2022-2023學年廣東省廣州市新元中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，則a，b，c的大小關系是(

)A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a參考答案：A【考點】對數值大小的比較；不等式比較大小．【分析】根據指數函數和對數函數的單調性判斷出abc的范圍即可得到答案．【解答】解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故選A．【點評】本題主要考查指數函數和對數函數的單調性，即當底數大于1時單調遞增，當底數大于0小于1時單調遞減．2.已知二次函數的導數為，，與軸恰有一個交點，則的最小值為（

）A．3

B．

C．2

D．參考答案：A略3.設函數的定義域為R，且，若則函數的最小值是（

）A．1

B．3

C．

D．參考答案：B略4.復數對應的點在復平面位于(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

參考答案：A略5.設的最大值為A

2

B

C

1

D參考答案：C解析：因為，6..已知x，y滿足約束條件，則的最大值與最小值之和為（

）A.4 B.6 C.8 D.10參考答案：C【分析】首先畫出可行域，然后求得最大值和最小值，最后求解兩者之和即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區域如圖所示，目標函數即：，其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據此結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點處取得最大值，據此可知目標函數的最大值為：，其中z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據此結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最小值，聯立直線方程：，可得點的坐標為：，據此可知目標函數的最小值為：.綜上可得：的最大值與最小值之和為8.故選：C.【點睛】求線性目標函數z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.7.設集合A=，B=，則滿足的集合M的個數是()高考資源網首發A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C略8.已知集合，則等于

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D9.在等差數列{an}中，a1=2，a3+a5=10，則a7=(

)A．5

B．8

C．10

D．14參考答案：B10.已知全集，集合，，那么集合(

)A．B．

C．D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義是向量和的“向量積”，它的長度，其中為向量和的夾角，若，，則

.參考答案：12.在長為10的線段AB上任取一點C，并以線段AC為邊作正方形，這個正方形的面積介于25與49之間的概率為．參考答案：∵以線段AC為邊的正方形的面積介于25cm2與49cm2之間∴線段AC的長介于5cm與7cm之間滿足條件的C點對應的線段長2cm而線段AB總長為10cm

故正方形的面積介于25cm2與49cm2之間的概率P==13.如圖所示，墻上掛有一邊長為的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則他擊中陰影部分的概率是__

▲

___．參考答案：答案：14.如圖所示,滿足的點(x,y)圍成的區域記為A,區城A內的兩條曲線分別為函數,圖象的部分曲線,若向區域A內隨機投擲一個質點,則質點落在陰影部分的概率為________.參考答案：【分析】利用定積分可求解區域中非陰影部分面積為，利用割補法即得，再利用面積比即得解.【詳解】不妨設與交點為A，則，與x軸交點為B，則；曲線在與x軸所圍的曲邊梯形面積：故在與y軸所圍的曲邊梯形面積：由于，互為反函數，圖像關于y=x對稱，因此圖象中兩塊非陰影部分面積相等，因此故：若向區域A內隨機投擲一個質點,則質點落在陰影部分的概率為：故答案為：【點睛】本題考查了定積分與幾何概型綜合，考查了學生數形集合，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.15.已知F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，且點A是橢圓C上一點，點M的坐標為(2,0)，若AM為的角平分線，則___________.參考答案：【分析】由題意可知：A在y軸左側，3，根據橢圓的性質可知：|AF1|+|AF2|＝2a＝10，即可求得|AF2|的值．【詳解】解：由題意可知：∠F1AM＝∠MAF2，設A在y軸左側，∴3，由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，A在y軸右側時，|AF2|，故答案為：．【點睛】本題考查橢圓的幾何性質及角平分線的性質，屬于基本知識的考查．16.定義在R上的運算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1對一切實數x恒成立，則實數y的取值范圍是

．參考答案：17.已知集合A={}，，則

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）的導函數為f′（x），且對任意x＞0，都有f′（x）＞．（Ⅰ）判斷函數F（x）=在（0，+∞）上的單調性；（Ⅱ）設x1，x2∈（0，+∞），證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的結論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結論．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）求出導數F'（x），根據條件判斷導數在（0，+∞）內的符號，從而說明函數F（x）的單調性；（Ⅱ）運用（Ⅰ）的結論證明，注意應用累加法；（Ⅲ）先寫出推廣的結論，然后運用（Ⅰ）的結論證明，并注意累加．【解答】解：（Ⅰ）對F（x）求導數，得F′（x）=，∵f′（x）＞，x＞0，∴xf′（x）＞f（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，∴F′（x）＞0，故F（x）=在（0，+∞）上是增函數；（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1+x2．由（Ⅰ），知F（x）=在（0，+∞）上是增函數，∴F（x1）＜F（x1+x2），即＜，∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2），同理可得f（x2）＜f（x1+x2），以上兩式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）（Ⅱ）中結論的推廣形式為：設x1，x2，…，xn∈（0，+∞），其中n≥2，則f（x1）+f（x2）+…+f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）．∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1+x2+…+xn．由（Ⅰ），知F（x）=在（0，+∞）上是增函數，∴F（x1）＜F（x1+x2+…+xn），即＜．∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2+…+xn）．同理可得f（x2）＜f（x1+x2+…+xn），f（x3）＜f（x1+x2+…+xn），…f（xn）＜f（x1+x2+…+xn），以上n個不等式相加，得f（x1）+f（x2）+…+f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）．19.（本小題滿分12分）設數列的前項和為，且，其中是不為零的常數．（Ⅰ）證明：數列是等比數列；（Ⅱ）當時，數列滿足，，求數列的通項公式．參考答案：（Ⅰ）證明：因為,則， 所以當時，，整理得．-------------4分由，令，得，解得．所以是首項為，公比為的等比數列．

-----------------6分（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知，則， 由，得，

-----------------8分當時，可得＝，

-----------------10分 當時，上式也成立．

∴數列的通項公式為．

-----------------12分20.1,3,5

（本小題滿分12分）已知各項均為正數的數列中，是數列的前項和，對任意，有.函數，數列的首項.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令求證：是等比數列并求通項公式；

（Ⅲ）令，，求數列的前n項和.參考答案：解:（Ⅰ）由

①

得

②

---------1分

由②—①，得

即：

---------2分

由于數列各項均為正數，

------------3分

即

數列是首項為，公差為的等差數列，數列的通項公式是

----------4分（Ⅱ）由知，所以，

------------5分有，即，---------6分而，故是以為首項，公比為2的等比數列。

---------7分所以

---------8分（Ⅲ），

-------9分所以數列的前n項和

錯位相減可得

----------12分略21.某中學為豐富教職工生活，在元旦期間舉辦趣味投籃比賽，設置A，B兩個投籃位置，在A點投中一球得1分，在B點投中一球得2分，規則是：每人按先A后B的順序各投籃一次（計為投籃兩次），教師甲在A點和B點投中的概率分別為和，且在A，B兩點投中與否相互獨立（1）若教師甲投籃兩次，求教師甲投籃得分0分的概率（2）若教師乙與教師甲在A，B投中的概率相同，兩人按規則投籃兩次，求甲得分比乙高的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】（1）設“教師甲投籃得分0分”為事件A，利用對立事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式能求出教師甲投籃得分0分的概率．（2）設“甲得分比乙高”為