第一節時域數學模型

—微分方程第二章控制系統的數學模型整理ppt第一節控制系統的時域數學模型項目內容教學目的

如何從實際的物理系統過渡到數學系統，理解物理系統、控制系統、數學系統三者的統一；如何建立控制系統的時域數學模型。教學重點

如何建立控制系統的時域數學模型。教學難點及其處理

關于數學模型的一些基本概念。從簡單到復雜，逐步分層次講解。整理ppt數學模型的基本概念數學、工程、控制三者的統一中學時的函數概念：在電路的學習中對函數概念的理解：自動控制系統對函數概念的理解：研究對象的復雜程度加深一引言整理ppt同樣的x和y，在不同的課程學習中，思維方式發生了變化：中學時的函數是一個純數學的概念；在電路和控制系統中增加了人的因素。可以用數學的方法來解決工程中遇到的實際問題，可以通過機械工程控制基礎課程把數學、機械工程、控制三者聯系統一起來。學習機械工程控制基礎的思維方式：數學的方法，機械工程的意識，控制的語言。整理ppt數學模型的定義：能夠描述控制系統輸出量和輸入量數量關系的表達形式。實際物理系統理想化物理模型數學化數學模型線性化線性數學模型無量綱化可用數學模型標準化標準數學模型整理ppt按輸入輸出的表達形式數學模型的分類微分方程（時間域）傳遞函數（復數域）動態結構圖（各元件傳函的連接關系）響應曲線（step、pulse）頻率特性（bode圖、nyquist圖、nichols圖）狀態變量形式

整理ppt分析法:是根據組成系統各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學中的牛頓定理，熱力學中的熱力學定理等。對于系統結構已知的常用此法。試驗法:對于復雜系統，需要通過實驗，并根據實驗數據，擬合出比較接近實際系統的數學模型。數學模型建立（建模）的方法整理ppt

無論是用分析法還是用實驗法建立模型，都存在模型精度和復雜性之間的矛盾。即描述系統運動特性的數學模型越精確，則方程的階次越高，對系統的分析與設計越困難。所以，在控制工程上總是在滿足分析精度要求的前提下，盡量使數學模型簡單，為此在建立數學模型時常做許多假設和簡化，最后得到的是有一定精度的近似模型。這點與其他課程不同。整理ppt單輸入單輸出線性定常集中參數連續系統微分方程的一般形式為：式中，c(t)是輸出量；r(t)是輸入量。為了所表示系統的可實現性，一般限定。

微分方程的一般形式二時域數學模型-微分方程整理ppt建立系統(或元件)的微分方程的一般步驟1、根據系統(或元件)的工作原理，確定其輸入量和輸出量；2、按照系統中元件所遵循的科學規律(物理或化學定律等)，圍繞輸入量、輸出量及有關中間量，列寫原始方程式，構成微分方程組；3、消去中間變量，得到只含有輸出量和輸入量及其各階導數的微分方程；4、標準化。整理ppt

例1對下圖RC無源網絡，列寫以ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網絡微分方程式。電氣系統整理ppt(1)由KVL，得又因為(2)消去中間變量i(t)(3)標準化解：整理ppt

例2對兩級RC無源網絡，列寫以ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網絡微分方程式。整理ppt對L1，由KVL得對L2，由KVL得列出各元件的輸入變量和輸出變量的關系式R1：R2：C1：C2：解：整理ppt或式中：整理ppt提醒注意上題中如果把第一級電路的輸出看作是第二級電路的輸入，直接利用例1的結論，可列方程如下：消去中間變量uc1(t)，得：原因：后級電路的電流i2影響前級電路的輸出電壓uc1(t)。負載效應整理ppt機械系統

彈簧—質量—阻尼器系統圖2-1表示一個彈簧—質量—阻尼器系統。當外力f(t)作用時，系統產生位移y(t)，要求寫出系統在外力f(t)作用下的運動方程式。f(t)是系統的輸入，y(t)是系統的輸出。列出的步驟如下：（1）運動部件質量用M表示.（2）列出原始方程式。根據牛頓第二定律，有：圖2-1彈簧—質量—阻尼器系統整理ppt（3）f1(t)和f2(t)為中間變量，找出它們與其它因素的關系。阻尼器阻力與運動方向相反，與運動速度成正比，故有：式中f1(t)——阻尼器阻力；f2(t)——彈簧力。

(2.2)

式中B——阻尼系數。設彈簧為線性彈簧，則有：

f2(t)=Ky(t)(2.3)式中K——彈性系數。(2.1)

整理ppt

（4）將式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系統的微分方程式:

式中M、B、K均為常數，此機械位移系統為線性定常系統。式(2.4)還可寫成:

(2.4)(2.4a)則有

(2.4b)令整理ppt機械力學系統的數學模型：相似系統便于用一個簡單的系統去研究與其相似的復雜系統，也為控制系統計算機仿真提供了基礎。提醒注意兩級濾波電路網絡的數學模型：相似系統整理ppt

例圖示為電樞控制式直流電機原理圖，設為電樞兩端的控制電壓，為電機旋轉角速度，為折合到電機軸上的總的負載力矩。當激磁不變時，用電樞控制的情況下，為給定輸入，為干擾輸入，為輸出。系統中ed為電動機旋轉時電樞兩端的反電勢；為電動機的電樞電流；為電動機的電磁力矩。

機電系統微分方程：整理ppt(1)輸入變量為電壓；輸出變量為電機旋轉角速度;中間變量;(2)根據克希荷夫定律，電機電樞回路的方程為式中，L，R分別為電感與電阻。當磁通固定不變時，與轉速成正比，即式中，為反電勢常數。這樣（2.1.5）式為根據剛體的轉動定律，電動機轉子的運動方程為(2.1.5)(2.1.6)(2.1.7)整理ppt

式中，J為轉動部分折合到電動機軸上的總的轉動慣量。當激磁磁通固定不變時，電動機的電磁力矩與電樞電流成正比。即式中，km為電動機電磁力矩常數（3）消除中間變量將（2.1.8）式代入（2.1.7）式得上式略去了與轉速成正比的阻尼力矩。應用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中間變量ia，可得令，則上式為

式（2.1.11）即為電樞控制式直流電動機的數學模型。由式可見，轉速ω既由ua控制，又受ML影響。(2.1.8)(2.1.9)

(2.1.10)

(2.1.11)整理ppt二．微分方程的增量化表示

前面從數學角度討論了系統的模型。下面是考慮工程實際進一步討論模型。(1)電動機處于平衡狀態，變量各階導數為零，微分方程變為代數方程：此時，對應輸入輸出量可表示為：

則有這就是系統的穩態。

（2.1.12）

（2.1.13）整理ppt

（2）系統的穩態并不能長期穩定，閉環控制系統的任務就是要系統工作在穩態。當輸入量發生變化時，輸出量相應變化，輸入輸出量可以記為：則式（2.1.11）可記為：考慮到，上式可變為2.14式的意義是：對于定值控制系統，總是工作在設定值即穩態或平衡點附近，將變量的坐標原點設在該平衡點，則微分方程轉換為增量方程，它同樣描述了系統的動態特性，但它由于不考慮初始條件，求解及分析時方便了許多。

(2.1.14)整理ppt三．非線性微分方程的線性化某些非線性系統，可以在一定條件下，進行線性化。圖2.1.3是一個液壓伺服系統，下面通過它討論線性化問題。整理ppt

(1)輸入變量為閥心位移x；輸出變量為活塞位移y;中間變量(2)按照液壓原理建立動力學方程負載動力學方程為流量連續性方程為q與p一般為非線性關系

(2.1.15)

(2.1.16)(2.1.17)整理ppt（3）線性化處理將(2.17)在工作點領域做泰勒展開，當偏差很小時，可略去展開式的高階項，保留一次項，并取增量關系，有：式中則(2.18)可以寫成

當系統在預定工作條件，，下工作即分別為q,x,p,故（2.1.19）可以寫為(2.1.18)

(2.1.19)

(2.1.20)整理ppt

（4）消除中間變量由(2.20)可得

整理后可得線性化后的動力學方程為：(2.1.21)(2.1.22)整理ppt

圖2.1.4q,p,x三者線性關系整理ppt

小偏差線性化時要注意以下幾點：（1）必須明確系統工作點，因為不同的工作點所得線性化方程的系數不同。本題中參數在預定工作點的值均為零

（2）如果變量在較大范圍內變化，則用這種線性化方法建立的數學模型，在除工作點外的其它工況勢必有較大的誤差。所以非線性模型線性化是有條件的，即變量偏離預定工作點很小。（3）如果非線性函數是不連續的（即非線性特性是不連續的），則在不連續點附近不能得到收斂的泰勒級數，這時就不能線性化。（4）線性化后的微分方程是以增量為基礎的增量方程。整理ppt建立系統(或元件)的微分方程的一般步驟1、根據系統(或元件)的工作原理，確定其輸入量和輸出量；2、按照系統中元件所遵循的科學規律(物理或化學定律等)，圍繞輸入量、輸出量及有關中間量，列寫原始方程式，構成微分方程組；3、消去中間變量，得到只含有輸出量和輸入量及其各階導數的微分方程；4、標準化。小結