2021年江蘇中考數學真題分類匯編之方程與不等式

一.選擇題（共5小題）

1.（2021?無錫）方程組］、勺尸5的解是（）

Ix-y=3

x=3

A.卜=2B.fC.fx=4D.

Iy=3Iy=2Iy=lIy=4

2.（2021?鹽城）設xi、%2是一元二次方程W-2x-3=0的兩個根，則xi+n的值為（）

A.-2B.-3C.2D.3

3.（2021?南通）《孫子算經》中有一道題，原文是“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四

尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子

還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設木長x尺，繩

長y尺，可列方程組為（）

x=y+4.5y=x+4.5

A.ix=y+1B.<%+l

x=y+4.5"y=x+4.5

C.<11D.1_1

⑷=X-1

才y-i

4.（2021?蘇州）某公司上半年生產甲、乙兩種型號的無人機若干架，已知甲種型號無人機

架數比總架數的一半多11架，乙種型號無人機架數比總架數的三分之一少2架.設甲種

型號無人機x架，乙種型號無人機y架，根據題意可列出的方程組是（）

xj(x+y)-ll

A.

y卷(x句)+2

x^-(x+y)+ll

B.<

y卷(x+y)-2

x蔣(x+y)-ll

C.<

y=^-(x+y)+2

x=^-(x+y)+ll

D.<

y=^-(x+y)-2

5.（2021?南通）若關于x的不等式組（2x+3>12恰有3個整數解，則實數。的取值范圍是

[x-a40

（）

A.7<tz<8B.7<a&8C.7&a<8D.7，W8

二,填空題（共10小題）

6.（2021?徐州）若用、X2是方程工2+3%=0的兩個根，則xi+x2=.

7.（2021?宿遷）方程」----匕*=1的解是_____________________.

X2-4x-2

8.（2021?宿遷）若關于x的一元二次方程/+o￥-6=0的一個根是3,則4=.

32

9.（2021?南通）若m,n是一元二次方程?+3x-1=0的兩個實數根，則里巨衛的值

3m-1

為.

10.（2021?揚州）揚州雕版印刷技藝歷史悠久，元代數學家朱世杰的《算學啟蒙》一書曾刻

于揚州，該書是中國較早的數學著作之一，書中記載一道問題：”今有良馬日行二百四十

里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”題意是：快馬

每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天追上慢馬？答：快馬

天追上慢馬.

[1.（2021?泰州）關于X的方程--X-1=0的兩根分別為尤I、X2,則X1+X2-的值

為.

12.（2021?鹽城）勞動教育已納入人才培養全過程，某學校加大投入，建設校園農場，該農

場一種作物的產量兩年內從300千克增加到363千克.設平均每年增產的百分率為x,則

可列方程為.

13.（2021?蘇州）若2x+y=1,且0<>'<1,則x的取值范圍為.

14.（2021?連云港）若關于x的方程/-3x+A=0有兩個相等的實數根，則”

15.（2021?南京）設xi,X2是關于x的方程/-3元+上=0的兩個根，且XI=2X2,貝!J&=

三.解答題（共15小題）

16.（2021?蘇州）解方程組：儼~=-4

Ix-2y=-3

17.（2021?泰州）（1）分解因式：?-9x；

（2）解方程：上邑_+1=二二.

x-22-x

18.（2021?南京）解方程_2_+i=1.

x+lX-1

19.（2021?連云港）解方程：=1.

2

x-1x-l

20.（2021?常州）解方程組和不等式組：

⑴卜

（2x-y=3

/、'3x+6>0

（2）.

x-2<-x

21.（2021?無錫）為了提高廣大職工對消防知識的學習熱情，增強職工的消防意識，某單位

工會決定組織消防知識競賽活動，本次活動擬設一、二等獎若干名，并購買相應獎品.現

有經費1275元用于購買獎品，且經費全部用完，已知一等獎獎品單價與二等獎獎品單價

之比為4：3.當用600元購買一等獎獎品時，共可購買一、二等獎獎品25件.

（1）求一、二等獎獎品的單價；

（2）若購買一等獎獎品的數量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購買方式？

22.（2021?鹽城）解不等式組：f3x-1>x+1.

[4x-2<x+4

23.（2021?南京）解不等式1+2（x-1）W3,并在數軸上表示解集.

'xT<0

24.（2021?宿遷）解不等式組5X+2、，并寫出滿足不等式組的所有整數解.

丁

25.（2021?徐州）（1）解方程：4x7=0；

（2）解不等式組：[2X-1<3.

]x+2>3x+8

26.（2021?徐州）某網店開展促銷活動，其商品一律按8折銷售，促銷期間用400元在該網

店購得某商品的數量較打折前多出2件.問：該商品打折前每件多少元？

27.（2021?常州）為落實節約用水的政策，某旅游景點進行設施改造，將手擰水龍頭全部更

換成感應水龍頭.已知該景點在設施改造后，平均每天用水量是原來的一半，20噸水可

以比原來多用5天.該景點在設施改造后平均每天用水多少噸？

28.（2021?揚州）已知方程組產乂與二了的解也是關于r丫的方程以+）,=4的一個解，求〃

的值.

29.（2021?揚州）為保障新冠病毒疫苗接種需求，某生物科技公司開啟“加速”模式，生產

效率比原先提高了20%,現在生產240萬劑疫苗所用的時間比原先生產220萬劑疫苗所

用的時間少0.5天.問原先每天生產多少萬劑疫苗？

30.（2021?連云港）解不等式組：[3x-l>x+l

[x+4<4x-2

2021年江蘇中考數學真題分類匯編之方程與不等式

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

1.（2021?無錫）方程組的解是（）

Ix-y=3

X=1

A.（x=2B.!x=3c,[x=4D.1

Iy=3Iy=2Iy=lIy=4

【考點】解二元一次方程組.

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力.

【分析】將兩個方程相加，可消去y,得到尤的一元一次方程，從而解得x=4,再將x

=4代入①解出y的值，即得答案.

【解答】解：卜4y=52

lx-y=3②

①+②得：2x=8,

把x=4代入①得：4+y=5,

二方程組的解為[x=4

1y=l

故選：c.

【點評】本題考查解二元一次方程組，解題的關鍵是消元，常用消元的方法有代入消元

法和加減消元法.

2.（2021?鹽城）設xi、X2是一元二次方程--您-3=0的兩個根，則xi+%2的值為（）

A.-2B.-3C.2D.3

【考點】根與系數的關系.

【專題】方程思想.

【分析】根據一元二次方程的根與系數的關系Xl+X2=-也?可以直接求得X1+X2的值.

a

【解答】解：?.?一元二次方程7-2x-3=0的二次項系數是a=l,一次項系數b=-2,

,由韋達定理，得

Xl+%2=2.

故選：C.

【點評】此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題

是一種經常使用的解題方法.

3.（2021?南通）《孫子算經》中有一道題，原文是“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四

尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子

還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設木長x尺，繩

長y尺，可列方程組為（）

x=y+4.5y=x+4.5

7x=y+1yy=x+i

x=y+4.5y=x+4.5

【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組.

【專題】一次方程（組）及應用：應用意識.

【分析】根據用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木

還剩余1尺，可以列出相應的方程組，從而可以解答本題.

【解答】解：由題意可得，

y=x+4.5

故選：D.

【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，找

出題目中的等量關系，列出相應的方程組.

4.（2021?蘇州）某公司上半年生產甲、乙兩種型號的無人機若干架，已知甲種型號無人機

架數比總架數的一半多11架，乙種型號無人機架數比總架數的三分之一少2架.設甲種

型號無人機x架，乙種型號無人機y架，根據題意可列出的方程組是（）

']

x=^（x+y）-ll

O

y=y(x+y)+2

x=-7-(x+y)+ll

o

y=y(x+y)-2

x=y(x+y)-ll

c.<

燈)+2

x^(x+y)+ll

D.

y=^-(x+y)-2

【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組.

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識.

【分析】設甲種型號無人機x架，乙種型號無人機y架，根據“甲種型號無人機架數比

總架數的一半多II架，乙種型號無人機架數比總架數的三分之一少2架”列出方程組,

此題得解.

【解答】解：設甲種型號無人機x架，乙種型號無人機y架，根據題意可列出的方程組

x=^-(x+y)+ll

是：，

y^-(x+y)-2

故選：D.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，列方程組解應用題的關鍵

是找準等量關系.

5.（2021?南通）若關于x的不等式組NX'UN恰有3個整數解，則實數。的取值范圍是

x-a40

()

A.7<a<8B.7VaW8C.7Wa<8D.7WaW8

【考點】一元一次不等式組的整數解.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，求出不等式組的3個整數

解是5,6,7,再求出。的取值范圍即可.

【解答】解：產+3>12①，

[x-a《。②

解不等式①，得x>4.5,

解不等式②，得xW“，

所以不等式組的解集是4.5VxWa,

?.?關于x的不等式組（2x+3>12恰有3個整數解（整數解是5,6,7）,

[x-a《O

???7?8,

故選：C.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數解，能根據不等式組的解集

和不等式組的整數解得出。的范圍是解此題的關鍵.

二.填空題（共10小題）

6.（2021?徐州）若加、X2是方程/+31=0的兩個根，則xi+x2=-3.

【考點】根與系數的關系.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【分析】由川、X2是方程/+3x=0的兩個根，利用根與系數的關系可得出川+X2的值.

【解答】解：?.”1、M是方程1+3%=0的兩個根,a=l,b=3,

，X1+X2=--=-3.

a

故答案為：-3.

【點評】本題考查了根與系數的關系，牢記“兩根之和等于一上”是解題的關鍵.

a

7.（2021?宿遷）方程二----1_=1的解是-1土6.

一

X2.4x-2—2

【考點】解一元二次方程-公式法；解分式方程.

【專題】計算題；運算能力.

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2-x（x+2）=7-4,

去括號得：2-x2-2x=x2-4,

移項合并同類項得：?+x-3=0,

解得：尸二1±

2

經檢驗》=二1^返是分式方程的解.

2

故答案為：t±

2

【點評】此題考查了解分式方程和一元二次方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意

要檢驗.

8.（2021?宿遷）若關于x的一元二次方程6=0的一個根是3,則a=-1.

【考點】一元二次方程的解.

【專題】二次函數圖象及其性質；運算能力.

【分析】直接把尤=3代入方程/+公-6=0得到關于。的一次方程，然后解一次方程即

可.

【解答】解：把x=3代入方程/+ar-6=0得9+3a-6=0,解得a=-l.

故答案為-1.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值

是一元二次方程的解.

32

9.（2021?南通）若,”，〃是一元二次方程f+3x-1=0的兩個實數根，則回二山1的值為

3m-1

3.

【考點】根與系數的關系.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【分析】先根據一元二次方程的解的定義得到俄2+3“-1=0,再根據根與系數的關系得

到m+n=-3,再將其代入所求式子即可求解.

【解答】解：小，〃是一元二次方程/+3x-1=0的兩個實數根，

/W2+3AW-1=0,

3m-1=-川，

VA=13>0,

m+n=~3,

...la3+111、_m2（mtn）__施2_3,

3m-13m-1_m2

故答案為3.

【點評】本題考查了根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程的解與方程的關系得到3m

-1=-序是解題的關鍵.

10.（2021?揚州）揚州雕版印刷技藝歷史悠久，元代數學家朱世杰的《算學啟蒙》一書曾刻

于揚州，該書是中國較早的數學著作之一，書中記載一道問題：“今有良馬日行二百四十

里，鴛馬日行一百五十里，鴛馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”題意是：快馬

每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天追上慢馬？答：快馬

20天追上慢馬.

【考點】一元一次方程的應用.

【專題】行程問題；方程思想；一次方程(組)及應用；應用意識.

【分析】設良馬行x日追上弩馬，根據路程=速度X時間結合兩馬的路程相等，即可得

出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論.

【解答】解：設快馬行x天追上慢馬，則此時慢馬行了(x+12)日，

依題意,得：240%=150(x+12),

解得：x=20,

，快馬20天追上慢馬，

故答案為：20.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解

題的關鍵.

11.(2021?泰州)關于x的方程/-x-1=0的兩根分別為xi、X2,則xi+%2-的值為

2.

【考點】根與系數的關系.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【分析】直接根據根與系數的關系求解.

【解答】解：???關于x的方程W-x-1=0的兩根分別為川、0

.".XI*X2--1,X\+X2—\,

.'.X]+X2-X1*X2=1-(-1)=2,

故答案為2.

【點評】本題考查了根與系數的關系：若XI,X2是一元二次方程nx2+fev+c=0(“W0)的

兩根時，X1+X2--—,XiX2——.

aa

12.(2021?鹽城)勞動教育已納入人才培養全過程，某學校加大投入，建設校園農場，該農

場一種作物的產量兩年內從300千克增加到363千克.設平均每年增產的百分率為x,則

可列方程為300(1+x)2=363.

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應用；應用意識.

【分析】可先表示出第一年的產量，那么第二年的產量X(1+增長率)=363,把相應數

值代入即可求解.

【解答】解：第一年的產量為300義(1+x),

第二年的產量在第一年產量的基礎上增加x,為300義(1+x)X(1+x),

則列出的方程是300(1+x)2=363.

故答案是:300(1+x)2=363.

【點評】考查由實際問題抽象出一元二次方程，若設變化前的量為小變化后的量為從

平均變化率為x,則經過兩次變化后的數量關系為a(l±x)2=尻

13.(2021?蘇州)若2x+y=l,且0<y<l,則x的取值范圍為0<x<L.

2~

【考點】不等式的性質.

【專題】一次函數及其應用；運算能力.

【分析】由2A，+y=l得y=-2x+l,根據％=-2<0可得，當y=0時，x取得最大值，當

y=l時，x取得最小值，將y=0和y=l代入解析式，可得答案.

【解答】解：由2x+y—1得y=-2x+l,

根據0<y<l可知I,

當y=0時，x取得最大值，且最大值為」，

2

當y=l時，x取得最小值，且最小值為0,

所以0<x<A.

2

故答案為：0<x<l.

2

【點評】此題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵.

14.(2021?連云港)若關于x的方程--3x+A=0有兩個相等的實數根，貝必=9.

-4一

【考點】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【分析】根據根的判別式△=()，即可得出關于女的一元一次方程，解之即可得出k值.

【解答】解：?.?關于x的方程f-3x+k=0有兩個相等的實數根，

；.△=(-3)2-4XlXk=0,

解得：k=9.

4

故答案為：9.

4

【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當△=（）時，方程有兩個相等的實數根”是解題

的關鍵.

15.（2021?南京）設xi,x2是關于x的方程/-3%+上=0的兩個根，且xi=2x2,則k=2.

【考點】根與系數的關系.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【分析】根據根與系數的關系求得垃=1，將其代入已知方程，列出關于左的方程，解方

程即可.

【解答】解：根據題意，知X1+X2=3X2=3,則X2=l,

將其代入關于X的方程X2-3X+Z=O,得I2-3Xl+k=0.

解得％=2.

故答案是：2.

【點評】此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題

是一種經常使用的解題方法.

三.解答題（共15小題）

16.（2021?蘇州）解方程組:J3x-y='4.

Ix-2y=-3

【考點】解二元一次方程組.

【專題】一次方程（組）及應用.

【分析】可以注意到①式可變形為y=3x+4,代入②式即可對），進行消元.再解一元一次

方程即可

【解答】解：儼-yio

Ix-2y=-3②

由①式得y=3x+4,

代入②式得x-2（3x+4）=-5x-8=-3

解得x=-1

將x=-1代入②式得-1-2y=-3,得y=1

.fx=-l

Iy=l

【點評】此題主要考查二元一次方程組的解法，熟練運用代入消元法是解題的關鍵.

17.（2021?泰州）（1）分解因式：?-9x；

（2）解方程：互+1=工.

x-22-x

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用；解分式方程.

【專題】因式分解；分式方程及應用：運算能力.

【分析】(1)原式提取X,再利用平方差公式分解即可：

(2)分式方程變形后，去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗

即可得到分式方程的解.

【解答】解：(1)原式=x(x2-9)

—x(x+3)(x-3)；

(2)方程整理得：2+1=一旦，

x-2x~2

去分母得：2x+x-2=-5,

解得：x=-1,

檢驗：當x=-1時，x-2=-3W0,

分式方程的解為》=-1.

【點評】此題考查了解分式方程，以及提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式

分解的方法以及分式方程的解法是解本題的關鍵.

18.(2021?南京)解方程工.

x+1x-l

【考點】解分式方程.

【專題】分式方程及應用；運算能力.

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經檢驗即可

得到分式方程的解.

【解答】解：方程兩邊同乘(x+1)(X-1),得

2(%-1)+X2-1—X(x+1),

解得x=3.

經檢驗x=3是原方程的根，

???原方程的解x=3.

【點評】本題考查了解分式方程，解分式方程的關鍵是兩邊同乘最簡公分母，將分式方

程轉化為整式方程，易錯點是忽視檢驗.

19.(2021?連云港)解方程：止1-_生_=1.

2

x-lx-l

【考點】解分式方程.

【專題】計算題.

【分析】觀察可得方程最簡公分母為：(x+l)(X-1),方程兩邊乘最簡公分母，可以把

分式方程轉化為整式方程求解.

【解答】解：方程兩邊同乘(x+1)(X-1),得

(jc+1)2-4=(x+1)(x-1),

整理得2%-2=0,

解得x=1.

檢驗：當x=l時，(x+1)(x-1)=0,

所以x=l是增根，應舍去.

???原方程無解.

【點評】解分式方程的關鍵是兩邊同乘最簡公分母，將分式方程轉化為整式方程，易錯

點是忽視檢驗.

20.(2021?常州)解方程組和不等式組:

12x-y=3

⑵伊+6>。.

x-2<-x

【考點】解二元一次方程組；解一元一次不等式組.

【專題】一次方程(組)及應用；一元一次不等式(組)及應用；運算能力.

【分析】(1)利用加減消元法求解即可；

(2)分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：⑴卜4y①，

12x-y=3②

①+②，得：3x=3,

解得x=l，

將x=l代入①，得：l+y=0,

解得y=-1，

則方程組的解為fx=l；

ly=-l

(2)解不等式3x+6>0,得：x>-2,

解不等式x-2<-無，得：x<l,

則不等式組的解集為-2VxV1.

【點評】本題考查的是解二元一次方程組和一元一次不等式組，正確求出每一個不等式

解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則

是解答此題的關鍵.

21.（2021?無錫）為了提高廣大職工對消防知識的學習熱情，增強職工的消防意識，某單位

工會決定組織消防知識競賽活動，本次活動擬設一、二等獎若干名，并購買相應獎品.現

有經費1275元用于購買獎品，且經費全部用完，已知一等獎獎品單價與二等獎獎品單價

之比為4：3.當用600元購買一等獎獎品時，共可購買一、二等獎獎品25件.

（1）求一、二等獎獎品的單價；

（2）若購買一等獎獎品的數量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購買方式？

【考點】二元一次方程的應用；分式方程的應用.

【專題】一次方程（組）及應用；分式方程及應用；應用意識.

【分析】（1）設一等獎獎品單價為4x元，則二等獎獎品單價為3x元，根據數量=總價

?單價，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出x的值，再將其代入4x,

3尤中即可求出結論；

（2）設購買一等獎獎品機件，二等獎獎品〃件，利用總價=單價X數量，即可得出關于

m,”的二元一次方程，結合加，"均為正整數且4Wm<10,即可得出各購買方案.

【解答】解：（1）設一等獎獎品單價為4尤元，則二等獎獎品單價為3x元，

依題意得：600+1275-600=25,

4x3x

解得：x=15,

經檢驗，x=15是原方程的解，且符合題意，

.'.4x=60,3x=45.

答：一等獎獎品單價為60元，二等獎獎品單價為45元.

（2）設購買一等獎獎品機件，二等獎獎品〃件，

依題意得：60m+45〃=1275,

.?.〃=85-帆

3

?.?①，〃均為正整數，且4WmW10,

或（m=7或20,

ln=23ln=19ln=15

共有3種購買方案，

方案1：購買4件一等獎獎品，23件二等獎獎品；

方案2：購買7件一等獎獎品，19件二等獎獎品；

方案3：購買10件一等獎獎品，15件二等獎獎品.

【點評】本題考查分式方程的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準

等量關系，正確列出分式方程；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程.

22.（2021?鹽城）解不等式組：[3x-l>x+l

[4x-2<x+4

【考點】解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；應用意識.

【分析】根據解不等式的表示方法分別解第一個和第二個不等式，解集依據：解的大于

號后面是小數，小于號后面是大數，解就是在小數和大數中間.即可得答案.

’3x-l>x+l,①

【解答】解:

4x-2<x+4,②

解不等式①得：

解不等式②得：x<2,

在數軸上表示不等式①、②的解集（如圖）,

-10123

不等式組的解集為1?2.

【點評】本題考查了一元一次方程組，解本題的關鍵記住：解的大于號后面是小數，小

于號后面是大數，解就是在小數和大數中間.

23.（2021?南京）解不等式1+2（x-1）W3,并在數軸上表示解集.

【考點】在數軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【分析】去括號后移項、合并同類項可得不等式解集，根據小于向左，包括該數用實心

點在數軸上表示解集即可.

【解答】解：1+2（x-1）W3,

去括號，得1+2X-2W3.

移項、合并同類項，得2x<4.

化系數為1,得xW2.

表示在數軸上為：

-II-----1-----

-10123.

【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，定邊界點時要注意，點是實心還

是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點.

'xT<0

24.（2021?宿遷）解不等式組.5X+2,并寫出滿足不等式組的所有整數解.

■〉x-1

【考點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數解.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式x-l<0,得：x<l,

解不等式5x+2-1,得：x》-匹，

23

則不等式組的解集為-9

，不等式組的整數解為-1、0.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組及其整數解，正確求出每一個不等式解集是

基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答

此題的關鍵.

25.（2021?徐州）（1）解方程:4x7=0；

（2）解不等式組：.

x+2>3x+8

【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式組.

【專題】一元二次方程及應用；一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出兩個方程的

解即可；

（2）先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可.

【解答】解：（1）/-4x-5=0,

（x-5）（x+1）=0,

x-5=0或x+l=0,

解得：Xl=5,X2=-1;

（2）12x-l<3①

fx+2>3x+8②，

解不等式①，得xW2,

解不等式②，得x<-3,

所以不等式組的解集是x<-3.

【點評】本題考查了解一元二次方程和解一元一次不等式組，能把一元二次方程轉化成

一元一次方程是解（1）的關鍵，能根據不等式的解集求出不等式組的解集是解（2）的

關鍵.

26.（2021?徐州）某網店開展促銷活動，其商品一律按8折銷售，促銷期間用400元在該網

店購得某商品的數量較打折前多出2件.問：該商品打折前每件多少元？

【考點】分式方程的應用.

【專題】分式方程及應用；運算能力；應用意識.

【分析】設該商品打折前每件x元，則打折后每件0.8x元，400元該商品打折前可購幽

X

件，打折后可購型上件，根據“用400元在該網店購得某商品的數量較打折前多出2

0.8x

件”列出方程，解方程求出X問題得解.

【解答】解：設該商品打折前每件x元，則打折后每件0.8X元，

根據題意得，%+2=3_,

x0.8x

解得，x=50,

檢驗：經檢驗，x=50是原方程的解.

答：該商品打折前每件50元.

【點評】本題主要考查了分式方程的應用，根據“用400元在該網店購得某商品的數量

較打折前多出2件”找出等量關系是解決問題的關鍵.

27.（2021?常州）為落實節約用水的政策，某旅游景點進行設施改造，將手擰水龍頭全部更

換成感應水龍頭.已知該景點在設施改造后，平均每天用水量是原來的一半，20噸水可

以比原來多用5天.該景點在設施改造后平均每天用水多少噸？

【考點】分式方程的應用.

【專題】分式方程及應用；應用意識.

【分析】設該景點在設施改造后平均每天用水x噸，則在改造前平均每天用水2%噸，根

據“20噸水可以比原來多用5天”列出方程并解答.

【解答】解：設該景點在設施改造后平均每天用水X噸，則在改造前平均每天用水2r噸,

根據題意，得歿-型=5.

x2x

解得x=2.

經檢驗：x=2是原方程的解，且符合題意.

答：該景點在設施改造后平均每天用水2噸.

【點評】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

28.（2021?揚州）已知方程組燈=7的解也是關于小丫的方程,比+產4的一個解，求。

Ix=y-l

的值.

【考點】二元一次方程組的解.

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力.

【分析】求出方程組的解得到x與），的值，代入方程計算即可求出a的值.

【解答】解：方程組儼曠?，

lx=y-l②

把②代入①得：20-l）+y=7,

解得：y=3,代入①中，

解得：尤=2,

把x=2,），=3代入方程ax+y=4得，2a+3=4,

解得：a——.

2

【點評】此題考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程的解，方程組的解即為能

使方程組中兩方程成立的未知數的值.

29.（2021?揚州）為保障新冠病毒疫苗接種需求，某生物科技公司開啟“加速”模式，生產

效率比原先提高了20%,現在生產240萬劑疫苗所用的時間比原先生產220萬劑疫苗所

用的時間少0.5天.問原先每天生產多少萬劑疫苗？

【考點】分式方程的應用.

【專題】分式方程及應用；應用意識.

【分析】設原先每天生產x萬劑疫苗，根據現在生產240萬劑疫苗所用的時間比原先生

產220萬劑疫苗所用的時間少0.5天可得方程，解之即可.

【解答】解：設原先每天生產x萬劑疫苗，

由題意可得：72405=220,

（1+20%）xx

解得：x=40,

經檢驗：x=40是原方程的解，

原先每天生產40萬劑疫苗.

【點評】此題主要考查了分式方程的應用，列分式方程解應用題的一般步驟：設、歹I、

解、驗、答.必須嚴格按照這5步進行做題，規范解題步驟，另外還要注意完整性.

30.（2021?連云港）解不等式組：（3x-?x+l

[x+4<4x-2

【考點】解一元一次不等式組.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式3x-lNx+1,得：

解不等式x+4<4x-2,得：x>2,

不等式組的解集為x>2.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

考點卡片

1.提公因式法與公式法的綜合運用

提公因式法與公式法的綜合運用.

2.一元一次方程的應用

（-）一元一次方程解應用題的類型有：

（1）探索規律型問題；

（2）數字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=粵翼X100%）；（4）工程問題（①工作量=

進價

人均效率義人數X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=工作

總量）；

（5）行程問題（路程=速度X時間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題;

（10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量,

直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關的量，找出

之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、歹U、解、答.

列一元一次方程解應用題的五個步驟

1.審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系.

2.設：設未知數（x）,根據實際情況，可設直接未知數（問什么設什么），也可設間接未知

數.

3.歹!）：根據等量關系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數的值.

5.答：檢驗未知數的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

3.二元一次方程的應用

二元一次方程的應用

（1）找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系.

（2）找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）挖掘題目中的關系，找出等量關系，列出二元一次方程.

（4）根據未知數的實際意義求其整數解.

4.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數學概念是數學的基礎與出發點，當遇到

有關二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數.

5.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來.②將變形后的關系式代

入另一個方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求出x

（或y）的值.④將求得的未知數的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數的值.⑤

把求得的x、y的值用“廣聯立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數

的系數既不相等又不互為相反數，就用適當的數去乘方程的兩邊，使某一個未知數的系數相

等或互為相反數.②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元一

次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數的值.④將求出的未知數的值代入原方程組的

任意一個方程中，求出另一個未知數的值.⑤把所求得的兩個未知數的值寫在一起，就得到

原方程組的解，用［x=a的形式表示.

Iy=b

6.由實際問題抽象出二元一次方程組

（1）由實際問題列方程組是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量

和未知量聯系起來，找出題目中的相等關系.

（2）一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示

的是同類量；②同類量的單位要統一；③方程兩邊的數值要相符.

（3）找等量關系是列方程組的關鍵和難點，有如下規律和方法：

①確定應用題的類型，按其一般規律方法找等量關系.②將問題中給出的條件按意思分割成

兩個方面，有“」時一般“；”前后各一層，分別找出兩個等量關系.③借助表格提供信息

的，按橫向或縱向去分別找等量關系.④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量關系.

7.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知

數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解.這xi,%2是一元二次方程以

=0（a/0）的兩實數根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

ax\1+bx\+c=0（aWO）,ax22+hx2+c=0（aWO）.

8.解一元二次方程-公式法

（1）把尸.-b±\/b2_4ac"2_4改20）叫做一元二次方程a/+fcc+c=O（aWO）的求根

2a

公式.

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進而確定a,b,c的值（注意符號）：

②求出廿-4ac的值（若層-4例＜0,方程無實數根）；

③在廿-4"20的前提下，把〃、氏c的值代入公式進行計算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①aWO;②/-4“c—0.

9,解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式

分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

10.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△=啟-4"）判斷方程的根的情況.

一元二次方程辦2+公+。=0(aWO)的根與△=/?2-4ac有如下關系：

①當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數根；

③當^<0時，方程無實數根.

上面的結論反