第十二章

分式和分式方程分式方程

1課堂講解分式方程解分式方程分式方程的根(解)分式方程的增根2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升

小紅家到學校的路程為38km.小紅從家去學校總是先乘公共汽車，下車后再步行2km，才能到學校，路途所用時間是1h.已知公共汽車的速度是小紅步行速度的9倍，求小紅步行的速度.1知識點分式方程知1－導1.上述問題中有哪些等量關系？2.根據你所發現的等量關系，設未知數并列出方程.

問題中的等量關系為：(1)小紅乘公共汽車的時間+小紅步行的時間=小紅上學路上的時間；(2)公共汽車的速度=9×小紅步行的速度.知1－導

如果設小紅步行的速度為xkm/h，那么公共汽車的速度為9xkm/h，根據等量關系(1)，可得到方程

如果設小紅步行的時間為xh，那么她乘公共汽車的時間為(1－x)h，根據等量關系(2)，可得到方程像這樣，分母中含有未知數的方程叫做分式方程.知1－導上面得到的方程與我們已學過的方程有什么不同？這兩個方程有哪些共同特點？結論：討論：知1－講分式方程：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．要點精析：(1)分式方程的兩個特點：①方程中含有分

母；②分母中含有未知數．(2)分母中是否含有未知數是分式方程與整式方程的根

本區別，是區分分式方程和整式方程的依據．(3)整式方程和分式方程統稱為有理方程．

易錯警示：分式方程的分母中含有未知數，而不是一

般的字母參數．（來自《點撥》）知1－講例1判斷下列方程是不是分式方程：（來自《點撥》）導引：(1)中的方程分母中不含有未知數，(2)(3)(4)

中的方程分母中含有未知數．解：(1)不是分式方程；(2)是分式方程；(3)是分式

方程；(4)是分式方程．總

結知1－講（來自《點撥》）

判斷一個方程是不是分式方程的方法：根據分式方程定義中的條件，判斷方程的分母中是否含有未知數，如果含有未知數，那么這個方程是分式方程，否則不是分式方程．

警示：識別分式方程時，不能對方程進行約分、通分變形，更不能用等式的性質變形．知1－練預習完分式方程的概念，小麗舉出了以下方程，

你認為不是分式方程的是(

)A.＋x＝1B.＝15C.D.＝2（來自《典中點》）知1－練在方程

中，分式方程有()A．1個B．2個C．3個D．4個2知識點解分式方程知2－導如何解分式方程方程兩邊同乘以最簡公分母，得2000－1600＝5x，解這個整式方程，得x＝80.把x＝80代入上述分式方程檢驗：所以x＝80是該分式方程的解.因而，列車提速前的速度為80km/h.知2－講

解分式方程的一般步驟：①去分母：把方程兩邊都乘各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程；②解這個整式方程，得到整式方程的根；③驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于零的根是原分式方程的根，使最簡公分母等于零的根不是原分式方程的根；④寫出分式方程的根．（來自《點撥》）解：(1)方程兩邊同乘x(1－x)，得36x=18(1－x).

解這個整式方程，得x＝

經檢驗，x＝是原分式方程的解.(2)方程兩邊同乘9x，得36＋18＝9x，

解這個整式方程，得x＝6.

經檢驗，x＝6.是原分式方程的解.知2－講例2解方程（來自《教材》）總

結知2－講(1)解分式方程的基本思想是“化整”，即“化分式方程為整式方程”，而“化整”的關鍵是找最簡公分母；(2)解分式方程一定要注意驗根，驗根是解分式方程必不可少的步驟．

警示：在去分母時，方程兩邊同乘最簡公分母，必須每一項都要乘，不能認為有分母的就要乘，沒有分母的就不用乘，而是有幾項就要乘幾項，不能漏乘．（來自《點撥》）知2－練解方程：（來自《點撥》）知2－練【中考·濟寧】解分式方程

時，去分母后變形正確的為(

)A．2＋(x＋2)＝3(x－1)B．2－x＋2＝3(x－1)C．2－(x＋2)＝3D．2－(x＋2)＝3(x－1)（來自《典中點》）知2－練已知分式方程

，下列說法

錯誤的是(

)A．方程兩邊各分式的最簡公分母是(x－1)(x＋1)B．方程兩邊都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6C．解B中的整式方程，得x＝1D．原方程的解為x＝1（來自《典中點》）3知識點分式方程的根（解）知3－導

使得分式方程等號兩端相等的未知數的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).導引：把x＝3代入分式方程，得到關于a的一元一次方

程，求a的值．∵x＝3是分式方程

＝0的根，∴＝0，解得a＝5知3－講例3[中考·遵義]若x＝3是分式方程＝0的根，則a的值是(

)A．5

B．－5

C．3

D．－3（來自《點撥》）A總

結知3－講

根據方程的解構造方程，由于所構造的方程是分式方程，因此驗根的步驟不可缺少.（來自《點撥》）知3－練已知關于x的方程

的解為x＝－

，求m的值．（來自《點撥》）知3－練【中考·遵義】若x＝3是分式方程

＝0的根，則a的值是(

)A．5B．－5C．3D．－3【中考·齊齊哈爾】關于x的分式方程

有解，則字母a的取值范圍是(

)A．a＝5或a＝0B．a≠0C．a≠5D．a≠5且a≠0（來自《典中點》）下列是小華解方程的過程：方程兩邊同乘x－1，得x＋1＝－(x－3)＋(x－1).你認為x＝1是方程的解嗎？為什么?

事實上，因為當x＝1時，x－1＝0，即這個分式方程的分母為0，方程中的分式無意義，所以x＝1不是這個分式方程的解(根).4知識點異分母分式的加減知4－導

在解分式方程時，首先是通過去分母將分式方程轉化為整式方程，并解這個整式方程，然后要將整式方程的根代人分式方程(或公分母)中檢驗.當分母的值不等于0時，這個整式方程的根就是分式方程的根；當分母的值為0時，分式方程無解，我們把這樣的根叫做分式方程的增根.結

論知4－導（來自《教材》）知4－講例4

解方程：（來自《教材》）解：方程兩邊同乘x＋2，得

2－(2－x)＝3(x＋2).

解這個整式方程，得

x＝－3.

經檢驗，x＝－3是原分式方程的解.

在去分母時，方程兩邊同時乘公分母，必須每一項都要乘，不能認為有分母的就要乘，沒有分母的就不用乘，而是有幾項就要乘幾項，不能漏乘.總

結知4－講（來自《點撥》）知4－練1下列關于分式方程增根的說法正確的是(

)A．使所有的分母的值都同時為零的解是增根B．分式方程的解為0就是增根C．使分子的值為0的解就是增根D．使最簡公分母的值為0的解是增根（來自《典中點》）知4－練2解下列方程：知4－講例5已知關于x的分式方程

＝1.(1)若該方程有增根1，求a的值；(2)若該方程有增根，求a的值．導引：先將分式方程化成整式方程，然后將增根代

入整式方程，求出字母a的值．解：(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1.(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0，x＝0或1.

又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，∴x＝1.∴原分式

方程的增根為1.∴(a＋2)×1＝3，∴a＝1.（來自《點撥》）

方程有增根，一定存在使最簡公分母等于0的未知數的值，解這類題的一般步驟為：(1)把分式方程化為整式方程；(2)令最簡公分母為0，求出未知數的值，這里要注意：必須驗證未知數的值是不是整式方程的根，如本例中x＝0就不是整式方程的根；(3)把未知數的值代入整式方程，從而求出待定字母的值．總

結知4－講（來自《點撥》）當m取何值時，分式方程

＝4會

產生增根？知4－練（來自《點撥》）知4－練【中考·營口】若關于x的分式方程

＝2有增根，則m的值是(

)A．m＝－1B．m＝0C．m＝3D．m＝0或m＝3若關于x的分式方程

有增

根，則它的增根是(

)A．0B．1C．－1D．1和－1（來自《典中點》）1.分式方程的定義：分母中含有未知數的方程.2.列分式方程的步驟：

(1)審清題意；(2)設未知數；

(3)找到相等關系；(4)列分式方程.1.去分母(關鍵找最簡公分母)將分式方程轉化為整式方程2.解這個整式方程得到整式方程的解3.檢驗(代入最簡公分母看是

否為0，為0增根)舍去增根4.寫出最終結果得到原方程的解3.解分式方程的步驟：1.必做:完成教材P20練習T1-T2，

完成教材P20-P21習題A組T1-T2，B組2.補充:請完成《典中點》剩余部分習題第十二章

分式和分式方程分式方程的應用

1課堂講解建立分式方程的模型列分式方程解應用題的步驟列分式方程解應用題的常見類型2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升小紅和小麗分別將9000字和7500字的兩篇文稿錄入計算機，所用時間相同.已知兩人每分鐘錄入計算機字數的和是220字.兩人每分鐘各錄入多少字？1知識點建立分式方程的模型知1－導1.請找出上述問題中的等量關系.2.試列出方程，并求方程的解.3.寫出問題的答案，將結果與同學交流.知1－講例1某工程隊承建一所希望學校.在施工過程中，由于改進了工作方法，工作效率提高了20％，因此比原定工期提前1個月完工.這個工程隊原計劃用幾個月的時間建成這所希望學校？分析：問題中的等量關系為

改進前的工作效率×(1+20%)=改進后的工作效率.解:設工程隊原計劃用x個月的時間建成這所希望學校.根據

題意，得

解這個方程，得x=6.經檢驗，x=6是原分式方程的根.答:這個工程隊原計劃用6個月的時間建成這所希望學校.（來自《教材》）總

結知1－講

列分式方程解應用題的關鍵是用分式表示一些基本的數量關系，列分式方程解應用題一定要驗根，還要保證其結果符號實際意義．知1－練[中考·蘇州]甲、乙兩位同學同時為校文化藝

術節制作彩旗．已知甲每小時比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗與乙做50面彩旗所用時間相等，問甲、乙每小時各做多少面彩旗？（來自《點撥》）知1－練2【中考·內江】甲、乙兩人同時分別從A，B兩地沿同一條公路騎自行車到C地．已知A，C兩地間的距離為110km，B，C兩地間的距離為100km.甲騎自行車的平均速度比乙快2km/h.結果兩人同時到達C地，求兩人的平均速度，為解決此問題，設乙騎自行車的平均速度為xkm/h.由題意列出方程．其中正確的是(

)A.

B.C.D.（來自《典中點》）知1－練【中考·深圳】施工隊要鋪設一段全長2000m的管

道，因在中考期間需停工兩天，實際每天施工需比原計劃多50m，才能按時完成任務，求原計劃每天施工多少米．設原計劃每天施工xm，則根據題意所列方程正確的是(

)A.B.C.D.（來自《典中點》）2知識點列分式方程解應用題的步驟知2－導

請你說說用分式方程解決實際問題的一般步驟.它與用一元一次方程以及二元一次方程組解決實際問題的一般步驟有哪些異同？知2－講

列分式方程解應用題的一般步驟：(1)審：即審題：根據題意找出已知量和未知量，并找出等量關系．(2)設：即設未知數，設未知數的方法有直接設和間接設，注意單位要統一，選擇一個未知量用未知數表示,并用含未知數的代數式表示相關量．(3)列：即列方程，根據等量關系列出分式方程．(4)解：即解所列的分式方程，求出未知數的值．(5)驗：即驗根，要檢驗所求的未知數的值是否適合分式方程，還要檢驗此解是否符合實際意義．(6)答：即寫出答案，注意答案完整．（來自《點撥》）導引：用代數式分別表示兩車行完全程各自的用時，

再依據它們行完全程相差4h來列方程．知2－講例2[中考·濟南]濟南與北京兩地相距480km，乘坐高鐵列車比乘坐普通快車能提前4h到達，已知高鐵列車的平均行駛速度是普通快車的3倍，求高鐵列車的平均行駛速度．解：設高鐵列車的平均行駛速度為xkm/h，則普通快車

的平均行駛速度為

xkm/h，

根據題意，得

解得x＝240.

經檢驗，x＝240是原方程的解，且符合題意．

答：高鐵列車的平均行駛速度為240km/h.知2－講（來自《點撥》）總

結知2－講

解決行程類應用題，關鍵是抓住行程問題中三個量之間的關系，列方程時特別要注意單位統一．（來自《點撥》）知2－練把分式

與

通分，兩個分式分別變

為()A.B.C.D.（來自《點撥》）知2－練一輛汽車開往距離出發地180km的目的地，按原計劃的速

度勻速行駛60km后，再以原來速度的1.5倍勻速行駛，結果比原計劃提前40min到達目的地，求原計劃的行駛速度.(1)審：審清題意，找出已知量和未知量．(2)設：設未知數，設原計劃的行駛速度為xkm/h，則行駛60km后的速度為________．(3)列：根據等量關系，列分式方程為_________________．(4)解：解分式方程，得x＝________．(5)檢：檢驗所求的解是否為分式方程的解，并檢驗分式方

程的解是否符合問題的實際意義．

經檢驗：________是原方程的解，且符合題意．(6)答：寫出答案(不要忘記單位)．

答：原計劃的行駛速度為________km/h.（來自《典中點》）知2－練王老師家在商場與學校之間，離學校1km，離

商場2km．一天王老師騎車到商場買獎品后再到學校，結果比平常步行直接到校晚20min．

已知騎車速度為步行速度的2.5倍，買獎品時間為10min．求騎車的速度．

分式方程的應用題主要涉及的類型：(1)利潤問題：利潤＝售價－進價，利潤率＝×100%；(2)工程問題：工作量＝工作效率×工作時間；(3)行程問題：路程＝速度×時間．注意：列分式方程解應用題，往往與實數的運算或不等

式聯合應用．易錯警示：列分式方程時易出現單位不統一的錯誤．3知識點列分式方程解應用題的常見類型知3－講（來自《點撥》）知3－講例3某服裝店銷售一種服裝.若按原價銷售，則每月銷

售額為10000元;若按八五折銷售，則每月多賣出

20件，且月銷售額還增加1900元.每件服裝的原

價為多少元？（來自《教材》）分析：本題中的主要等量關系為：按八五折銷售這種服

裝的數量一按原價銷售這種服裝的數量=20件.解：設每件服裝原價為x元.根據題意，得解這個方程得x=200.

經檢驗，x=200是原方程的解.

答：每件服裝的原價為200元.

由實際問題抽象出分式方程，重點在于準確地找出相等關系，找相等關系的方法：應用題中一般有三個量，明顯地有一個量是已知量，設一個量，一定是根據另一個量來找相等關系列方程．總

結知3－講（來自《點撥》）1[中考·泰安]某商店購進一批甲、乙兩種款型時尚T恤衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數是乙種款型件數的1.5倍，甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少30元．(1)甲、乙兩種款型的T恤衫各購進多少件？(2)商店