第18節等腰三角形1．(2020·南寧)如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，觀察圖中尺規作圖的痕跡，則∠DCE的度數為(B)A．60°B．65°C．70°D．75°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))2．(2021·赤峰)如圖，AB∥CD，點E在線段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，則∠D的度數為(B)A．85°B．75°C．65°D．30°3．(2021·青海)已知a，b是等腰三角形的兩邊長，且a，b滿足eq\r(2a－3b＋5)＋(2a＋3b－13)2＝0，則此等腰三角形的周長為(D)A．8B．6或8C．7D．74．(2021·貴陽期末)如圖，∠AOB＝60°，C是BO延長線上一點，OC＝12cm，動點P從點C出發沿CB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發沿OA以1cm/s的速度移動，如果P，Q同時出發，用t表示移動時間，若△POQ是等腰三角形，則此時tA．6或12B．4或12C．4或6D．6eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))5．(2020·荊門)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2eq\r(3)，D為BC的中點，AE＝eq\f(1,4)AB，則△EBD的面積為(B)A．eq\f(3\r(3),4)B．eq\f(3\r(3),8)C．eq\f(\r(3),4)D．eq\f(\r(3),8)6．(2020·濱州)在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A的大小為80°．7．(2021·蘇州)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，則∠B＝54°.eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))8．(2020·黃岡)如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，則∠BAD＝40度．9．(2021·畢節期末)如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度數．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC(等腰三角形三線合一)，∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40°10．(2021·淄博)如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點D，過點D作DE∥BC交AB于點E.(1)求證：BE＝DE；(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度數．解：(1)在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點D，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE(2)∵∠A＝80°，∠C＝40°∴∠ABC＝60°，∵∠ABC的平分線交AC于點D，∴∠ABD＝∠CBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD＝30°，故∠BDE的度數為30°11．(2021·本溪)如圖，在△ABC中，AB＝BC，由圖中的尺規作圖痕跡得到的射線BD與AC交于點E，點F為BC的中點，連接EF，若BE＝AC＝2，則△CEF的周長為(C)A．eq\r(3)＋1B．eq\r(5)＋3C．eq\r(5)＋1D．4eq\o(\s\up7(),\s\do5(第11題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))12．(2020·南充)如圖，在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，則CD＝(C)A．eq\f(a＋b,2)B．eq\f(a－b,2)C．a－bD．b－a13．(2020·青海)已知a，b，c為△ABC的三邊長．b，c滿足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a為方程|x－4|＝2的解，則△ABC的形狀為等腰三角形．14．(2021·達州)如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，點E，F分別是邊AC，BC上的動點，且AE＝CF，連接BE，AF交于點P，連接CP，則CP的最小值為2eq\r(3)．【點撥】由“SAS”可證△ABE≌△CAF，可得∠ABE＝∠CAF，可求∠APB＝120°，過點A，點P，點B作⊙O，則點P在eq\x\to(AB)上運動，利用銳角三角函數可求CO，AO的長，即可求解．15．(2021·紹興)如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連接CD，BE.(1)若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數；(2)寫出∠BEC與∠BDC之間的關系，并說明理由．解：(1)∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°－40°－80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝20°(2)∠BEC＋∠BDC＝110°，理由：設∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋2∠ABE＝180°，∴β＝70°－∠ABE，∴α＋β＝40°＋∠ABE＋70°－∠ABE＝110°，∴∠BEC＋∠BDC＝110°16．(2021·營口)如圖，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D為BC邊中點，連接AF，且A，F，E三點恰好在一條直線上，EF交BC于點H，連接BF，CE.(1)求證：AF＝CE；(2)猜想CE，BF，BC之間的數量關系，并證明．解：(1)連接AD.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC.∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴AF＝CE(2)結論：CE2＋BF2＝eq\f(1,2)BC2.理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC＝eq\f(\r(2),2)BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE，∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝