第五章§5.1切比雪夫不等式§5.2大數定律一、問題的提出1.頻率的穩定性：在第一章概率的統計定義里提到，在大量重復試驗中，事件A發生的頻率mn/n在[0，1]內的某個數p附近擺動，且試驗次數n越大，擺動的幅度越小.把頻率的穩定值p叫做概率.這里頻率的穩定性并非而是隨著n的不斷增加，頻率mn/n趨向于概率p幾乎是必然的，或頻率遠離概率幾乎是不可能的.即2.一般平均結果也具有穩定性如：測量長為a的木棒，在測量中，由于各種因素的影響，測量結果是個隨機變量.做n次測量，其算術平均值也不就等于a，但當n→∞時，算術平均值幾乎就是a.即3.

大數定理的一般概念凡是用來闡明大量的隨機變量的平均結果具有穩定性的一系列定理統稱為大數定律.二、切比雪夫不等式定理5.1設隨機變量X的期望EX及方差DX存在,則對任意的

e>0，

有EXEX-

EX+

或三、切比雪夫大數定理

定理5.3設X1,X2,…,X

n,…是相互獨立的隨機變量序列，期望EX1,EX2,…,EXn,…及方差DX1,DX2,…,DXn,…都存在，且方差有界（對任意i有DXi

M（常數）），則對于任意的>0，恒有10

依概率收斂——設{Xn}為隨機變量序列，a為常數，若則稱隨機變量{Xn}依概率收斂于a.記作20大數定理反映的就是平均結果依概率收斂于一個常數.Xn

Pa

推論設X1,X2,…,Xn,…是獨立同分布的隨機變量序列，EXi=

,DXi=

2（i=1，2，…），則對于任意的>0，恒有30當n充分大時,“n個獨立隨機變量的算術平均”的離散程度是很小的.即，只要n充分大，盡管n個隨機變量可以各有分布，但其算術平均以后得到的隨機變量將較密集地聚集在它的期望附近，不再為個別隨機變量所左右---大數定律.推論中方差的存在性可去掉.四、貝努利大數定理證：利用切比雪夫大數定理很容易證明.設mn為n重貝努利試驗中事件A發生的次數，p是A在每次試驗中發生的概率，則對任意的>0有或該定理給出了頻率的穩定性的理論依據，說明在試驗條件不變的情況下，重復進行多次試驗時，事件A發生的頻率將依概率收斂于概率.這正是概率的統計定義的理論依據.五、小概率事件的實際不發生原理若P(A)=p很小，由Bernoulli大數定理知：A發生的頻率m/n很小，即大量試驗中A發生的次數很少，那么在一次（個別）試驗中，我們認為A不發生.小概率事件的實際不發生原理：一個概率很小的事件在個別試驗中是不可能發生的.實際生活中，我們就是忽略了小概率事件發生的可能性.如守株待兔、因噎廢食等.10何謂小概率？這一問題在概率論中不能給出統一標準.注20小概率事件的實際不發生與不可能事件的區別.引例：測量的誤差X服從正態分布，測量時受很多因素的影響，如儀器的精度、人的視覺、空氣的溫度、濕度…等，各個因素獨立的，對誤差X的影響都是微小的，甚至是感覺不到的，但它們的總和使得測量產生誤差X服從正態分布.

一個隨機變量，如果它是很多個相互獨立的隨機變量之和，不管它們是離散的還是連續的或者是任何類型的，只要它們其中每一個對總和只產生微小的影響，則當求和項數無限增加時，這一總和的分布就趨于正態分布.這就是中心極限定理的內容.§5.3中心極限定理一、中心極限定理的一般概念

凡是用來闡明大量的獨立的隨機變量和的分布以正態分布為極限的一系列定理，統稱為中心極限定理.

定理5.4(林德貝格-勒維中心極限定理）(2)定理對離散型、連續型R.V.都適用.二、獨立同分布中心極限定理=P(Yn≤x)=F(x)N(0,