1.2

矩形的性質與判定第1課時

矩形的性質第一章特殊的平行四邊形觀察下面圖形,長方形在生活中無處不在.情景引入思考長方形跟我們前面學習的平行四邊形有什么關系？你還能舉出其他的例子嗎？長方形（也叫矩形）矩形的性質活動1：利用一個活動的平行四邊形教具演示，使平行四邊形的一個內角變化，請同學們注意觀察.平行四邊形矩形有一個角是直角矩形是特殊的平行四邊形；定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，

也叫做長方形.歸納總結平行四邊形不一定是矩形.思考因為矩形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質；由于它有一個角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質呢？可以從邊，角，對角線等方面來考慮.活動2：準備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.（1）請同學們以小組為單位，測量身邊的矩形（如書本，課桌，鉛筆盒等）的四條邊的長度、四個角的度數和對角線的長度及夾角度數，并記錄測量結果.ABCDOABADACBD∠BAD∠ADC∠AOD∠AOB橡皮擦課本桌子物體測量（實物）（形象圖）（2）根據測量的結果,你有什么猜想？猜想1矩形的四個角都是直角.

猜想2矩形的對角線相等.

你能證明嗎？證明：∵四邊形

ABCD是矩形，

∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB∥DC.∴∠B+∠C=180°.又∵∠B=90°，∴∠C=90°.∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°.(1)如圖，四邊形

ABCD是矩形，∠B=90°.求證：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.ABCD證一證證明：∵四邊形

ABCD是矩形，∴

AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°.在

△ABC和

△DCB中，∵

AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB.∴

AC=DB.ABCDO(2)如圖，四邊形

ABCD是矩形，∠ABC=90°，對角線

AC與

DB相交于點

O.求證：AC=DB.矩形除了具有平行四邊形的所有性質，還具有性質：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.歸納總結幾何語言描述：在矩形

ABCD中，對角線

AC與

DB相交于點

O，故∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.ABCDO矩形的相關概念及性質具有平行四邊形的一切性質四個內角都是直角，兩條對角線互相平分且相等軸對稱圖形有兩條對稱軸直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形1.2

矩形的性質與判定第2課時

矩形的判定第一章特殊的平行四邊形復習引入問題1

矩形的定義是什么？有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.問題2

矩形有哪些性質？矩形邊：角：對角線：對邊平行且相等四個角都是直角對角線互相平分且相等思考工人師傅在做矩形門窗或零件時，如何確保圖形是矩形呢？現在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？這節課我們一起探討矩形的判定吧.對角線相等的平行四邊形是矩形類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.問題1

除了定義以外，判定矩形的方法還有沒有呢？類似地，那我們研究矩形的性質的逆命題是否成立.矩形是特殊的平行四邊形.問題2

上節課我們已經知道“矩形的對角線相等”，反過來，小明猜想對角線相等的四邊形是矩形，你覺得對嗎？思考你能證明這一猜想嗎？我猜想：對角線相等的四邊形是矩形.不對，等腰梯形的對角線也相等.不對，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對角線不僅相等且平分.

已知：如圖，在□ABCD中，AC，DB是它的兩條對角線，且

AC=DB.求證：□ABCD是矩形.證明：∵

AB=DC，BC=CB，AC=DB，

∴△ABC≌△DCB.

∴∠ABC=∠DCB.

∵

AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°.

∴∠ABC=90°.

∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.ABCD證一證矩形的判定定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形.歸納總結幾何語言描述：在平行四邊形

ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形

ABCD是矩形.ADCB思考數學來源于生活，事實上工人師傅為了檢驗兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，其中一種方法就是量一量這個四邊形的兩條對角線長度，如果對角線的長相等，那么窗框一定是矩形，你現在知道為什么了嗎？對角線相等的平行四邊形是矩形.有一個角是直角的平行四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形有三個角是直角的四邊形是矩形運用定理進行計算和證明矩形的判定定義判定定理1.2

矩形的性質與判定第3課時矩形的性質、判定與其他知識的綜合第一章特殊的平行四邊形問題1：矩形有哪些性質？ABCDO①是軸對稱圖形；②四個角都是直角；③對角線相等且互相平分.①定義：有一個角是直角的平行四邊形；②有一組鄰邊相等的矩形；③有一個角是直角的菱形.問題2：矩形的判定方法有哪些？ABCDOE例1如圖，矩形

ABCD的對角線相交于點

O，DE∥AC，CE∥BD.求證：四邊形

OCED是菱形.證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形

OCED是平行四邊形.∵四邊形

ABCD是矩形，∴AC=BD=2OC=2OD.∴OC=OD.∴四邊形

OCED是菱形．矩形的性質、判定與其他知識的綜合運用HGFEDCBA證明：連接

AC、BD.∵

四邊形

ABCD

是矩形，∴

AC

=

BD.∵

點

E、F、G、H

為各邊中點，∴

EF

=

GH

=

FG

=

EH.∴

四邊形

EFGH

是菱形.例2如圖，順次連接矩形

ABCD

各邊中點，得到四邊形

EFGH，求證：四邊形

EFGH

是菱形.CABDEFGH【變式題】如圖，順次連接對角線相等的四邊形

ABCD

各邊中點，得到的四邊形

EFGH是什么四邊形？為何？解：四邊形

EFGH

是菱形.又∵

AC

=

BD，∵

點

E、F、G、H

為各邊中點，∴

EF

=

GH

=

FG

=

EH.∴

四邊形

EFGH

是菱形.

順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，得到的四邊形是菱形.歸納理由如下：連接

AC、BD.ABCDEFGH拓展1如圖，順次連接平行四邊形

ABCD

各邊中點，得到的四邊形

EFGH

是什么四邊形？解：連接

AC、BD.∵

點

E、F、G、H

為各邊中點，∴

四邊形

EFGH

是平行四邊形.拓展2若四邊形

ABCD

是菱形，順次連接菱形

ABCD

各邊中點，得到的四邊形又是什么四邊形？是矩形.為什么呢？例3如圖，在矩形

ABCD

中，AD

=

6，對角線

AC

與

BD

相交于點

O，AE⊥BD，垂足為

E，ED

=

3BE，求

AE

的長.分析：在矩形

ABCD

中，OA=OB，又

AE⊥BD

于

E，BE∶ED

=

1∶3，易證得△OAB

是等邊三角形，繼而求得∠ABE

和∠ADE

的度數，又由

AD

=

6，可求得

AE

的長.解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD.∴OA=OB.∵BE∶ED=1∶3，∴BE∶OB=1∶2.∵AE⊥BD，∴AB=OA.∴OA=AB=OB，即△OAB是等邊三角形.∴∠ABD=60°.∴∠ADE=90°-∠ABD=30°.∴AE=AD=3.例4已知：如圖，在△ABC

中，AB

=

AC，AD

是△ABC

的一條角平分線，AN

是△ABC

的外角∠CAM

的平分線，CE⊥AN，垂足為點

E．（1）求證：四邊形

ADCE

為矩形；（2）連接

DE

交

AC

于點

F，請判斷

四邊形

ABDE

的形狀，并證明；（3）線段

DF

與

AB

有怎樣的關系？

請直接寫出你的結論.證明：在△ABC

中，∵

AB

=

AC，AD

是角平分線，∴∠BAD

=∠CAD，AD⊥BC.∴∠ADC

=

90°.∵

AN

為△ABC

的外角∠CAM

的平分線，∴∠MAN

=∠CAN.∴∠DAE

=∠CAD

+∠CAN

=

90°.∵

CE⊥AN，∴∠AEC

=

90°.∴

四邊形

ADCE

為矩形.（1）求證：四邊形

ADCE

為矩形；解：四邊形

ABDE

是平行四邊形，證明如下：由（1）知，四邊形

ADCE

為矩形，則

AE

=

CD，AC

=

DE.又∵

AB

=

AC，AD

是△ABC

的角平分線，∴

AB

=

DE，BD

=

CD.∴

AE

=

BD.∴

四邊形

ABDE

是平行四邊形.（2）連接

DE

交

AC

于點

F，請判斷四邊形

ABDE

的形狀，并證明；解：DF∥AB，DF

=

AB．理由如下：∵

四邊形

ADCE

為矩形，∴

AF

=

CF.又

BD

=

CD，∴

DF

是△ABC

的中位線，∴

DF∥AB，DF

=AB.(3)線段

DF

與

AB

有怎樣的關系？請直接寫出你的結論.【點評】此題考查了矩形的判定與性質、等腰三角形的三線合一以及三角形中位線的性質．注意數形結合思想的運用．例5如圖所示，在△ABC中，D為

BC邊上的一點，E是

AD的中點，過

A點作

BC的平行線交

CE的延長線于點

F，且

AF＝BD.連接

BF.(1)BD與

DC有什么數量關系？請說明理由；(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形

AFBD是矩形？并說明理由．解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是

AD的中點，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC.(2)當△ABC滿足

AB＝AC時，四邊形

AFBD是矩形.理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形

AFBD是平行四邊形．∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四邊形

AFBD是矩形．【方法總結】本題綜合考查了全等三角形和矩形的判定，明確“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”是解題的關鍵．1.如圖，四邊形ABCD和四邊形

AEFC是兩個矩形，點

B在

EF邊上，若矩形

ABCD和矩形

AEFC的面積分別是

S1，S2，則

S1，S2的大小關系是(

)A．S1＞S2

B．S1＝S2C．S1＜S2D．3S1＝2S2B2.如圖，在△ABC中，點

D，E，F分別是

AB，AC，BC的中點，AH⊥BC于點

H，連接

EH，若

DF＝10cm，則

EH等于(

)A．8cm

B．10cmC．16cm

D．24cmB3.如圖，矩形

ABCD的對角線相交于點

O，AE平分∠BAD交

BC于點

E，若∠CAE＝15°，則∠BOE＝____°．754.如圖，在矩形

ABCD中，AB＝2，BC＝4，點

A，B分別在

y軸，x軸的正半軸上，點

C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么點

C的坐標為

．5.如圖，O是菱形

ABCD的對角線

AC與

BD的交點，CD＝5cm，OD＝3cm.過點

C作

CE∥DB，過點

B作

BE∥AC，CE與

BE相交于點

E.(1)求

OC的長；解：∵四邊形

ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在