(shí),分針與0度的夾角（分針轉(zhuǎn)過(guò)角度）是：；時(shí)表示時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)個(gè)大格，即時(shí)針與12時(shí)刻度起點(diǎn)線(xiàn)夾角為，此外時(shí)間每過(guò)1分鐘，時(shí)針也會(huì)有微小的轉(zhuǎn)動(dòng)，即分鐘時(shí)針轉(zhuǎn)，故時(shí)針實(shí)際與起始線(xiàn)的夾角（銳角）為：。故時(shí)分，時(shí)針和分針夾角的計(jì)算公式是：如，12：55時(shí)的兩針夾角：將代入上式，得夾角（二）角的和差倍分關(guān)系如圖所示，是直線(xiàn)上一點(diǎn)，是一條射線(xiàn)，平分，在內(nèi)．若，，則是多少度？首先梳理角之間的數(shù)量關(guān)系：1、由角度倍數(shù)關(guān)系可得：,2、由角平分線(xiàn)定義得，3、和互補(bǔ)4、唯一已知角可表示為已知條件數(shù)值不夠，考慮列方程求解，不妨設(shè)，則，用唯一的已知角度列式為：求得未知數(shù)后，不要忘記回歸所求角，算出最終結(jié)果準(zhǔn)確的分析出題目中已知和隱含的角度數(shù)量關(guān)系，熟練運(yùn)用方程思想是解題的關(guān)鍵。稍復(fù)雜些的角度計(jì)算通常不只有一種計(jì)算方法，根據(jù)所設(shè)未知角的不同，計(jì)算量會(huì)稍有差異。（三）角的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題如圖∠AOB＝α，OC是一條射線(xiàn)，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。將射線(xiàn)OC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．試用含α的代數(shù)式表示∠MON．①當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)，如圖②當(dāng)OC在∠AOB外且OC從OA起轉(zhuǎn)動(dòng)<180°時(shí)，如圖③當(dāng)OC在∠AOB外且OC從OA起轉(zhuǎn)動(dòng)>180°、從OB起轉(zhuǎn)動(dòng)<180°時(shí)，如圖④當(dāng)OC在∠AOB外且OC從OB起轉(zhuǎn)動(dòng)超過(guò)180°時(shí)，如圖綜上，或由此題我們可以發(fā)現(xiàn)，如果題目中沒(méi)有明確的角度限制，通常需要畫(huà)圖進(jìn)行分類(lèi)討論，尤其是轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題有可能出現(xiàn)180度的角，未知角是銳角還是鈍角、射線(xiàn)在角內(nèi)還是角外、多個(gè)角是否有重疊部分等往往作為分類(lèi)討論的依據(jù)，最關(guān)鍵的還是要通過(guò)準(zhǔn)確分析角的和差倍分關(guān)系和利用角平分線(xiàn)定義等進(jìn)行推理和證明。與轉(zhuǎn)動(dòng)速度和時(shí)間有關(guān)的題目可以類(lèi)比行程問(wèn)題分析。三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：角度的計(jì)算

二．重難點(diǎn)：角的數(shù)量關(guān)系，角度的動(dòng)態(tài)問(wèn)題．

三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．題目中隱含的角度數(shù)量關(guān)系；2．角的倍數(shù)或比例關(guān)系注意整體和部分．3．動(dòng)態(tài)問(wèn)題畫(huà)圖分析，注意考慮全面角的綜合計(jì)算例題例題1、鐘面上7點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角的度數(shù)是________．【答案】【解析】7點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角的度數(shù)是，例題2、鐘表上11點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為_(kāi)_______．【答案】112.5°【解析】11點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針相距份，11點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A角的度數(shù)是．例題3、8點(diǎn)30分時(shí)，鐘表的時(shí)針與分針的夾角為_(kāi)_______°．【答案】75【解析】8點(diǎn)30分，時(shí)針和分針中間相差2.5個(gè)大格．∵鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，∴8點(diǎn)30分分針與時(shí)針的夾角是2.5×30°＝75°．例題4、已知：如圖，，，求：的度數(shù)．【答案】80°【解析】∵，∴，∵，∴，∴．例題5、如圖，直線(xiàn)、相交于點(diǎn)O，平分，．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）50°（2）54°【解析】（1）平分，，，，又，；（2），平分，，，，又，．例題6、如圖，OC在∠BOD內(nèi)．（1）如果∠AOC和∠BOD都是直角．①若∠BOC＝60°，則∠AOD的度數(shù)是________；②猜想∠BOC與∠AOD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如果∠AOC＝∠BOD＝x°，∠AOD＝y(tǒng)°，求∠BOC的度數(shù)．【答案】（1）①120°；②∠BOC＋∠AOD＝180°；見(jiàn)解析（2）（2x－y）°【解析】（1）①∵∠AOC和∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，∴∠AOB＝30°，∴∠AOD＝120°；②猜想∠BOC＋∠AOD＝180°．證明：∵∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝90°＋∠AOB，∵∠AOC＝90°，∴∠AOD＋∠BOC＝∠BOD＋∠AOC＝90°＋90°＝180°；（2）類(lèi)比②可得：∠AOD＋∠BOC＝∠BOD＋∠AOC，∵∠BOD＝∠AOC＝x°，∠AOD＝y(tǒng)°，∴∠BOC＝（2x－y）°．例題7、已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，是的平分線(xiàn)．（1）如圖1，若，則________；（2）如圖1，若，則________；（用含的式子表示）（3）將圖1中的繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其它條件不變，（2）中的結(jié)論是否還成立？試說(shuō)明理由；（4）將圖1中的繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其它條件不變，則________（用含的式子表示）【答案】（1）（2）（3）成立；理由見(jiàn)解析（4）【解析】（1）如圖1，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；（2）如圖1，由（1）知：，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；（3）（2）中的結(jié)論還成立，理由是：如圖2，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；（4）如圖3，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；例題8、已知O是直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．初步嘗試：（1）如圖1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度數(shù)；類(lèi)比探究：（2）在圖1中，若∠AOC＝α，直接寫(xiě)出∠DOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；解決問(wèn)題：（3）如圖2時(shí)，O是直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論．【答案】（1）15°（2）（3）∠AOC＝2∠DOE【解析】（1）由已知得∠BOC＝180°－∠AOC＝150°，又∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴＝15°．（2）由（1）知，∴．（3）∠AOC＝2∠DOE．理由如下：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，∠COB＝2∠COE，∴∠AOC＝180°－∠COB＝180°－2∠COE＝2（90°－∠COE），∵∠DOE＝90°－∠COE，∴∠AOC＝2∠DOE．例題9、以直線(xiàn)上點(diǎn)為端點(diǎn)作射線(xiàn)，使，將直角的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．（1）如圖1，若直角的邊放在射線(xiàn)上，則________；（2）如圖2，將直角繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，使得平分，說(shuō)明所在射線(xiàn)是的平分線(xiàn)；（3）如圖3，將直角繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，使得．求的度數(shù)．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）65°或62.5°【解析】（1）∵，又∵，∴；（2）∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴所在射線(xiàn)是的平分線(xiàn)；（3）設(shè)，則，∵，，∴或∴或7.5，即或∴或．隨練隨練1、9點(diǎn)20分，鐘表上時(shí)針與分針?biāo)傻拟g角是________度．【答案】160【解析】∵兩個(gè)大格之間的角的度數(shù)是30°，∴9點(diǎn)20分，鐘表上時(shí)針與分針?biāo)傻拟g角是隨練2、鐘面顯示的時(shí)間是6時(shí)30分，此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是________．【答案】15°【解析】∵時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)，∴6.5小時(shí)轉(zhuǎn)，∵分針每分鐘轉(zhuǎn)，∴30分鐘轉(zhuǎn)，∴鐘面顯示的時(shí)間是6時(shí)30分，此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是．隨練3、如圖，O是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC．（1）若∠AOC＝60°，請(qǐng)求出∠AOD和∠BOC的度數(shù)．（2）若∠AOD和∠DOE互余，且，請(qǐng)求出∠AOD和∠COE的度數(shù)．【答案】（1）30°；120°（2）30°；30°【解析】（1），∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－60°＝120°。（2）∵∠AOD和∠DOE互余，∴∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠AOE＝×90°＝30°，∴∠AOC＝2∠AOD＝60°，∴∠COE＝90°－∠AOC＝30°．隨練4、如圖，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，是的平分線(xiàn)，，如果．求：（1）的度數(shù)；（2）的度數(shù)．【答案】（1）60°（2）15°【解析】（1），，；（2）是的平分線(xiàn)，，．隨練5、如圖，直線(xiàn)與相交于，是的平分線(xiàn)，，，．（1）求的度數(shù)；（2）求與是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）38°（2）相等；見(jiàn)解析【解析】（1），，又與是對(duì)頂角，，；（2）相等；理由：與是對(duì)頂角，，是的平分線(xiàn)，，又，，，而，．隨練6、如圖，點(diǎn)是直線(xiàn)上的一點(diǎn)，是直角，平分．（1）若，求的度數(shù)；（2）將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且保持射線(xiàn)在直線(xiàn)上方，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)亩葦?shù)是多少時(shí)，．【答案】（1）20°（2）或【解析】（1），，又平分，，，；（2）設(shè)，則，平分，，分兩種情況：當(dāng)在直線(xiàn)上方時(shí)，，，，解得．當(dāng)在直線(xiàn)下方時(shí)，，，，解得．綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)是或時(shí)，．隨練7、如圖1，O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)OC，∠AOC＝30°，將一直角三角板（∠M＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊ON在射線(xiàn)OA上，另一邊OM與OC都在直線(xiàn)AB的上方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．如圖2，經(jīng)過(guò)t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此時(shí)ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線(xiàn)OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間OC平分∠MON？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間OC平分∠MOB？請(qǐng)畫(huà)圖并說(shuō)明理由．【答案】（1）①5秒；②平分；見(jiàn)解析（2）5秒；見(jiàn)解析（3）秒；；見(jiàn)解析【解析】（1）①∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠COM＝∠MOB，∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝2∠COM＝150°，∴∠COM＝75°，∴∠CON＝15°，∴∠AON＝∠AOC－∠CON＝30°－15°＝15°，解得：t＝15°÷3°＝5秒；②是，理由如下：∵∠CON＝15°，∠AON＝15°，∴ON平分∠AOC；（2）5秒時(shí)OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠CON＝∠COM，∵∠MON＝90°，∴∠CON＝∠COM＝45°，∵三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度，射線(xiàn)OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON為3t，∠AOC為30°＋6t，∵∠AOC－∠AON＝45°，可得：6t－3t＝15°，解得：t＝5秒；（3）OC平分∠MOB∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠BOC＝∠COM，∵三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度，射線(xiàn)OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON為3t，∠AOC為30°＋6t，∴∠COM為，∵∠BOM＋∠AON＝90°，可得：180°－（30°＋6t）＝（90°－3t），解得：秒；如圖：隨練8、如圖1，點(diǎn)為直線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線(xiàn)上，另一邊在直線(xiàn)的下方．（1）如圖2，將圖1中的三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊在的內(nèi)部，且恰好平分，此時(shí)________度；________度．（2）如圖3，繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得在的內(nèi)部．試探究與之間滿(mǎn)足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若直線(xiàn)恰好平分，則此時(shí)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是________秒．【答案】（1）120；30（2）；見(jiàn)解析（3）6或24【解析】（1）平分，．．．（2）．理由如下：，．．．又，即．（3）設(shè)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是秒，，．當(dāng)直線(xiàn)恰好平分時(shí)，①線(xiàn)段在下方時(shí)，，此時(shí)旋轉(zhuǎn)；②線(xiàn)段在內(nèi)部時(shí)，，此時(shí)旋轉(zhuǎn)．所以或，解得或．拓展拓展1、12點(diǎn)15分，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的小于平角的角為（）A.90°B.67.5°C.82.5°D.60°【答案】C【解析】12點(diǎn)15分，時(shí)針與分針相距份，12點(diǎn)15分，時(shí)針與分針夾角是．拓展2、從12點(diǎn)整開(kāi)始到1點(diǎn)，經(jīng)過(guò)________分鐘，鐘表上時(shí)針和分針的夾角恰好為．【答案】20或【解析】從12點(diǎn)整開(kāi)始到1點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過(guò)分鐘，鐘表上時(shí)針和分針的夾角恰好為．分兩種情況：①之前時(shí)，由題意得，，解得；②之后時(shí)，由題意得，，解得．答：經(jīng)過(guò)20或分鐘，鐘表上時(shí)針和分針的夾角恰好為．拓展3、如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中的圖形有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)角的和差關(guān)系可得第一個(gè)圖形，根據(jù)同角的余角相等可得第二個(gè)圖形，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得第三個(gè)圖形，第四個(gè)圖形，不相等，因此的圖形個(gè)數(shù)共有3個(gè)．拓展4、在一個(gè)平面內(nèi)，將一副三角板按如圖所示擺放．若，那么________度．【答案】15【解析】，拓展5、如圖，已知OD平分∠AOB，射線(xiàn)OC在∠AOD內(nèi)，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度數(shù)．【答案】19°【解析】∵OD平分∠AOB，∠AOB=114°，∴∠AOD=∠BOD==57°．∵∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°，∴∠AOC=．∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=57°﹣38°=19°．拓展6、如圖，已知，，是的3倍，求的度數(shù)．【答案】112.5°【解析】設(shè)，∵，，∴，∴，∵是的3倍，∴，解得，∴．拓展7、如圖，，平分，且，求度數(shù)．【答案】【解析】∵，平分，且，∴，，∴，∴，解得，，即的度數(shù)是．拓展8、如圖，直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOM＝90°．（1）如圖1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度數(shù)．【答案】（1）135°；（2）54°【解析】（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，∴，∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°，即∠AOD的度數(shù)為135°；（2）∵∠BOC＝4∠NOB∴設(shè)∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，∴∠CON＝∠COB－∠BON＝4x°－x°＝3x°，∵OM平分∠CON，∴，∵，∴x＝36°，∴．即∠MON的度數(shù)為54°．拓展9、如圖，O是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，OC是任一條射線(xiàn)，OD，OE分別是，的平分線(xiàn)．（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中的補(bǔ)角和的余角；（2）當(dāng)時(shí)，求和的度數(shù)；（3）圖中有哪幾對(duì)互補(bǔ)的角？【答案】（1）、；、（2）90°；65°（3）和，和，和，和【解析】（1）的補(bǔ)角：、．的余角：、；（2）∵OE平分，．．∵OD平分，．；（3）和互補(bǔ)，和互補(bǔ)，和互補(bǔ)，和互補(bǔ)．拓展10、如圖，OM是∠AOC的平分線(xiàn)，ON是∠BOC的平分線(xiàn)．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB是直角，∠BOC＝60°時(shí)，∠MON的度數(shù)是多少？（2）如圖2，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝60°時(shí)，猜想∠MON與α的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝β時(shí)，猜想：∠MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，指出結(jié)論并說(shuō)明理由．【答案】（1）45°（2）（3），與β的大小無(wú)關(guān)；見(jiàn)解析【解析】（1）如圖1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°＋60°＝150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝75°，∠NOC＝∠BOC＝30°∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝45°．（2）如圖2，，理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝α＋60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝α＋30°，∠NOC＝∠BOC＝30°∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝（α＋30°）－30°＝α．（3）如圖3，，與β的大小無(wú)關(guān)．理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝α＋β．∵OM是∠AOC的平分線(xiàn)，ON是∠BOC的平分線(xiàn)，∴∠MOC＝∠AOC＝（α＋β），∠NOC＝∠BOC＝β，∴∠AON＝∠AOC－∠NOC＝α＋β－β＝α＋β．∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝（α＋β）－β＝α，即．拓展11、如圖（1），將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝________；若∠ACB＝140°，則∠DCE＝________；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖（2），若是兩個(gè)同樣的直角三角尺60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小又有何關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）145°；40°（2）∠ACB＋∠DCE＝180°（或∠ACB與∠DCE互補(bǔ)）；見(jiàn)解析（3）∠DAB＋∠CAE＝120°；見(jiàn)解析【解析】（1）∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°∴∠DCB＝90°－35°＝55°∵∠ACD＝90°∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝145°，∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°∴∠DCB＝140°－90°＝50°∵∠ECB＝90°∴∠DCE＝90°－50°＝40°；（2）猜想得∠ACB＋∠DCE＝180°（或∠ACB與∠DCE互補(bǔ)）理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB∠DCE＝∠ECB－∠DCB＝90°－∠DCB∴∠ACB＋∠DCE＝180°．（3）∠DAB＋∠CAE＝120°；理由如下：由于∠DAB＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB，故∠DAB＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAE＝120°．拓展12、如圖，已知，，平分，平分．（1）求的度數(shù)．（2）若將題干中的改為，其余條件不變，求的度數(shù)；（3）若將題干中的改為（為銳角），其余條件不變，求的度數(shù)．（4）從前面的結(jié)果中，你能得出什么結(jié)論？【答案】（1）45°（2）（3）45°（4）總等于的一半，而與的大小無(wú)關(guān)【解析】（1）平分，平分，，，又，．（2）當(dāng)，其他條件不變時(shí)，．（3）當(dāng)，其他條件不變時(shí)，．（4）由（1）（2）（3）的結(jié)果，可得出結(jié)論：總等于的一半，而與的大小無(wú)關(guān)．拓展13、已知點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，平分．（1）當(dāng)點(diǎn)，，在直線(xiàn)的同側(cè)（如圖1所示）時(shí)，若，求和的度數(shù)，和有什么數(shù)量關(guān)系？（2）當(dāng)點(diǎn)，，在直線(xiàn)的異側(cè)（如圖2所示）時(shí)，若，那么（1）中和的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；（3）將圖2中的射線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線(xiàn)．設(shè)，若，則的度數(shù)是多少？（請(qǐng)用含的式子直接寫(xiě)出結(jié)果）【答案】（1）50°；25°；（2）成立；理由見(jiàn)解析（3）