第13講極值點(diǎn)偏移定義及判定定理知識(shí)與方法所謂極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖象沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性.若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往，如下圖所示.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：(為函數(shù)的極值點(diǎn))；2.若函數(shù)中存在且滿(mǎn)足，求證：(為函數(shù)的極值點(diǎn))；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：.4.若函數(shù)中存在且滿(mǎn)足，令，求證：.[抽化模型]答題模板：若已知函數(shù)滿(mǎn)足，為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：.1.討論函數(shù)單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)；假設(shè)此處：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.2.構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以進(jìn)行中值構(gòu)造，構(gòu)造成的形式.3.通過(guò)求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處：在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到當(dāng)時(shí)，.4.不妨設(shè)，通過(guò)單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時(shí)，＞且，，故＞，又因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，從而得到，從而得證.5.若要證明：，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)說(shuō)明：因?yàn)椋剩迹捎谠谏蠁握{(diào)遞減，故.典型例題v【例1】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性：(2)設(shè)為兩個(gè)不相等的正數(shù),且,證明：.【例2】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),證明當(dāng)時(shí),;(3)如果,且,證明.【例3】已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:當(dāng)時(shí),.【例4】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)設(shè),證明:當(dāng)時(shí),;(3)若函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn),線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明:.【例5】已知函數(shù).(1)研究函數(shù)的單調(diào)性;(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、,且.①求的取值范圍;②求證:.【