機械能守恒定律復習

【知識要點】（一）功（二）功率（三）動能（四）動能定理（五）勢能（六）機械能守恒定律（七）功能關系

(八)物體系中的功和能的問題第一頁第二頁，共55頁。（一）功1、做功的兩個必要因素一個力作用在物體上，物體在力的方向上發生了位移，就說此力對物體做了功．功是力在其作用空間上的累積，是能量轉化的標志和量度．做功的兩個必要因素：力和在力的方向上發生的位移．2、公式W＝Fxcosα此公式為恒力做功的計算式，即式中的F必須為恒力，x是相對于地的位移，α指的是力與位移間的夾角．功的國際單位：焦耳J．第二頁第三頁，共55頁。3、正功和負功功是標量，但也有正，負之分．功的正負僅表示力在物體運動過程中，是起動力還是起阻力的作用．功的正，負取決于力F與位移x的夾角α．從功的公式可知：當0≤α＜90°時，W為正，表示力F對物體做正功，這時的力是動力．當a=90°時，W=0，表示力對物體不做功，這時的力既不是動力，也不是阻力．當90°＜α≤180°時，W為負，表示力F對物體做負功，這時的力是阻力．第三頁第四頁，共55頁。4、總功的計算總功的計算有兩種方法：（1）先求幾個力的合力F的大小和方向，再求合力F所做的功，即為總功．W＝Fxcosα（2）先求作用在物體上的各個力所做的功，再求其代數和．W1＝F1xcosα1W2＝F2xcosα2W＝W1+W2（一般情況下采用第二種方法計算總功）第四頁第五頁，共55頁。5、變力做功對于均勻變化的力F，可先求平均力F平均,再利用W=F平均xcosα求功;若力是非均勻變化的，則一般用能量變化的多少來間接地求功．第五頁第六頁，共55頁。（二）功率:

功與完成這些功所用時間的比叫做功率，它是描述力做功快慢的物理量．在國際單位制中，功率的單位是焦耳/秒（瓦特）．功率有平均功率和即時功率之分．1、平均功率:P平均=W/t,由W=FScosα可知，平均功率可表示為P平均=Fv平均cosα,其中v平均為時間t內的平均速度,α則為力與平均速度之間的夾角。2、即時功率P=Fvcosα，其中v為即時速度，α則為力與即時速度方向的夾角．當力與速度方向一致時，α=0°，cos0°=1,P=Fv由P=Fv可知，當P一定時，F與v成反比，據此可解釋機動車的行駛速度與牽引力之間的關系．第六頁第七頁，共55頁。（三）動能:物體由于運動而具有的能叫做動能．物體的動能在數值上等于它的質量與它的速度平方的乘積的一半．動能的國際單位為焦耳．1、定義式3、動能的變化動能是標量，也是一個狀態量，且恒為正值．2、物體系的動能第七頁第八頁，共55頁。（四）動能定理1、內容外力對物體所做功的代數和等于物體動能的增量，也可表述為：合外力對物體所做的功等于物體動能的增量．2、表達式第八頁第九頁，共55頁。（五）勢能:由相互作用的物體的相對位置或由物體內部各部分之間的相對位置所決定的能，叫做勢能．1、重力勢能地球上的物體均受到重力的作用，物體具有的與它的高度有關的能，叫重力勢能．重力勢能是物體與地球所共有的．（1）定義式；

式中h物體離零勢面的高度，零勢面以上h為正，以下為負．可見，物體所具有的重力勢能與零勢面的選選擇有關，在計算重力勢能時須首先確定零勢能面．一般取地面或初末位置為零勢能參考面．物體在零勢面之上重力勢能為正；物體在零勢面之下重力勢能為負．（2）重力勢能的變化第九頁第十頁，共55頁。即重力對物體做功等于物體重力勢能增量的負值．重力對物體做正功，物體的重力勢能減少；重力對物體做負功，物體的重力勢能增加．注意，重力對物體做功與物體運動的路徑無關，只跟始、末位置有關。第十頁第十一頁，共55頁。2、彈性勢能物體發生彈性形變而具有的能，叫彈性勢能．彈性形變越大，彈性勢能越大．同樣，即彈力對物體做功等于彈簧彈性勢能增量的負值．彈力對物體做功也與路徑無關，只跟始、末位置有關．Ep彈=kx2/2第十一頁第十二頁，共55頁。（六）機械能守恒定律動能和勢能統稱為機械能．l、內容在只有重力或彈力做功的物體系內，動能和勢能可以相互轉化，但總的機械能保持不變．2、數學表達式第十二頁第十三頁，共55頁。說明：機械能守恒的對象是系統，不是單個物體．系統內各物體間的相互作用力叫內力；系統外的物體對系統內的物體的作用力叫外力．對于地球和物體組成的系統，重力是內力．若以地球為參照系，可以將物體和地球系統的機械能簡略稱為物體具有的機械能，即機械能的大小由物體的狀態決定，即由物體的位置（高度）和速度決定．第十三頁第十四頁，共55頁。（七）功能關系若系統內除重力和彈力做功外，還有其他力做功，則物體的機械能不守恒．其他力做了多少功，將有多少其他形式的能轉化為機械能，不同形式的能之間相互轉化中，能的總量保持不變．做功的過程就是能量從一種形式轉化為另一種形式的過程，做了多少功就有多少能量發生轉化；反之，轉化了多少能量就說明做了多少功．做功是能量轉化的量度．

第十四頁第十五頁，共55頁?！疽呻y講解】物體系中的功和能的問題1.物體系:研究對象是兩個或多個物體簡稱為物體系.(1)系統的內力與外力

第十五頁第十六頁，共55頁。(2)保守力與非保守力保守力作功與路徑無關,只與始末位置有關.如重力,彈力.非保守力作功與路徑有關.如摩擦力,發動機提供的力.(3)一對內力的功W=±fx相以子彈打木塊為例W=-fmxm+fMxM=-fd第十六頁第十七頁，共55頁。2.物體系的動能定理:物體系所有外力與內力的總功等于物體系動能的增量.考慮到內力又分為保守力與非保守力,物體系的動能定理又可以表達為第十七頁第十八頁，共55頁。3.物體系的功能原理:除重力(或彈力)之外的其它力所做的功等于系統機械能的增量。證明:因為所以第十八頁第十九頁，共55頁。4.機械能守恒定律:如果系統中只有重力做功(即沒有除重力之外的其它力做功)，那么系統的機械能守恒.證明:因為W外+W內非保=0所以第十九頁第二十頁，共55頁?！镜湫屠}】例1．額定功率為80kW的汽車，在水平長直公路上行駛時最大速度可達20m/s,汽車質量為2×103kg。如果汽車從靜止開始做勻加速直線運動，加速度可達2m/s2。設運動過程中阻力大小不變，試求：（1）汽車運動時所受阻力f；（2）汽車勻加速運動過程可持續的時間t′；（3）汽車啟動后，發電機在第三秒末的即時功率P3；（4）汽車在做勻加速直線運動過程中，發動機所做的功W′．第二十頁第二十一頁，共55頁。分析：當汽車起動后做勻加速直線運動時，發動機牽引力F為恒力，隨著運動速度v的增大，汽車發動機的即時功率P=F·v正比增大，直就要減?。ㄒ员３制囋陬~定功率下運行），因此汽車將做加速度越來越小的加速運動，直到發動機牽引力F減小到與汽車運動阻力f相等時，第二十一頁第二十二頁，共55頁。（2）根據牛頓定律有

ΣF=ma，F-f=maF=f+ma動的時間為t′，則有第二十二頁第二十三頁，共55頁。（3）汽車第3秒末仍在做勻加速直線運動，則（4）根據勻變速運動規律，則有5秒；第3秒末發動機即時功率為48kW；汽車在勻加速直線運動過程中，第二十三頁第二十四頁，共55頁。的公式計算，因為在這一階段汽車發動機的實際功率始終小于其額定功率，汽車尚未達到“全功率運行”狀態．2．對于第（4）問，也可用動能定理求解，即也可用平均功率進行計算，即因為在汽車起動后做勻加速運動時，發動機實際功率為第二十四頁第二十五頁，共55頁。例2．質量為m=3kg的物體與水平地面之間的動摩擦因數μ=0.2，在水平恒力F=9N作用下起動，如圖所示。當m位移s1=8m時撤去推力F，試問：還能滑多遠？(g取10m/s2)分析：物體m所受重力G、支持力N、推力F、滑動摩擦力f均為恒力，因此物體做勻加速直線運動；撤去F后，物體做勻減速直線運動．因此，可用牛頓定律和勻變速直線運動規律求解．物體在動力F和阻力f作用下運動時，G和N不做功，F做正功，f做負功，因此，也可以用動能定理求解．第二十五頁第二十六頁，共55頁。解法一：用牛頓定律和勻變速運動規律，對撤去F推力前、后物體運動的加速度分別為m在勻加速運動階段的末速度為第二十六頁第二十七頁，共55頁。將上兩式相加，得答：撤去動力F后，物體m還能滑4m遠第二十七頁第二十八頁，共55頁。說明：許多動力學問題可以有多種解題方法，對比上述兩種解法可以看出運用動能定理的解法比用牛頓定律（以及運動學規律）的解法要簡捷一些．凡是題目中給出了（或是要求）物體的位移x，這一類題運用動能定理求解總是比較方便的；除非題目中給出了（或是要求）加速度a，才“不得不”運用牛頓定律解題，尤其是對于“從靜止開始”運動到“最后停住”這一類的題，運用動能定理特別簡單，例如本題就屬于這種情況．對全程運用動能定理，則有第二十八頁第二十九頁，共55頁。例3、如圖所示，質量為m的小木塊以水平初速v0沖上質量為M，長為L，置于光滑水平面上的木板B，并正好不從B木板上落下，A、B間動摩擦因數為μ，試求在此過程中系統產生的熱量Q．第二十九頁第三十頁，共55頁。分析

A木塊在B木板上滑行的過程中，A和B所受的滑動摩擦力分別為f、f′，f=f′=μmg，A在f的作用下減速，B在f′的作用下加速，當A滑到B的右端時，A、B達到一樣的速度v，就正好不掉下，設此過程中木板B向前移動的距離為x，滑動摩擦力f對木塊A做解：對A、B分別列出動能定理式：式①-式②得第三十頁第三十一頁，共55頁。根據動量守恒定律Mv0=(m+M)vV=mv0/(m+M)代入上式的Q=mgL=mMv02/2(m+M)注意:L是相對位移．第三十一頁第三十二頁，共55頁。說明：系統克服摩擦力做的總功等于系統機械能的減少量．這部分機械能就轉化為系統內能，這就是“摩擦生熱”，由式③得出結論：作用于系統的滑動摩擦力和系統內物體間相對滑動的位移的乘積，在數值本題在中學物理中有典型意義，它是子彈射擊木塊題型的演變，對它們用動能定理時，畫出示意圖，區分清楚子彈的位移、木塊的位移及子彈對木塊的相對位移十分重要．第三十二頁第三十三頁，共55頁。

例4．一個豎直放置的光滑圓環，半徑為R，c、e、b、d分別是其水平直徑和豎直直徑的端點．圓環與一個光滑斜軌相接，如圖所示．一個小球從與d點高度相等的a點從斜軌上無初速下滑．試求：(1)

過b點時，對軌道的壓力Nb多大？(2)

小球能否過d點，如能，在d點對軌道壓力Nd多大？如不能，小球于何處離開圓環？第三十三頁第三十四頁，共55頁。分析：小球在運動的全過程中，始終只受重力G和軌道的彈力N．其中，G是恒力，而N是大小和方向都可以變化的變力．但是，不論小球是在斜軌上下滑還是在圓環內側滑動，每時每刻所受彈力方向都與即時速度方向垂直．因此，小球在運動的全過程中彈力不做功，只有重力做功，小球機械能守恒．從小球到達圓環最低點b開始，小球就做豎直平面圓周運動．小球做圓周運動所需的向心力總是指向環心O點，此向心力由小球的重力與彈力提供．第三十四頁第三十五頁，共55頁。第三十五頁第三十六頁，共55頁。（2）小球如能沿圓環內壁滑動到d點，表明小球在d點仍在做圓周運動，則當Nd已經減小到零（表示小球剛能到d點，但球與環頂已是接觸而無擠壓，處于“若即若離”狀態)時,

度就不可能沿圓環到達d點．這就表明小球如能到達d點，其機械能至少應是因此小球不可能到達d點．第三十六頁第三十七頁，共55頁。定是在c、d之間的某點s離開圓環的．設半徑Os與豎直方向夾α角，第三十七頁第三十八頁，共55頁。小球從s點開始脫離圓環，所以圓環對小球已無彈力，僅由重力G

小球經過圓環最低點b時，對環的壓力為5mg．小球到達高度為5R/3的s點開始脫離圓環，做斜上拋運動．將①式代入②式得

mgcosα=2mg（1-cosα）

cosα=2/3第三十八頁第三十九頁，共55頁。說明：1．小球過豎直圓環最高點d的最小速度稱為“臨界速度”點就會離開圓環．2．小球從s點開始做斜上拋運動，其最大高度低于d點，讀者可自行證明．第三十九頁第四十頁，共55頁。例5．總質量為M的列車，沿水平直線軌道勻速前進，其末節車廂質量為m，中途脫節．司機發覺時，機車已行駛L的距離，于是立即關閉發動機滑行．設運動的阻力與質量成正比，機車的牽引力恒定，當列車的兩部分都停止時，它們的距離是多少？第四十頁第四十一頁，共55頁。對末節車廂應用動能定理，有說明

本題所求距離為兩個物體的位移之差，需分別對各個物體應用動能定理．求解時也可假設中途脫節時，司機若立即關閉發動機，則列車兩部分將停在同一地點．現實際上是行駛了距離L后才關閉發動機，此過程中牽引力做的功，可看作用來補續前部分列車多行駛一段距離而才停止,則兩者距離x=x1-x2.對前面部分的列車應用動能定理,有

第四十一頁第四十二頁，共55頁。例6：將細繩繞過兩個定滑輪A和B．繩的兩端各系一個質量為m的砝碼。A、B間的中點C掛一質量為M的小球，M<2m，A、B間距離為l，開始用手托住M使它們都保持靜止，如圖所示。放手后M和2個m開始運動。求(1)小球下落的最大位移H是多少？(2)小球的平衡位置距C點距離h是多少？第四十二頁第四十三頁，共55頁。解：(1)如答案圖(a)所示，M下降到最底端時速度為零，此時兩m速度也為零，M損失的重力勢能等于兩m增加的重力勢能(機械能守恒)解得第四十三頁第四十四頁，共55頁。(2)如答案圖(b)所示，當M處于平衡位置時，合力為零，T=mg，則Mg-2mgsinα=0第四十四頁第四十五頁，共55頁。【課堂鞏固】

答案:C1.第四十五頁第四十六頁，共55頁。2.答案:D中，從拋出到動能減少一半，所經歷的時間為

[]第四十六頁第四十七頁，共55頁。3.

如圖所示，小物塊位于光滑的斜面上，斜劈位于光滑的水平地面上．從地面上看，在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜劈對小物塊的作用力 []A．垂直于接觸面，做功為零B．垂直于接觸面，做功不為零C．不垂直于接觸面，做功為零D．不垂直于接觸面，做功不為零答案:B第四十七頁第四十八頁，共55頁。答案:BCD4.第四十八頁第四十九頁，共55頁。5．

從同一高度將3個質量相等的小球以大小相等的初速度分別豎直上拋、平拋和豎直下拋，那么正確結論是 []A．從拋出到落地過程中，重力對3個小球做功相同B．從拋出到落地過程中，重力對3個小球做功的平均功率相同C．3個小球落地時，動能相同D．3個小球落地時，重力的即時功率相同答案:AC第四十九頁第五十頁，共55頁。6．

a、b是一個豎直光滑圓環的水平直徑的兩個端點，有兩個相同質量的小鋼球以相同的初速率v0同時從a點出發，其中一個豎直向上，另一個豎直向下，都始終沿圓環的光滑內壁運動，如圖3-12所示，則正確說法是 []A、兩鋼球將于b點相遇，相遇時速率于v0B、