試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江西省撫州市七校聯(lián)考2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)z所對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．用反證法證明命題“若，則a，b中至少有一個不為0”成立時，假設(shè)正確的是（

）A．a(chǎn)，b中至少有一個為0 B．a(chǎn)，b中至多有一個不為0C．a(chǎn)，b都不為0 D．a(chǎn)，b都為03．已知在一次降雨過程中，某地降雨量（單位：mm）與時間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可表示為，則在時的瞬時降雨強(qiáng)度為（

）mm/min.A． B． C．20 D．4004．算盤是中國古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（

）A．8 B．10 C．15 D．165．將4個a和2個b隨機(jī)排成一行，則2個b不相鄰的排法種數(shù)為（

）A．10 B．15 C．20 D．246．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由到，左邊增加了（

）A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)7．某小朋友按如圖規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，1大拇指，2食指，3中指，4無名指，5小指，6無名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，…，一直數(shù)到2022時，對應(yīng)的指頭是（

）A．小指 B．中指 C．食指 D．無名指8．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（

）A． B． C． D．9．2021年4月22日是第52個世界地球日，某學(xué)校開展了主題為“珍愛地球，人與自然和諧共生”的活動.該校5名學(xué)生到，，三個社區(qū)做宣傳，每個社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個社區(qū)宣傳，則不同的安排方案共有（

）A．60種 B．90種 C．150種 D．300種10．已知在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．在中，角的對邊分別為．若，則三角形的面積，因?yàn)檫@個公式最早出現(xiàn)在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中，故稱之為海倫公式．將海倫公式推廣到凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在直線，其余各邊均在此直線的同側(cè))中，即“設(shè)凸四邊形的四條邊長分別為，凸四邊形的一對對角和的一半為，凸四邊形的面積為，現(xiàn)有凸四邊形，則四邊形的面積的最大值為（

）A． B．C． D．12．已知，則（

）A． B．4 C． D．6第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，則___________．14．已知復(fù)數(shù)z滿足為z的共軛復(fù)數(shù)，則的最大值為___________．15．已知曲線的一條切線為直線，則的最小值為________．16．北京冬奧會不僅帶動了3億人參與冰雪運(yùn)動，更為全民健身的順利推進(jìn)以及建設(shè)體育強(qiáng)國奠定了堅實(shí)基礎(chǔ).某市于2022年10月份舉行大學(xué)生冰雪運(yùn)動會，該市M大學(xué)派出甲、乙、丙、丁四名大學(xué)生運(yùn)動員參加跳臺滑雪、越野滑雪、單板滑雪和北歐兩項(xiàng)共4個項(xiàng)目的比賽，其中每個人只參加了一個項(xiàng)目的比賽，且參加項(xiàng)目各不相同，以下是A，B，C三名同學(xué)分別猜測這四名運(yùn)動員參加的項(xiàng)目：A說：乙參加的是跳臺滑雪，丁參加的是單板滑雪；B說：甲參加的是北歐兩項(xiàng)，丙參加的是越野滑雪；C說：丙參加的是單板滑雪，丁參加的是跳臺滑雪．已知每個人都猜對了一半，則丁參賽的項(xiàng)目是___________．評卷人得分三、解答題17．已知復(fù)數(shù)．(1)若的實(shí)部與的模相等，求a的值；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，求a的取值范圍．18．（1）若，求正整數(shù)n的值；（2）已知，求正整數(shù)n的值．19．已知a，b都是正數(shù)．(1)若，證明：；(2)當(dāng)時，證明：．20．已知A，B兩地相距，某船從A地逆水到B地，水速為，船在靜水中的速度為．若船每小時的燃料費(fèi)與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當(dāng)，每小時的燃料費(fèi)為720元．(1)求比例系數(shù)；(2)當(dāng)時，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？(3)設(shè)，當(dāng)時，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)若是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限故選：A2．D【解析】【分析】將結(jié)論a，b中至少有一個不為0否定即可【詳解】用反證法證明命題“若，則a，b中至少有一個不為0”成立時，應(yīng)假設(shè)a，b都為0．故選：D3．B【解析】【分析】對題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)，再求時對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則，所以在時的瞬時降雨強(qiáng)度為mm/min.故選：B4．A【解析】【分析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結(jié)果計算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，由分類加法計數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個數(shù)為8.故選：A5．A【解析】【分析】利用插空法，再根據(jù)組合知識，即可得到答案；【詳解】先排4個a有1種排法，再從5個空格中選2個位置放b，共有，故選：A6．D【解析】【分析】分別分析當(dāng)與時等號左邊的項(xiàng)，再分析增加項(xiàng)即可【詳解】由題意知當(dāng)時，左邊為，當(dāng)時，左邊為，增加的部分為，共項(xiàng)．故選：D7．D【解析】【分析】將題目看成歸納推理的問題，可歸納看出其滿足等差數(shù)列，從而解出答案.【詳解】由題意得，大拇指對應(yīng)的數(shù)是，其中，因?yàn)椋詳?shù)到2022時，對應(yīng)的指頭是無名指.故選：D.8．C【解析】【分析】畫出圖形，根據(jù)對稱性，可利用定積分求間的面積，再根據(jù)扇形面積減去三角形面積求解間的面積再求和即可【詳解】如圖所示，所求面積即為陰影部分的面積．聯(lián)立解得或即，．連接．由對稱性知所求面積．故選：C9．C【解析】【分析】把5人按113或122分成三組然后安排到三個社區(qū)即可得．【詳解】由題意不同的安排方案數(shù)為．故選：C．10．D【解析】【分析】函數(shù)在某區(qū)間有極值點(diǎn)，即是導(dǎo)數(shù)在那個區(qū)間上有解.求出，令，然后分離出參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)分析其單調(diào)性，求函數(shù)在區(qū)間的值域，但當(dāng)時，在僅有一根，且在其左右兩邊同號，此時無極值點(diǎn)，故應(yīng)舍去.【詳解】由題知，因?yàn)樵趨^(qū)間上有極值點(diǎn)，所以在區(qū)間上有解，則，解得，令，，令得，則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，則當(dāng)時，，當(dāng)時，在僅有一根，且在其左右兩邊，此時無極值點(diǎn)，故應(yīng)舍去.即.故選：D.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：本題易錯點(diǎn)有兩個，一是函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號不等價，不知道是幾個解，容易錯選B選項(xiàng)；二是函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)在上有解并不等價，還應(yīng)考慮是變號的解，容易錯選C選項(xiàng).11．D【解析】【分析】根據(jù)所給公式計算即可，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】由得又則，所以當(dāng)時，凸四邊形面積的最大值為．故選：D．12．A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，從而可到，再構(gòu)造函數(shù)分析可得，從而得到，再根據(jù)基本不等式取得最值時的關(guān)系求解即可【詳解】由題意得，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，令，則，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，所以，所以，所以，所以．故選：A13．【解析】【分析】求導(dǎo)后代入可得，再求即可【詳解】由題得，得，所以，所以．故答案為：14．9【解析】【分析】設(shè)，再根據(jù)可得z所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析即可【詳解】設(shè)，則，由，得，即，所以z所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，因?yàn)闉閦的共軛復(fù)數(shù)，所以，即，而可看作該圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，所以．故答案為：915．【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)切點(diǎn)為列式，可得，再表達(dá)出，根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由題得．由切線方程，可得消去得，所以，所以當(dāng)，即時，有最小值，最小值為．故答案為：16．越野滑雪【解析】【分析】分別分析甲乙丙丁四人參加的是跳臺滑雪時是否滿足題意分析即可【詳解】若甲參加的是跳臺滑雪，A說對了一半，則丁參加的是單板滑雪，又C說對了一半，則丙參加的是單板滑雪，不符合題意；若乙參加的是跳臺滑雪，A說對了一半，則丁參加的不是單板滑雪，又C說對了一半，則丙參加的是單板滑雪，又B說對了一半，則甲參加的是北歐兩項(xiàng)，丁參加的是越野滑雪；若丙參加的是跳臺滑雪，A說對了一半，則丁參加的是單板滑雪，又C說對了一半，丙參加的是單板滑雪，不符合題意；若丁參加的是跳臺滑雪，A說對了一半，則乙參加的是跳臺滑雪，不符合題意．綜上，丁參賽的項(xiàng)目是越野滑雪．故答案為：越野滑雪17．(1)或(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，解方程可求出a的值；（2）先求出，然后由其在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，可得從而可求出a的取值范圍(1)依題意，，因?yàn)榈膶?shí)部與的模相等，所以，整理得，解得或，所以或．(2)因?yàn)椋衷趶?fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，所以解得，所以a的取值范圍是．18．（1）8；（2）4.【解析】【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)組合數(shù)與排列數(shù)的公式列式約分求解即可【詳解】（1）由得，，又，所以，解得，所以正整數(shù)n為8．（2）由，得，整理得，因?yàn)椋裕裕淼茫獾没颍ㄉ崛ィ?9．(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)可得，再結(jié)合化簡，利用基本不等式證明即可（2）根據(jù)證明的不等式逆推即可(1)證明：由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立．所以．(2)要證，只需證，即證，即證，因?yàn)椋陨鲜匠闪ⅲ猿闪ⅲ?0．(1)5(2)(3)答案見解析【解析】【分析】（1）由題意設(shè)每小時的燃料費(fèi)為，則，然后根據(jù)當(dāng)，每小時的燃料費(fèi)為720元，可求出比例系數(shù)，（2）設(shè)全程燃料費(fèi)為y，根據(jù)題意可得，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出其最小值，（2）分和兩種情況分析計算即可(1)設(shè)每小時的燃料費(fèi)為，則，當(dāng)，每小時的燃料費(fèi)為720元，代入得．(2)由（1）得．設(shè)全程燃料費(fèi)為y，則，所以，令，解得（舍去）或，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，y取得最小值，故為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為．(3)由（2）得當(dāng)時，則y在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，y取得最小值；若時，則y在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，y取得最小值．綜上，當(dāng)時，船的實(shí)際前進(jìn)速度為，全程燃料費(fèi)最省；當(dāng)時，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為，全程燃料費(fèi)最省．21．(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【解析】【分析】（1）求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間求解即可；（2）時，原不等式成立，當(dāng)時，參變分離可得，構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)分析單調(diào)性，求得最小值即可(1)當(dāng)時，，所以，可知在R上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．即的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)由題得對任意恒成立，所以，當(dāng)時，則，原不等式成立，則；當(dāng)時，則，令，其中，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以，所以，所以只需，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．22．(1)；(2)詳見解析【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將方程的實(shí)數(shù)根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)