第一章1.4.1空間向量的應(yīng)用1.掌握空間點、線、面的向量表示.2.理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會用待定系數(shù)法求平面的法向量.3.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題.問題導(dǎo)學(xué)題型探究當(dāng)堂訓(xùn)練學(xué)習(xí)目標(biāo)知識點一直線的方向向量與平面的法向量思考怎樣用向量來表示點、直線、平面在空間中的位置？答案問題導(dǎo)學(xué)

梳理(1)直線的方向向量和平面的法向量答案直線的方向向量能平移到直線上的_____向量，叫做直線的一個方向向量平面的法向量直線l⊥α，取直線l的____________，叫做平面α的法向量非零方向向量n(2)空間中平行關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則答案線線平行l(wèi)∥m?_____?a＝kb(k∈R)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?_____＝0面面平行α∥β?μ∥v?____________線線垂直l⊥m?a⊥b?_______線面垂直l⊥α?a∥μ?___________面面垂直α⊥β?μ⊥v?________a∥ba·μμ＝kv(k∈R)a·b＝0a＝kμ(k∈R)μ·v＝0知識點二利用空間向量處理平行問題思考(1)設(shè)v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分別是直線l1，l2的方向向量.若直線l1∥l2，則向量v1，v2應(yīng)滿足什么關(guān)系.答案答案由直線方向向量的定義知若直線l1∥l2，則直線l1，l2的方向向量共線，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R).(2)若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？答案答案可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進而確定線面是否平行.(3)用向量法處理空間中兩平面平行的關(guān)鍵是什么？答案關(guān)鍵是找到兩個平面的法向量，利用法向量平行來說明兩平面平行.梳理利用空間向量解決平行問題時，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二，通過向量的運算，研究平行問題；第三，把向量問題再轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的立體幾何問題，從而得出結(jié)論.返回解析答案類型一利用方向向量和法向量判定線面的位置關(guān)系題型探究

例1(1)設(shè)a，b分別是不重合的直線l1，l2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1，l2的位置關(guān)系：①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；解①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l(xiāng)1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)1⊥l2.解析答案∴μ·v＝－3＋2＋1＝0，∴μ⊥v，∴α⊥β.②∵μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，解析答案反思與感悟(3)設(shè)μ是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，根據(jù)下列條件判斷平面α與l的位置關(guān)系：①μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)；②μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).解①∵μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，∴μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l(xiāng)?α或l∥α.②∵μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).利用直線的方向向量與平面的法向量判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系是直線的方向向量與平面的法向量的基本應(yīng)用，解決此類問題時需注意以下幾點：(1)能熟練的判斷兩向量的共線與垂直；(2)搞清直線的方向向量，平面的法向量和直線、平面位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系；(3)將向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題時的等價性.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

根據(jù)下列條件，判斷相應(yīng)的線、面位置關(guān)系：(1)直線l1與l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；解析答案解∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)(2)直線l1與l2的方向向量分別是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；解析答案解∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共線也不垂直，即l1與l2相交或異面，但不垂直.(3)平面α與β的法向量分別是μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；解析答案解∵μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴μ·v≠0且μ≠kv(k∈R)，∴μ與v既不共線也不垂直，即α和β相交但不垂直.(4)直線l的方向向量，平面α的法向量分別是a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3).解析答案解∵a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)，

類型二求平面的法向量解析答案反思與感悟解析答案設(shè)平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，反思與感悟設(shè)直線l的方向向量為μ＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量υ＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?μ∥υ?μ＝kν?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中k∈R，平面的法向量的求解方法：①設(shè)出平面的一個法向量為n＝(x，y，z)，②找出(或求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)：a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，反思與感悟④解方程組，取其中的一個解，即得法向量，由于一個平面的法向量有無數(shù)多個，故可在方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量.解析答案證明設(shè)正方體的棱長為1，同理DB1⊥AD1，又AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，

類型三利用空間向量證明平行關(guān)系解析答案例3已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點，求證：(1)FC1∥平面ADE；證明建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)，解析答案反思與感悟(2)平面ADE∥平面B1C1F.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因為n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關(guān)系證明平行問題.反思與感悟解析答案返回跟蹤訓(xùn)練3如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝

AD＝1，問在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E點的位置；若不存在，說明理由.返回解分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，∴存在E點，當(dāng)點E為PD中點時，CE∥平面PAB.1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(

)A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)解析答案A當(dāng)堂訓(xùn)練

123452.已知直線l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直線l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若兩直線l1∥l2，則x，y的值分別是(

)A.6和－10 B.－6和10C.－6和－10 D.6和1012345解析答案解析由兩直線l1∥l2，得兩向量a，b平行，A12345解析答案解析能作為平面α的法向量的向量與μ＝(2，－3,1)共線，(－2,3，－1)＝－μ.D3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是(

)A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)12345解析答案C12345解析答案5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1的一個法向量為________.解析不妨設(shè)正方體的棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為：A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，設(shè)平面ACD1的一個法向量a＝(x，y，z)，12345答案(1,1,1)(答案不唯一)規(guī)律與方法(1)空間中一條直線的方向向量有無數(shù)個.(2)方向向量在判斷線線、線面位置關(guān)系時起到重要的作用.(4)利用待定系數(shù)法求平面的法向量，求出向量的橫、縱、豎坐標(biāo)是具有某種關(guān)系的，而不是具體的值，可設(shè)定某個坐標(biāo)為常數(shù)，再表示其他坐標(biāo).(5)證明線面平行的方法①設(shè)n是平面α的一個法向量，v是直線l的方向向量，則v⊥n且l上至少有一點A?α，則l∥α.②根據(jù)線面平行的判定定理：“如果平面外直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行”，要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是