PAGEPAGE17系統復習輕松應考七年級數學上冊知識點第一章有理數1.1正數與負數①正數：大于0的數叫正數。（根據需要，有時在正數前面也加上“+”）②負數：在以前學過的0以外的數前面加上負號“-”的數叫負數。與正數具有相反的意義。③0既不是正數也不是負數。0是正數和負數的分界，是唯一的中性數。注意：搞清相反意義的量：南北；東西；上下；左右；上升下降；高低；增長減少等1.2有理數1、有理數（1）整數:正整數、0、負整數統稱整數；（2）分數;正分數和負分數統稱分數；（3）有理數：整數和分數統稱有理數。2、數軸（1）定義：通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫數軸；（2）數軸三要素：原點、正方向、單位長度；（3）原點：在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點；（4）數軸上的點和有理數的關系：所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點，不都是表示有理數。3、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。（例：2的相反數是-2；0的相反數是0）4、絕對值：（1）數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|。從幾何意義上講，數的絕對值是兩點間的距離。（2）一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。兩個負數，絕對值大的反而小。1.3有理數的加減法①有理數加法法則：1、同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。（同號取同,再相加）2、絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。（異號取大，再相減）3、一個數同0相加，仍得這個數。②有理數減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數。1.4有理數的乘除法①有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數同0相乘，都得0；乘積是1的兩個數互為倒數。乘法交換律/結合律/分配律②有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數；兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；0除以任何一個不等于0的數，都得0。1.5有理數的乘方1、求n個相同因數的積的運算，叫乘方，乘方的結果叫冪。在a的n次方中，a叫做底數，n叫做指數。負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數，0的任何次冪都是0。2、有理數的混合運算法則：先乘方，再乘除，最后加減；同級運算，從左到右進行；如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。3、科學記數法：把一個大于10的數表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科學記數法，注意a的范圍為1≤a<10。4、近似數四舍五入法第二章整式的加減2.1整式1、單項式：由數字和字母乘積組成的式子。系數，單項式的次數.單項式指的是數或字母的積的代數式．單獨一個數或一個字母也是單項式．因此，判斷代數式是否是單項式，關鍵要看代數式中數與字母是否是乘積關系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、減運算關系，其也不是單項式．2、單項式的系數：是指單項式中的數字因數；3、單項數的次數：是指單項式中所有字母的指數的和．4、多項式：幾個單項式的和。判斷代數式是否是多項式，關鍵要看代數式中的每一項是否是單項式．每個單項式稱項，常數項，多項式的次數就是多項式中次數最高的次數。多項式的次數是指多項式里次數最高項的次數，這里是次數最高項，其次數是6；多項式的項是指在多項式中，每一個單項式．特別注意多項式的項包括它前面的性質符號．5、它們都是用字母表示數或列式表示數量關系。注意單項式和多項式的每一項都包括它前面的符號。6、單項式和多項式統稱為整式。2.2整式的加減1、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項。與字母前面的系數（≠0）無關。2、同類項必須同時滿足兩個條件：（1）所含字母相同；（2）相同字母的次數相同，二者缺一不可．同類項與系數大小、字母的排列順序無關3、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項。可以運用交換律，結合律和分配律。4、合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母部分不變；5、去括號法則：去括號，看符號：正變負不變6、整式加減的一般步驟：一去、二找、三合并（1）如果遇到括號按去括號法則先去括號.（2）結合同類項.（3）合并同類項第三章一元一次方程3.1一元一次方程1、方程是含有未知數的等式。2、方程都只含有一個未知數（元）x，未知數x的指數都是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程。注意：判斷一個方程是否是一元一次方程要抓住三點：1）未知數所在的式子是整式（方程是整式方程）；2）化簡后方程中只含有一個未知數；3）經整理后方程中未知數的次數是1.3、解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，這個值就是方程的解。4、等式的性質：1）等式兩邊同時加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等；2）等式兩邊同時乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。注意：運用性質時，一定要注意等號兩邊都要同時變；運用性質2時，一定要注意0這個數.3.2、3.3解一元一次方程在實際解方程的過程中，以下步驟不一定完全用上，有些步驟還需重復使用.因此在解方程時還要注意以下幾點：去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數，不要漏乘不含分母的項；分子是一個整體，去分母后應加上括號；去分母與分母化整是兩個概念，不能混淆；去括號：遵從先去小括號，再去中括號，最后去大括號；不要漏乘括號的項；不要弄錯符號；移項把含有未知數的項移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊（移項要變符號）移項要變號；合并同類項：不要丟項，不能像計算或化簡題那樣寫能連等的形式；⑤系數化為1：字母及其指數不變，系數化成1，在方程兩邊都除以未知數的系數a，得到方程的解。不要分子、分母搞顛倒。3.4實際問題與一元一次方程一．概念梳理⑴列一元一次方程解決實際問題的一般步驟是：審題，特別注意關鍵的字和詞的意義，弄清相關數量關系；②設出未知數（注意單位）；③根據相等關系列出方程；④解這個方程；⑤檢驗并寫出答案（包括單位名稱）。⑵一些固定模型中的等量關系及典型例題參照一元一次方程應用題專練學案。二、思想方法（本單元常用到的數學思想方法小結）⑴建模思想：通過對實際問題中的數量關系的分析，抽象成數學模型，建立一元一次方程的思想.⑵方程思想：用方程解決實際問題的思想就是方程思想.⑶化歸思想：解一元一次方程的過程，實質上就是利用去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1等各種同解變形，不斷地用新的更簡單的方程來代替原來的方程，最后逐步把方程轉化為x=a的形式.體現了化“未知”為“已知”的化歸思想.⑷數形結合思想：在列方程解決問題時，借助于線段示意圖和圖表等來分析數量關系，使問題中的數量關系很直觀地展示出來，體現了數形結合的優越性.⑸分類思想：在解含字母系數的方程和含絕對值符號的方程過程中往往需要分類討論，在解有關方案設計的實際問題的過程中往往也要注意分類思想在過程中的運用.三、數學思想方法的學習1.解一元一次方程時，要明確每一步過程都作什么變形，應該注意什么問題.2.尋找實際問題的數量關系時，要善于借助直觀分析法，如表格法，直線分析法和圖示分析法等.3.列方程解應用題的檢驗包括兩個方面：⑴檢驗求得的結果是不是方程的解；⑵是要判斷方程的解是否符合題目中的實際意義.四、一元一次方程典型例題例1.已知方程2xm－3+3x=5是一元一次方程，則m=.解：由一元一次方程的定義可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3所以m=4或m=3警示：很多同學做到這種題型時就想到指數是1，從而寫成m=1，這里一定要注意x的指數是（m－3）.例2.已知是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值.解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解∴將x=－2代入方程，得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0化簡，得4a+4a－6+5=0∴a=點撥：要想解決這道題目，應該從方程的解的定義入手，方程的解就是使方程左右兩邊值相等的未知數的值，這樣把x=－2代入方程，然后再解關于a的一元一次方程就可以了.例3.解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）.解：去括號，得2x+2－12x+9=9－9x，移項，得2+9－9=12x－2x－9x.合并同類項，得2=x，即x=2.點撥：此題的一般解法是去括號后將所有的未知項移到方程的左邊，已知項移到方程的右邊，其實，我們在去括號后發現所有的未知項移到方程的左邊合并同類項后系數不為正，為了減少計算的難度，我們可以根據等式的對稱性，把所有的未知項移到右邊去，已知項移到方程的左邊，最后再寫成x=a的形式.例4.解方程.解析：方程兩邊乘以8，再移項合并同類項，得同樣，方程兩邊乘以6，再移項合并同類項，得方程兩邊乘以4，再移項合并同類項，得方程兩邊乘以2，再移項合并同類項，得x=3.說明：解方程時，遇到多重括號，一般的方法是從里往外或從外往里運用乘法的分配律逐層去特號，而本題最簡捷的方法卻不是這樣，是通過方程兩邊分別乘以一個數，達到去分母和去括號的目的。例5.解方程.解析：方程可以化為整理，得去括號移項合并同類項，得－7x=11，所以x=.說明：一見到此方程，許多同學立即想到老師介紹的方法，那就是把分母化成整數，即各分數分子分母都乘以10，再設法去分母，其實，仔細觀察這個方程，我們可以將分母化成整數與去分母兩步一步到位，第一個分數分子分母都乘以2，第二個分數分子分母都乘以5，第三個分數分子分母都乘以10.例6.解方程解析：原方程可化為方程即為所以有再來解之，就能很快得到答案：x=3.知識鏈接：此題如果直接去分母，或者通分，數字較大，運算煩瑣，發現分母6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，聯系到我們小學曾做過這樣的分式化簡題，故采用拆項法解之比較簡便.例7.參加某保險公司的醫療保險，住院治療的病人可享受分段報銷，保險公司制度的報銷細則如下表，某人今年住院治療后得到保險公司報銷的金額是1260元，那么此人的實際醫療費是（）住院醫療費（元）報銷率（%）不超過500的部分0超過500～1000的部分60超過1000～3000的部分80………A.2600元B.2200元C.2575元D.2525元解析：設此人的實際醫療費為x元，根據題意列方程，得500×0+500×60%+（x－500－500）×80%=1260.解之，得x=2200，即此人的實際醫療費是2200元.故選B.點撥：解答本題首先要弄清題意，讀懂圖表，從中應理解醫療費是分段計算累加求和而得的.因為500×60%＜1260＜2000×80%，所以可知判斷此人的醫療費用應按第一檔至第三檔累加計算.例8.我市某縣城為鼓勵居民節約用水，對自來水用戶按分段計費方式收取水費：若每月用水不超過7立方米，則按每立方米1元收費；若每月用水超過7立方米，則超過部分按每立方米2元收費.如果某戶居民今年5月繳納了17元水費，那么這戶居民今年5月的用水量為__________解析：由于1×7＜17，所以該戶居民今年5月的用水量超標.設這戶居民5月的用水量為x立方米，可得方程：7×1+2（x－7）=17，解得x=12.所以，這戶居民5月的用水量為12立方米例9.足球比賽的記分規則為：勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分，一支足球隊在某個賽季中共需比賽14場，現已比賽了8場，輸了1場，得17分，請問：⑴前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？⑵這支球隊打滿14場比賽，最高能得多少分？⑶通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽，得分不低于29分，就可以達到預期的目標，請你分析一下，在后面的6場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目標？解析：⑴設這個球隊勝了x場，則平了（8－1－x）場，根據題意，得：3x+（8－1－x）=17.解得x=5.所以，前8場比賽中，這個球隊共勝了5場.⑵打滿14場比賽最高能得17+（14－8）×3=35分.⑶由題意知，以后的6場比賽中，只要得分不低于12分即可.∴勝不少于4場，一定能達到預期目標.而勝了3場，平3場，正好達到預期目標.所以在以后的比賽中，這個球隊至少要勝3場.例10.國家為了鼓勵青少年成才，特別是貧困家庭的孩子能上得起大學，設置了教育儲蓄，其優惠在于，目前暫不征收利息稅.為了準備小雷5年后上大學的學費6000元，他的父母現在就參加了教育儲蓄，小雷和他父母討論了以下兩種方案：⑴先存一個2年期，2年后將本息和再轉存一個3年期；⑵直接存入一個5年期.你認為以上兩種方案，哪種開始存入的本金較少?[教育儲蓄（整存整取）年利率一年：2.25%；二年：2.27%；三年：3.24%；五年：3.60%.]解析：了解儲蓄的有關知識，掌握利息的計算方法，是解決這類問題的關鍵，對于此題，我們可以設小雷父母開始存入x元.然后分別計算兩種方案哪種開始存入的本金較少.⑴2年后，本息和為x（1+2.70%×2）=1.054x；再存3年后，本息和要達到6000元，則1.054x（1+3.24%×3）=6000.解得x≈5188.⑵按第二種方案，可得方程x（1+3.60%×5）=6000.解得x≈5085.所以，按他們討論的第二種方案，開始存入的本金比較少.例11.揚子江藥業集團生產的某種藥品包裝盒的側面展開圖如圖所示.如果長方體盒子的長比寬多4，求這種藥品包裝盒的體積.分析：從展開圖上的數據可以看出，展開圖中兩高與兩寬和為14cm，所以一個寬與一個高的和為7cm，如果設這種藥品包裝盒的寬為xcm，則高為（7－x）cm，因為長比寬多4cm，所以長為（x+4）cm，根據展開圖可知一個長與兩個高的和為13cm，由此可列出方程.解：設這種藥品包裝盒的寬為xcm，則高為（7－x）cm，長為（x+4）cm.根據題意，得（x+4）+2（7－x）=13，解得x=5，所以7－x=2，x+4=9.故長為9cm，寬為5cm，高為2cm.所以這種藥品包裝盒的體積為：9×5×2=90（cm3）.例12.某石油進口國這個月的石油進口量比上個月減少了5%，由于國際油價上漲，這個月進口石油的費用反而比上個月增加了14%.求這個月的石油價格相對上個月的增長率.解：設這個月的石油價格相對上個月的增長率為x.根據題意得（1＋x）（1－5%）=1＋14%解得x=20%答：這個月的石油價格相對上個月的增長率為20%.點評：本題是一道增長率的應用題.本月的進口石油的費用等于上個月的費用加上增加的費用，也就是本月的石油進口量乘以本月的價格.設出未知數，分別表示出每一個數量，列出方程進行求解.列方程解應用題的關鍵是找對等量關系，然用代數式表示出其中的量，列方程解答.例13.某市參加省初中數學競賽的選手平均分數為78分，其中參賽的男選手比女選手多50%，而女選手的平均分比男選手的平均分數高10%，那么女選手的平均分數為____________.解析：總平均分數和參賽選手的人數及其得分有關.因此，必須增設男選手或女選手的人數為輔助未知數.不妨設男選手的平均分數為x分，女選手的人數為a人，那么女選手的平均分數為1.1x分，男選手的人數為1.5a人，從而可列出方程，解得x=75，所以1.1x=82.5.即女選手的平均分數為82.5分.第四章幾何圖形初步4.1幾何圖形1、幾何圖形：從形形色色的物體外形中得到的圖形叫做幾何圖形。2、立體圖形：這些幾何圖形的各部分不都在同一個平面內。3、平面圖形：這些幾何圖形的各部分都在同一個平面內。4、雖然立體圖形與平面圖形是兩類不同的幾何圖形，但它們是互相聯系的。立體圖形中某些部分是平面圖形。5、三視圖：從左面看，從正面看，從上面看6、展開圖：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形。這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖。7、⑴幾何體簡稱體；包圍著體的是面；面面相交形成線；線線相交形成點；⑵點無大小，線、面有曲直；⑶幾何圖形都是由點、線、面、體組成的；⑷點動成線，線動成面，面動成體；⑸點：是組成幾何圖形的基本元素。4.2直線、射線、線段1、直線公理：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。即：兩點確定一條直線。2、當兩條不同的直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直線相交，這個公共點叫做它們的交點。3、把一條線段分成相等的兩條線段的點，叫做這條線段的中點。4、線段公理：兩點的所有連線中，線段做短（兩點之間，線段最短）。5、連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。6、直線的表示方法：如圖的直線可記作直線ＡＢ或記作直線ｍ．（1）用幾何語言描述右面的圖形，我們可以說：